十年高考抛物线.doc

(2010重庆)（14）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为_. (2010浙江)（13）设抛物线的焦点为F，点。若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 。（2010上海）3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x (2010湖南)14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 2(2010辽宁) (7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如 果直线AF的斜率为,那么|PF|=B A B 8 C D 16(2010全国二)（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 2（2010陕西）8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】A. B. 1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为，因为抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，所以 法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切与点（-1,0） 所以（2009天津理）（9）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知，又由A、B、M三点共线有即，故，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，故选择A。(2009四川理)9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。解析2：如下图，由题意可知(2009全国二）9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D（2009海南理）（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.解析：抛物线的方程为 ，答案：y=x（2009福建理）13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13. 【答案】：2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。 (2008海南理)11已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）（2008辽宁理）10.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D.答案：A解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设在抛物线准线的投影为,抛物线的焦点为,则,依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和15已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 【答案】【解析】设A（，）B（，）由，（）；由抛物线的定义知（2008全国一）14已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2（2008江西理）15过抛物线的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则 15. (2008北京理)4若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。【高考考点】: 二次函数的定义。【易错提醒】: 没有转化的意识 (2007全国卷理)12设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=BA9B6C 4 D3设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为ABC的重心， A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， |FA|+|FB|+|FC|=，选B。 (2007四川理) 8、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）A3 B4 C D解析：选C设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出本题考查直线与圆锥曲线的位置关系自本题起运算量增大（2007陕西理）3.抛物线y=x2的准线方程是DA 4y+1=0 B 4x+1=0 C 2y+1=0 D 2x+1=0（2007山东理）1313 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为_.【答案】: 【分析】：过A 作轴于D，令，则，。(2007广东理)11在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是 11线段的垂直平分线方程为准线方程（14）如图，抛物线y=x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn1，从而得到n1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn1Pn2Pn1, ，当n时，这些三角形的面积之和的极限为.整理得=（2007海南理）6）已知抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，则有C（A）（B）（C）（D）（2007全国一）（11）抛物线的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是C（A）4（B）3（C）4（D）8 (9) 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为AA B C D (2006上海理)11若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 解：作出函数的图象， 如右图所示： 所以，；（2006山东理）14已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 32 。（2006全国一理）、抛物线上的点到直线距离的最小值是AA B C D（2005重庆理）16连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形解：菱形不可能,如果这个四边形是菱形,这时菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴,这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点); 平行四边形,也不可能,因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行.故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是.（2005上海理）15、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在解答：的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)将(1)代入抛物线方程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是，选B (2004上海理)2设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=1,则它的焦点坐标为 . (5,0)（2004全国卷3 理）设P为曲线y2=4(x-1)上的一个动点，则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为_（2004全国卷1理） 8设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是C（ ）A，B2，2 C1，1D4，4（2000江西、天津理）（11）过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于C A B C D (2001江西、山西、天津理)（10）设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则B ABC3D3（2001广东理）10对于抛物线上任意一点Q，点P(a,0)都满足，则a的取值范围是B A（,） B（,） C, D（,）（2001北京、内蒙古、安徽理）（6）设动点P在直线上，O为坐标原点以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是BA圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线（2001北京、内蒙古、安徽理）已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力满分14分解：（）直线的方程为，将 ，得 2分设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 4分又， 6分 ， 解得 8分（）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得 ， 10分 又 为等腰直角三角形， ， 12分 即面积最大值为14分（2000北京、安徽理）（22）（本小题满分12分） 如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基 本方法以及方程化简的基本技能满分12分 解：如图，点A，B在抛物线上， 设 ，OA、OB的斜率分别为、 2分 由OAAB，得 4分依点A在AB上，得直线AB方程 由OMAB，得直线OM方程 设点M，则满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式整理得 由、两式得 由式知， 因为A、B是原点以外的两点，所以所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 （2003北京春招理）22（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （）求动圆圆心的轨迹M的方程； （）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点. （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.22本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A点坐标为，B点坐标为（3，），假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由得但不符合，所以由，组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（1，）时，A，B，C三点共线，故.又， ， . 当，即， 即为钝角. 当，即，即为钝角. 又，即， 即. 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角. 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是. 解法二： 以AB为直径的圆的方程为. 圆心到直线的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G. 当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ACB为锐角，即ABC中ACB不可能是钝角. 