高考数学一轮复习专题7.7分布列与其他知识的综合运用练习（含解析）.docx

第七讲 分布列与其他知识的综合运用【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 与函数的综合【例1】为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按1元/公里计费；行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分）频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】(1) (2)见解析(3) 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用【解析】（1）当时， 当时，. 得： （2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率可取，. ， 的分布列为 或依题意， （3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），每次上下班租车的费用约为（元）一个月上下班租车费用约为，估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用【举一反三】1为普及科学知识，提高全民科学参与度，某科技馆举办了游戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种游戏方案，具体规则如下：玩一次甲游戏，若绿灯闪亮，获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分（即获得-20分），绿灯，黄灯及红灯闪亮的概率分别为，；玩一次乙游戏，若出现音乐，则获得80分；若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为.每位顾客能参与两次甲游戏或两次乙游戏（两次游戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一）且每次游戏互不影响.若两次游戏后获得的分数为正，则获得奖品；若获得的分数为负，则没有奖品.若，试问顾客选择哪种游戏更容易获得奖品？请说明理由.当在什么范围内取值时，顾客参与两次乙游戏后取得的平均分更高？【答案】（1）顾客选择乙游戏更容易获得奖品. （2）【解析】设顾客参与两次甲游戏后，获得的分数为，设顾客参与两次乙游戏后，获得的分数为.（1）当取值为140，80，50，20时，顾客参与两次甲游戏后可以获得奖品，由条件得，. 记事件为“顾客参与两次甲游戏后获得奖品”，则.当取值为160，60时，顾客参与两次乙游戏后可以获得奖品，由条件得，. 记事件为“顾客参与两次乙游戏后获得奖品”，则，因为，所以当时，顾客选择乙游戏更容易获得奖品. （2）由题意可知，的可能取值为140，80，50，20，-10，-40，则随机变量的分布列为140805020-10-40于是. 由条件知，的可能取值为160，60，-40，故随机变量的分布列为16060-40于是. 为满足题设条件只需，即，解得，故的取值范围是.2某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了两种抽奖方案，方案的中奖率为，中奖可以获得分;方案的中奖率为,中奖可以获得分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，（1）若顾客甲选择方案抽奖，顾客乙选择方案抽奖，记他们的累计得分为，若的概率为，求（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案或都选择方案进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大?【答案】（1）（2）当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等【解析】（1）由已知得，甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这人的累计得分”的事件为，则事件的对立事件为“” （2）设甲、乙都选择方案抽奖的中奖次数为，都选择方案抽奖的中奖次数为则这两人选择方案抽奖累计得分的均值为，选择方案抽奖累计得分的均值为由已知可得：，若，则 若，则 若，则 综上所述：当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等考向二 与导数综合【例2】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的教育部2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 .（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500. ， ， 所以. 令,.当时，在单调递增,当时，在单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【举一反三】1某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立（1）记头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当概率取何值时，有最大值？（2）若以（1）中确定的值作为感染H型疾病的概率，设头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？【答案】（1）当概率时，有最大值；（2）当时，有最大值【解析】（1）依题意，头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，且则有 ，令，结合，解得则当时，；当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，故当概率时，有最大值（2）头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是（），由（1）知，所以 ，所以当，即时，当，即（，且）时，于是，所以当时，有最大值考向三 与数列综合【例3】山东省高考改革试点方案规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).【答案】(1)0.29 (2)见解析【解析】（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为.由转换公式，得.由，得.显然原始成绩满足的同学有人，获得等级的学生有人，恰好有名同学的等级分数不小于的概率为：.（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或的概率为.学生个数的可能取值为；，；其数学期望是：其中： 应用错位相减法“式-式”得：故.【举一反三】1已知，等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有所通过的概率为，当为何值时，取得最大值；（2）若，该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按，顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.【答案】（1）当时，取得最大值；（2）见解析【解析】（1）因为该冋学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过所高校自主招生考试的概率为当时，递增；当时，递减；所以当时，取得最大值.（2）设该同学共参加了次考试的概率为.，所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：所以，令，则，由-得，所以，所以 （元）.考向四 与空间几何综合【例4】已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法.其中的三角形如，这类三角形共有个.因此.（2）由题意，的可能取值为，2，.其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中的三角形有两个，和.因此，.所以随机变量的概率分布列为：2所求数学期望.【举一反三】1.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（）求；（）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】（）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色， .（）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0， .5030100考向五 与几何概型几何【例5】Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用下面利用Monte-Carlo方法来估算定积分考虑到等于由曲线，轴，直线所围成的区域的面积，如图，在外作一个边长为1正方形OABC在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分的估计值现向正方形OABC中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目（1）求X的期望和方差；（2）求用以上方法估算定积分时，的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率附表：1899190019012099210021010.00580.00620.00670.99330.99380.9942【答案】（1）；（2）0.9871.【解析】(1)依题意，每个点落入中的概率为，所以.(2)依题意，所求概率为.【举一反三】12014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.