高中数学第3章二元一次不等式组与简单的线性规划问题（不作要求）3.4基本不等式3.4.1基本不等式的证明讲义苏教版.docx

33 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（不作要求）3.4 基本不等式(a0，b0)3.4.1基本不等式的证明学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程(重点)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.3.能利用基本不等式求简单函数的最值(难点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.1算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数2基本不等式如果a，b是正数，那么(当且仅当ab时取“”)，我们把不等式(a0，b0)称为基本不等式思考：如何证明不等式(a0，b0)?提示ab2()2()22()20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立1不等式a212a中等号成立的条件是()Aa1Ba1Ca1 Da0B当a212a，即(a1)20，即a1时，“”成立2已知a，b(0,1)，且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2 B2C2ab DabDa，b(0,1)，a2a，b2b，a2b2ab，又a2b22ab(ab)，2aba2b2ab.又ab2(ab)，ab最大3已知ab1，a0，b0，则ab的最小值为()A1B2 C4D8Ba0，b0，ab22，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2.4当a，bR时，下列不等关系成立的是_；ab2；a2b22ab；a2b22ab.根据xy，成立的条件判断，知错，只有正确对基本不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：a，b为正实数，22；aR，a0，a24；x，yR，xy0，22.其中正确的推导为()ABC DBa，b为正实数，为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确aR，a0，不符合基本不等式的条件，a24是错误的由xy0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确1基本不等式 (a0，b0)反映了两个非负数的和与积之间的关系2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.1下列不等式的推导过程正确的是_若x0，则x22.若x0，则x24.若a，bR，则22.中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，b(0，)，则下列各式中不一定成立的是()Aab2 B.2C.2 D.(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_(1)D(2)pq(1)由得ab2，A成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.2如果0ab1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是()APQM BMPQCQMP DMQPB显然，又因为，(由ab，也就是1可得)，所以.故MPQ.利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：9.思路探究： 看到9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明证明a，b，cR，且abc1，33322232229.当且仅当abc时取等号，9.本例条件不变，求证：8.证明a，b，cR，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法3已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.4. 已知2ab1，a0，b0，求证：32.证明332，当且仅当，且2ab1，即a，b1时取等号1应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a0，b0时，才会有.对于“当且仅当ab时，号成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2应用基本不等式证明不等式的关键在于进“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.1判断正误(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a22.()(3)若a0，b0，则ab.()答案(1)(2)(3)提示(1)任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b0时，不等式ab2成立