高中数学函数知识精要教学课件北师大必修

高中函数知识精要,要点,函数的概念函数的性质函数的图象常见的函数函数的应用,一、函数的概念,（一）映射与函数,1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：AB,2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。,(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x),3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,方法小结,1、理解映射的概念A、B为非空数集；A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。,2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。,4、若y是u的函数，u又是x的函数即y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么y关于x的函数y=f(g(x)，叫做f和g的复合函数。,（二）函数的定义域,3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。,2、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不为0；偶次方根的被开方数非负；对数的真数大于0；指数、对数函数的底数大于0且不等于1；指数为0或负数时，底数不为0；实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。,1、函数的定义域是指自变量的取值范围。,方法小结,1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组。,2、已知f(x)的定义域为D，求fg(x)的定义域时，可令g(x)D解得x的范围C，即为fg(x)的定义域；已知fg(x)的定义域为D，求f(x)定义域时，可先由xD，求出g(x)的范围C，即为f(x)定义域。,（三）函数的值域,函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。,方法小结,1、求函数值域的常用方法有：配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.,单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.,换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数,3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己积累经验，掌握规律。,2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。,不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等”。,数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.,（四）反函数,3、反函数的求法：由y=f（x）解出x=f1（y）；将x=f1（y）中的x、y互换，得y=f1（x）；由y=f（x）的值域，写出y=f1（x）的定义域。,1、定义：函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为C，由y=f(x)解出x=f1(y)，如果对于y在C中的任何一个值，由x=f1(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f1(y)就表示x是y的函数，则函数x=f1(y)就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把y看成函数，将x、y调换，y=f(x)的反函数表示为y=f1(x)。,2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。,方法小结,1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数。,2、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。,3、若原函数过点(a,b)，则反函数过点(b,a)，即若f（a）=b，则f1（b）=a。,4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。,方法小结,1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于原点对称。,2、函数奇偶性的可用如下变形判定：,3、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：根据恒等式性质，利用待定系数法；利用特殊值法。特别是当奇函数在x=0时有意义必有f(0)=0。,（f(x)0）,二、函数的性质,（一）函数的单调性,1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。,2、注意定义的变形：设x1、x2a，b,f(x)为偶函数,f(x)为奇函数,几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。,3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性。,两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；y=f(x)与y=f(x)有相反的单调性；当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。,4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：,方法小结,1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。,2、根据定义证明函数单调性的方法：设x1、x2A，且设x1x2；作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论。,3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x)在a,b上也是单调函数。若y=f(u)是(m,n)上的增（减）函数，则y=f(g(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。,（二）函数的奇偶性,1、定义：对于函数f（x）定义域内的任意x,若f（-x）=-f（x）则f（x）为奇函数；若f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数.,2、函数的奇偶性的判断方法：,（1）利用定义f（x）为奇函数f（-x）=-f（x）f（-x）+f（x）=0f（x）为偶函数f（-x）=f（x）f（-x）-f（x）=0,（2）利用图象f（x）为奇函数f（x）的图象关于原点对称；f（x）为偶函数f（x）的图象关于y轴对称；,（3）利用性质设f（x），g（x）的定义域分别为C，D，那么在它们的公共定义域上有：当f（x），g（x）均为奇函数时，f（x）+g（x）为奇函数，f（x）.g（x）偶函数；当f（x），g（x）均为偶函数时，f（x）+g（x）为偶函数，f（x）.g（x）偶函数；奇函数的反函数也是奇函数.,函数具有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称！