附：临界值表2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：，.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）如下表：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30939捐款低于500元5611合计351550.所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.（2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，则可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域为，则，事件表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为，即图中的阴影部分面积为 ，所以，连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为，则，.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元；方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元（1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式；（2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由【答案】(1) 方案一中:,方案二：.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一.【解析】（1）由题可知，方案一中的日收费与的函数关系式为方案二中的日收费与的函数关系式为 .（2）设方案一种的日收费为，由条形图可得的分布列为1902002102202300.10.40.10.20.2所以（元）方案二中的日收费为，由条形图可得的分布列为2002202400.60.20.2（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.2某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），己知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表: 以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在 甲、乙两市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，(单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润.()当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的槪率；()以销售利润的期望为决策依据，判断与应选用哪个.【答案】()解析式见解析；槪率为0.71；() .【解析】()由题意可知，当，；当，所以与的函数解析式为.由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为.当，当，解得，所以由题意可知，；所以.()由题意得，当时，；当时，因为，所以应选3某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修. 现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3546463784乙维修的元件数4745545547（1）从这天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（2）试比较这10天中甲维修的元件数的方差与乙维修的元件数的方差的大小.（只需写出结论）；（3）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.【答案】（1）；（2）；（3）为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人.【解析】（1）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”根据题意，（2） （3）设增加工人后有n名工人因为每天维修的元件的平均数为：所以这n名工人每天维修的元件的平均数为令解得所以n的最小值为4为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人4设袋子中装有个红球，个黄球，个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分（）当，时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；（）从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数若，求【答案】（）详见解析；（）.【解析】（）由题意得取2，3，4，5，6故，所以的分布列为23456（）由题意知的分布列为123所以，解得 ，故 5某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以（单位：个，）表示当天的市场需求量，（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个天数1525302010（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；（2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.（i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1) .(2) （i）3; （ii）见解析.【解析】（1）时，元；时，元，；（2）（i）当时，利润，当时，即，即，又，所以利润不少于570元时，需求量，共有60天，按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为.（ii）由题意可知，其中，.故的分布列为0123.6甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A，则P（A）=（2）设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=，则X的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：日工资228234240247254概率PE（X）=228+234+240+247+254=241.8设甲公司货车司机日工资为Y，日中转车数为，则Y=4+80，则Y的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：日工资232236240244248概率PE（Y）=+248=238.8由E（X）E（Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司7某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取200件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：（1）求直方图中的值；（2）由频率分布直方图可认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算这批产品中质量指标值落在上的件数；（3）设产品的生产成本为，质量指标值为，生产成本与质量指标值满足函数关系式，假设同组中的每个数据用该组数据区间的右端点代替，试计算生产该食品的平均成本.参考数据：若，则，.【答案】（1）0.033；（2）68；（3）84.52【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）由于，则，所以，于是，.又因为，所以，于是.故这批产品中质量指标值落在上的件数大约为.（3）由频率分布直方图和题设条件可得产品的成本分组及其频率分布表如下：组号1234567分组频率0.020.090.220.330.240.080.02根据题意，生产该食品的平均成本： .8某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。【答案】（1）3；（2）见解析【解析】（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，,解得n=3，即盒中有“会徽卡”3张.（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，；概率分布表为：1234P的数学期望为.9随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：重量（单位：kg）（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5件数43301584对近60天，每天揽件数量统计如下表：件数范围0100101200201300301400401500件数50150250350450天数663016以上数据已做近似处理，将频率视为概率.（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101300之间的概率；（2）估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（1）（2）15，代办点不应将前台工作人员裁员1人【解析】（1）由题意，可得样本中包裹件数在101300之间的天数为36，频率，故可估计概率为， 显然未来5天中，包裹件数在101300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为. （2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元. 