大学物理常用高数基础知识

补高等数学：矢量（向量）代数（同济大学高等数学第五版第7章第一、二节）,一、矢量（向量）的概念及其表示1.标量与矢量（向量）,2.矢量的表示,（1）图示：有（方）向线段：,（3）矢量的平行：a/b（箭头指向可相同或相反）,（4）矢量的相等：大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。,（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或,（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）,3.矢量的模：,4.单位矢量：，仅用来表示方向。所以：,注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的单位矢量分别为,5.矢量的坐标分解式（分量式）,矢径（向径：从原点出发的矢量）,一般地：,其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而注意：分量是代数量（可正可负）！,恒为正,所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示.,则称分矢量（分向量）,由,若P点（或矢径）在YOZ平面上，则x=0；若P点（或矢径）在ZOX平面上，则y=0；若P点（或矢径）在XOY平面上，则z=0。若P点（或矢径）在x轴上，则y=z=0；若P点（或矢径）在y轴上，则x=z=0；若P点（或矢径）在z轴上，则x=y=0。若P点为原点，则x=y=z=0,或P（x，y，z）可知：,6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向,大小：矢径的大小：,一般地：,方向：方向角、或方向余弦：,7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量,注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。,二、矢量的加减法,1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）,2.矢量相加的三角形法则（见图7-2）,3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）,5.矢量的减法因为：,由矢量相加的三角形法则可得：,即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。,4.矢量的加法所满足的运算规律（1）交换律：（2）结合律：,6.矢量加减的坐标表示式,三、矢量与数量的乘法,1.定义：,模（大小）：,方向,当0时（可视为）方向与相同当0时（可视为）方向与相反,2.满足的运算规律（1）与另一个数量相乘的结合律：,3.矢量与数量相乘的坐标表示式,（2）分配律：,四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）,1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：,一般地：,2.两个推论：（1）,（2）若两非零矢量，则,反之，若，则必有,注意；“点”不能掉！,3.标量积满足的运算规律,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）满足一定条件下的结合律（略）,4.标量积的坐标（分量）表示式,五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）,1.定义：如力矩：大小：,力矩是矢量，方向沿转轴，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。,注意；“”不能掉！,2.两个推论：,（1）,（2）若两个非零矢量，则：,反之，若，则必有：,3.满足或不满足的运算规律,（1）不满足交换律，而是：,（2）满足分配律：,（3）满足如下的结合律：,4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法,或,5.矢量积（大小）的几何意义,以为邻边的平行四边形的面积。,作业：阅读高等数学P289307整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）,复习：标量积和矢量积,标量积满足交换律：,矢量积不满足交换律，而是：,标量积：,矢量积：,微积分（高等数学第二章第一、二、三、五节；第四章第一、五节；第五章第一、二节）,第一节导数与微分一、导数的概念实例：直线运动的速度直线取为s轴，则质点在任一时刻t的位置s（即动点的坐标）是时间t的函数，记为：,如匀速直线运动：若设,对匀加速直线运动：若设,则有,则有,下面求某一时刻t0的（瞬时）速度,匀速运动：瞬时速度等于平均速度,非匀速运动：t0到t时间段的平均速度：,欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0，则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即,称为s对t的导数,即：瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间的导数,一般地，若y是x的函数，y对x的导数：,注：（1）在某一个点的导数记为：,（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。,二、常用的导数公式：,三、函数的和、差、积、商的导数,四、复合函数的求导法则,例如：作简谐振动的质点的位置x是时间t的函数：,例1,求匀速直线运动的速度：若设,求匀加速直线运动的速度：若设,则：,则有,所以速度：,例2,所以速度：,五、高阶导数,例如：直线运动的速度是时间的导数,而加速度又是速度随时间是变化率即导数，所以可得：,或,这种导数的导数称为二阶导数。一般地，y对x的二阶导数为：,类似地，可定义三阶、四阶导数，统称高阶导数。,例：匀速直线运动,加速度,又如，匀加速直线运动：,例1：,例2：,六、微分,1.微分的概念：,dy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。所以，也称微商（二微分之商）,冷缩：,注：物理上也常指一个量（分成无限多份）其中（无限小的）一份：,微分的含义：微小（无限小）增量。如热胀：,2.微分和导数的几何意义,dx、dy分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量；而导数是曲线这一点处切线的斜率。,3.函数的微分公式（等于导数公式乘以自变量的微分）（见P115116）,4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函数的微分（与导数类似，见P116）,（见P115图2-11）,P117例3：,例4：,例5：,第二节积分,一、不定积分的概念原函数：设F（x）的导（函）数是f（x），即,那么，F（x）就称为f（x）的原函数。例如,即积分是已知导（函）数求原函数，而求导（微分）是已知原函数求导（函）数，所以积分是微分的逆运算。,所以，定义不定积分：,+C,例1：,例2：,例3：求作匀速直线（取为s轴，且t=0时，s=s0）的质点在任意时刻t的位置。,解：,即s是v的原函数，所以：,代入上式，得C=s0，所以,二、常用积分表（详见P186）,例：,三、定积分1.定积分的意义,求连续分布的无限多个无限小部分之和。几何意义：求曲边梯形的面积（即曲线,所围成的图形的面积）。,总面积：,n越多，小面积之和越接近曲边梯形的面积，当，量变到质变：,称积分表达式，a称积分的下限，b称积分的上限。,其中,又如：求变速直线运动（v=v（t）的路程：将路程分成很多小段，每一小段内可近似看成匀速：,0,s,令求极限，即得总路程为：,2.定积分的计算牛顿-莱布尼茨公式,若f（x）的一个原函数是F（x），则定积分：,例1：,例2：,例3：,P238例5求汽车制动距离。已知：,解：匀变速,四、积分的性质,（常数可提出积分号外）,（交换上下限变号）,（6）平均值的求法定积分中值定理,如平均速度：,一般地，函数f（x）在区间a，b上的平均值：,所以，平均