,（三）函数的周期性,对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么f（x）是周期函数，T是它的周期；对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就叫这个最小的正数为最小正周期.,若T是函数的一个周期，则nT（nZ,n0）也是该函数的周期,（四）函数的对称性,1、若f（-x）=f（x），则f（x）关于y轴对称,2、若f（-x）=-f（x），则f（x）关于原点对称,3、y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称,4、y=f（x）与y=-f（x）关于x轴对称,5、y=f（x）与y=f1(x)关于y=x对称,6、若f（a-x）=f（a+x），即f（2a-x）=f（x）则则f（x）关于x=a对称若f（a-x）=-f（a+x），即f（2a-x）=-f（x）则则f（x）关于（0，0）对称,注意：,如果一个函数既关于x=a对称，也关于x=b对称，那么该函数一定是T=2b-a的周期函数；如果一个函数既关于（a，0）对称，也关于x=b对称，那么该函数一定是T=4b-a的周期函数；,三、几类常见的函数,（一）正比例函数,y=kx（k0）,图象,性质:1、定义域为R；2、值域为R；3、是奇函数；4、单调性：k0时为增函数,K0时为减函数。,图象,性质:1、定义域：(,0)(0,);2、值域：(,0)(0,)；3、是奇函数；4、k0时，在(,0)或(0,)上是增函数；k0在(,0)或(0,)上是减函数。,（三）一次函数：y=kxb（k0）,图象,性质:1、定义域为R；2、值域为R；3、b=0是奇函数；b0时为非奇非偶函数；4、k0时为增函数,K0时为减函数。,（四）二次函数：y=ax2+bx+c（a0）,a0时的图象与性质,a0时的图象与性质,0,0,=0,图象,ax2+bx+c=0(a0),ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0),x=x1或x=x2,x|xx2,x|x1xx2,R,无实根,5、二次函数与二次不等式,6、二次函数在闭区间上的最值问题,7、二次函数与一元二次方程的根的分布,方法与小结,3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=a(xk)2m，零点式：f(x)=a(xx1)(xx2)。,5、二次函数隐含着二次项系数不为0的条件，但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次项系数为0和不为0两种情况进行讨论。,6、二次函数在区间m，n上的最值一般分：,四种情况讨论。,（五）幂函数,1、定义：形如y=xn（n是常数）叫做幂函数。,3、图象与性质：,定义域、值域、奇偶性：视n的情况而定；,当n0时在(0,)为增函数，当n0时在(0,)为减函数；,当n0时图象都过(0,0)和(1,1)点;当n0时过(1,1)点.,方法小结,1、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；,2、当x1时，幂函数的指数越大，图象越高，当0x1时，幂函数的指数越大，图象越低；,3、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决。,（六）指数式与对数式,1、各种有理数指数的定义：正整数指数幂：an=aaa（nN）；零指数幂：a0=1（a0）负整数指数幂：an=（a0，nN）正分数指数幂：a=（a0，n1，m、nN）负分数指数幂：a=（a0，n1，m、nN）,2、幂的运算法则：aman=amnaman=amn（a0）（am）n=amn（ab）m=ambm,5、对数的性质：0和1没有对数；loga1=0；logaa=1。,6、对数的运算法则：,loga(MN)=logaMlogaN（M，N0）,logaMn=nlogaM（M0）,8、常用对数：,lgx10n=nlgx=n正的纯小数(1x10，n是整数),以10为底的对数叫做常用对数。,以e为底的对数叫做自然对数。,方法小结,1、根式的运算常常化成幂的运算来进行。,2、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。,3、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法。,4、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转化方程求解等。,（七）指数函数与对数函数,1、指数函数y=ax(a0且a1)的图象和性质：,2、对数函数y=logax(a0且a1)的图象和性质：,方法小结,1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。,2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。,3、熟记以下几个结论：,（八）指数方程与对数方程,1、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。,2、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为代数方程来解。,3、解对数方程一定要注意验根。,方法小结,1、指数方程主要类型及其解法：,化为同底：af(x)=ag(x)，化为f(x)=g(x),再求解。,指、对数互化：af(x)=b，化为f(x)=logab。,换元法：a2f(x)+baf(x)+c=0,设y=af(x)化为二次方程求解。,af(x)=bg(x),两边取对数,化为f(x)logca=g(x)logcb,图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。,2、对数方程主要类型及其解法：,化为同底：logaf(x)=logag(x)，化为f(x)=g(x),再求解,要注意验根。,指、对数互化：logaf(x)=b，化为f(x)=ab,要验根。,换元法：loga2f(x)+blogaf(x)+c=0,设y=logaf(x),化为二次方程求解,要验根.,图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。,不同底对数方程:通过换底公式,化为同底求解.,四、函数的图象,（一）函数的图象,1、作图：,利用描点作图法：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；画出函数的图象。,利用基本函数图象的作图变换：,平移变换：,伸缩变换,对称变换,2、识图,对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象中特殊点的作用。,3、用图,函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法。,（二）方法小结,1、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，一个函数的反函数是它本身时，其图象关于直线y=x对称等等。,2、证明曲线C1与C2的对称性，即要证C1上任一点关于对称中心或对称轴的对称点在C2上，反之亦然。,3、方程f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数.,4、不等式f(x)g(x)的解集为f(x)的图象位于g(x)的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围.,五、函数的应用,函数建模及应用,（一）、课堂演练及讲评：1某银行准备设计一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。问如何设定存款利