代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及（2），搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1EY故代办点平均每日利润的期望值为（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1EY则代办点平均每日利润的期望值为（元），故代办点不应将前台工作人员裁员1人.10经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）,，（2） ，利润的分布列为4800056000600000.10.20.7（元）.11某居民区有一个银行网点（以下简称“网点”），网点开设了若干个服务窗口，每个窗口可以办理的业务都相同，每工作日开始办理业务的时间是8点30分，8点30分之前为等待时段.假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点相互独立.根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；（2）假设网点共有1000名储户，将频率视作概率，若不考虑新增储户的情况，解决以下问题：试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的服务窗口排队办理业务.记“每工作日上午8点30分时网点每个服务窗口的排队人数（包括正在办理业务的储户）都不超过3”为事件，要使事件的概率不小于0.75，则网点至少需开设多少个服务窗口？参考数据：；.【答案】（1）10（2）0.014【解析】（1）根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，故所求的平均值为： .即每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10.（2）设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为，每位储户到网点办理业务的概率为，则，所以的数学期望，将频率视作概率，根据（1）的结论，所以，解得.即每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率为0.01.由知，则.设网点共开设了个服务窗口，则事件即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过”，其概率为，所以满足的最小正整数，即为所求.因为 ， ，所以，即为的最小值.所以根据要求，网点至少需开设4个服务窗口.12某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(a)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(b)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 25，35），35，45)，45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（a）的概率为，选择方案（b）的概率为若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案(a)的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】() () （）见解析【解析】()设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：因为所以估计为. () 设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” 设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案（1）”，则，所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 （）设骑手每日完成快递业务量为件 方案（1）的日工资，方案（2）的日工资 所以随机变量的分布列为 ；同理随机变量的分布列为 因为，所以建议骑手应选择方案（1）13某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数；得到如图柱状图记n为提供给一个团队的固定助手数（提供的每个固定助手均按3000元/月的标准支付工资）x为一个团队需要的助手数，y为支付给一个团队的助手的月工资总额（单位：元）（）当n=4时，求y关于x的函数关系式；（）假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算；（）以这20个团队需要助手数的频率代替一个团队需要助手数的概率，若40个团队中需要5个以下（不包括5个）助手数的团队个数记为X，求E（X）【答案】（）y=；（）提供4个；（）12【解析】（）当n=4时，x4时，y=43000=12000，4x6时，y=12000+4000（x-4）=4000x-4000，当n=4时，y关于x的函数关系式为：y=（单位：元）（）由题意得每个团队需要的助手个数X 分别为3，4，5，6，P（X=3）=，P（X=4）=0.2，P（X=5）=，P（X=6）=0.4，当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额：Y1=20（0.1+0.2）12000+0.3（40005-4000）+0.4（40006-4000）=328000（元），当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额：Y2=20（0.1+0.2+0.3）15000+0.4（15000+4000）=332000（元），Y1Y2，每一个团队提供5个固定助手划算（）40个团队中需要5个以下（不包括5个）助手数的团队个数记为X，E（X）=40（P（X=3）+P（X=4）=40（0.1+0.2）=1214某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元;方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元.某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123机器台数20104030以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.求的分布列；以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）所有可能的取值为，的分布列为（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为： (元)选择延保方案二，所需费用元的分布列为： (元) 当，即时， 选择方案二当，即时，选择方案一，方案二均可当，即时，选择方案一15一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运支百合花，当为多少时，四月后20天每天百合花销售利润（单位：元）的期望值最大？【答案】（）见解析（）（1）见解析（2）每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润的期望值最大【解析】（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，分布列为245255265P0.10.30.40.2（2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，（元）.故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润的期望值最大.16“工资条里显红利,个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响,我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点-专项附加扣除税率(%)1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30随机抽取某市1000名同一收入层级的从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2019年的人均月收入24000元.统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除；同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等。假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想,解决如下问题：（1）设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为元,求的分布列和期望；（2）根据新旧个税方案,估计从2019年1月开始，经过多少个月,该市该收入层级的从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？【答案】（1）见解析（2）经过12个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过2019年的月收入【解析】（1）既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税； 只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税； 只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税； 既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税； 所以的可能值为2190