2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语22.4充要条件学案北师大版.docx

2.4充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义(难点)掌握充分、必要、充要条件的应用(重点、难点)区分充分不必要条件、必要不充分条件(易混点)1充要条件如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作pq2常见的四种条件(1)充分不必要条件，即pq且q_p(2)必要不充分条件，即p_q且qp(3)充要条件，即pq且qp(4)既不充分也不必要条件，即p_q且q_p思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1.判断正误(1) 若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()(3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件()答案(1)(2)(3)2.“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件A解x22x10得x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件3.在ABC中，“AB”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C在ABC中，ABab，AB是ab的充要条件4.若“xa”是“x22x30”的充分不必要条件，则a的取值范围是_(，1x22x30，x3或x1.“x1”是“x31”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；若a，bR，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29.C(1)由于函数yx3在R上是增函数，当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立故“x1”是“x31”的充要条件，故选C.(2)解在ABC中，显然有ABsin Asin B，所以p是q的充要条件若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20 Da2b20(2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_(1)D(2)a0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.充要条件的证明探究问题1如何求一个问题的充要条件？提示求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合这就要求我们转化的时候思维要缜密2充要条件的问题需要从哪两方面证明？提示充要条件的证明需要从充分性和必要性两方面证明，应分两步：证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性【例2】试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.思路探究本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由ac0推证一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根和由一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根推证ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acb，cd”是“acbd”的_(1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件(1)|m|3m3，故“m3”是“|m|3”的必要不充分条件；(2)“四边形ABCD为平行四边形”可推出“ABCD”，反之，未必成立，故“四边形ABCD为平行四边形”是“ABCD”的充分不必要条件；(3)“ab，cd”“acbd”，反之，未必成立，故“ab，cd”是“acbd”的既不充分也不必要条件5求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0.a12b1c0，即abc