因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为. 过点B且与AB垂直的直线方程为. 令. 又由，所以，当点C的坐标为（1，）时，A，B，C三点共 线，不构成三角形. 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是（2003上海理）21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.21解（1）设得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，1），半径为.设圆心（3，1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10.（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.（2004理安徽）（22）（本小题满分14分） 已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.（）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（）设P（2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（22）（）M（1，）；（）当a0时，在C上有三个点（2，），（2，）及（2，），在这三点的法线过点P（2，a），其方程分别为：x2y22a0，x2y22a0，x2.当a0时，在C上有一个点（2，），在这点的法线过点P（2，a），其方程为：x2.（2004北京理）18. （本小题满分15分） 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 解得 所以点M的坐标为（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由（II）的结论得 解得 因此BC所在直线的方程为 即（2004福建理）（22）（本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力。满分12分.解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=-=-，直线l的方程为y-x12=- (x-x1)，方法一：联立消去y，得x2+x-x12-2=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12-(x0-x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0=kl=-，x1=-，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k2-2b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=-x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.(2004湖南理) 21（本小题满分12分）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.21解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 (2004重庆(理)21（本小题满分12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.Yy2=2pxBXQ(2p,0)OA21（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.又设，则其坐标满足消去x得 由此得 因此.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x2p又设，则其坐标满足分别消去x，y得故得A、B所在圆的方程明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为故 而前面圆的方程可表示为故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.又，故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.（2005江西理）22（本小题满分14分）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.【思路点拨】本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识.【正确解答】（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.【解后反思】解析几何主要的是点和曲线的位置关系、对称性，标准方程当中系数对位置的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题，常常涉及的内容是求轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系、对称、最值、范围.做这类题目一定要认真细心,提高自己的运算能力和思维能力.(2005四川理）21、（本小题满分12分） 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。（2005山东理）(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.22（考查知识点:圆锥曲线）解：（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且直线的斜率存在，设其方程为显然将与联立消去，得由韦达定理知 （1）当时，即时，由知：因此直线的方程可表示为，即直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，则，此时，直线的方程可表示为即直线恒过定点综上，由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.（2005天津理）21、（本题14分）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C于，两点（P、A、B三点互不相同），且满足（0且）。（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上（）当时，若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围。21、（I）解：由抛物线的方程得，焦点坐标为（），准线方程为（II）证明：设直线PA的方程为，直线PB的方程为点和点的坐标是方程组的解将代入得：由韦达定理： 同理：，又因为，所以 设点的坐标为，由，得 将 代入 得：即：。所以，线段的中点在轴上（III）解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以，抛物线的方程为。由 得：，代入得将代入 ，得，代入得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为于是：，因为为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，即解得的范围为：或又点A的纵坐标满足，故当时，当时，所以，为钝角时，点A的纵坐标的取值范围是(2007安徽理) (19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y0）.以原点为圆心，以t（t 0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为a2，求证：直线CD的斜率为定值.19本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力本小题满分12分xyBAOaD解：（）由题意知，因为，所以由于，故有（1）由点的坐标知，直线的方程为又因点在直线上，故有，将（1）代入上式，得，解得（）因为，所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值（2007湖北理）19（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由ABxyNCO（此题不要求在答题卡上画图）（2007湖北理）19本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，NOACByx直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得从而，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线（2007辽宁理）20（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.()解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知解得所以设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为4分解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知.又因为即由x10，x20，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，解得r=4,所以圆C的方程为4分()解：设ECF=2a,则.8分在RtPCE中,.由圆的几何性质得10分所以，由此可得.故的最大值为，最小值为.14分（2008湖南理）20.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线上，所以 而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.（2008山东理）22（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为（）求证：三点的横坐标成等差数列；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由yxBAOM解：（）证明：由题意设由得，得，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以，由、得，因此，即所以三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：，所以是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点综上所述，仅存在一点适合题意（2008陕西理）20（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由20解法一：（）如图，设，把代入得，xAy112MNBO由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使解法二：（）如图，设，把代入得由韦达定理得，点的坐标为，抛物线在点处的切线的斜率为，（）假设存在实数，使由（）知，则，解得即存在，使（）证明：（2008浙江理）（20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。 （）求曲线C的方程； （）求出直线的方程，使得为常数。本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15分（）解：设为上的点，则，到直线的距离为由题设得化简，得曲线的方程为（）解法一：ABOQyxlM设，直线，则，从而在中，因为，所以 .，当时，从而所求直线方程为解法二：设，直线，则，从而过垂直于的直线ABOQyxlMHl1因为，所以，当时，从而所求直线方程为(2009江苏理)22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。 （2009北京理）8点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不