10 强度理论与组合变形

1,10.1应力状态,10.2强度理论,10.3组合变形,第十章强度理论与组合变形,2,拉压,扭转,弯曲,截面应力,危险点应力状态,强度判据,概述,10.1应力状态,3,组合变形：,问题：危险点应力状态？强度判据？,弯扭组合,压弯组合,4,思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有,问题:任意斜横截面上的应力s、t?,sx,一般情况,x,y,sx,sy,sy,tyx,txy,SFx=sabcosa+tabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=sabsina-tabcosa-syabsina+txyabcosa=0,10.1.1平面应力状态,txy,tyx,5,注意到txy=tyx，解得：,利用三角公式：cos2a=(1+cos2a)/2、sin2a=(1-cos2a)/2、sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：,6,令ds/da=0，有：,在a=a0的斜截面上，s取得极值；且t=0。,任一截面应力,10.1.2极限应力与主应力,7,10.1.2极值应力与主应力,（10-1）式,代入(10-1)式：,=x,8,10.1.2极限应力与主应力,注意到：tg2a0=tg(p+2a0),主平面:剪应力为零的平面。a=a0时，t=0，故对应的平面是主平面。主应力:主平面上的正应力。故极值应力是主应力。,(10-4)式,(10-5)式,9,剪应力的极值？,令dt/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0,极限剪应力,(10-6)式,(10-7),10,极限剪应力作用平面？,剪应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45。,（10-7）,即有：a1=a0p/4,11,例1已知某点的应力状态为sx=30MPa，sy=10MPa，txy=20MPa。求1)主应力及主平面方向；2)最大、最小剪应力。,主方向角：由（10-4）式有：,主平面方位:a01=58.28，a02=148.28,解：1）主应力与主方向主应力可由（10-5）式求得,12,a=58.28时，由（10-1）式有:,a=148.28时有:s=smax=42.36MPa,在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。故此面上还有第三个主应力sz=0。,各主平面上的应力？（t=0）,三个主应力按大小排列。,=-2.36MPa=smin,用主应力表示应力状态，简洁、清晰。,平面应力状态,拉应力,压应力,空间应力状态,13,3）最大、最小剪应力,由（10-7）式有：,a=13.28时，由（10-2）式有:,注意还有,a=103.28时:t=-22.36MPas=20MPa,s、s为极限剪应力作用面上的正应力。,14,讨论一、应力状态的第一不变量,由（10-5）式,即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。,在三向应力状态下，同样可以得到：,15,讨论二、主应力与极限剪应力,由(10-5)式,二主应力之差的一半即该平面内的最大剪应力,平面应力状态sz=0,显然可知有：,16,讨论三、极限剪应力作用面上s可否为零？,由（10-7）式知，此时应有：,若sx0，或sy0，则xy平面上的txy不是极限剪应力。,若sx0，且sy0，则极限剪应力面上必有x=y。,除纯剪情况外，极限剪应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。,17,线弹性应力-应变关系：s=Ee,对于用主应力表示的微元，沿主方向的应变（主应变）e1是沿x1方向的伸长。有：,10.1.3广义虎克定理,18,10.2强度理论,复杂应力状态下的强度设计准则,问题：复杂应力状态下的强度？,研究：危险点应力状态强度判据,？,复杂应力状态下的强度设计准则,19,10.2强度理论,单向应力状态：单向拉压试验,强度理论:复杂应力状态下材料破坏或屈服规律的假说。,复杂应力状态？,要设计不同s1:s2的实验。,20,一、最大拉应力准则（第一强度理论）,不论材料处于何种应力状态，脆性材料的破坏只取决于其最大拉应力s1。,假说,考虑安全储备，给出：,强度条件：s1s=sb/n,10.2.1脆性材料的破坏强度理论,21,二、最大拉应变准则（第二强度理论）,考虑安全储备，给出：,虎克定理,22,一、最大剪应力准则（第三强度理论）,10.2.2延性材料的屈服强度理论,23,实验验证：,对延性金属屈服，预测比最大剪应力准则的预测更好，但二者相差不大。,10.2.2延性材料的屈服强度理论,二、畸变能密度准则（第四强度理论）,24,强度设计准则汇总：,破坏,屈服,常用,相当应力,强度条件的一般形式：工作应力许用应力,最大拉应力准则,最大拉应变准则,最大剪应力准则,畸变能密度准则,25,讨论一：某脆性材料应力状态如图，如何选用适当的强度理论？,sr3=s1-s3=100,r4=(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2/21/2=(s1-s2)2+s22+s12/21/2,ud准则,讨论二：s1=100MPa，s3=0，若s2=20、50、80MPa，问sr3与sr4相差多大？,26,前节回顾：,s1准则:sr1=s1,e1准则:sr2=s1m(s2+s3),tmax准则:sr3=s1-s3,ud准则:sr4=(s1-s3)2+(s1-s3)2+(s1-s3)2/21/2,强度条件:srs,复杂应力状态,讨论组合变形问题,10.3组合变形,27,10.3组合变形,研究思路,10.3.1拉(压)弯组合变形,剪切、扭转暂不考虑。,28,截面正应力：s=s+s+s=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy,s是截面坐标(y,z)的函数，何处应力最大？FN作用下，各处应力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受压；My作用下，AD受拉，BC受压；,应力,10.3.1拉(压)弯组合变形,29,例3：正方形截面立柱，边长为2a，开槽截面为边长a2a的矩形。求开与未开槽截面最大应力值之比。,2）开槽部分横截面应力:截取研究对象，求截面内力。,解：1）未开槽部分横截面应力:s=FN/A=F/4a2(压应力),FN=F；M=Fa/2压弯组合变形且A处压应力最大。,30,例4：矩形截面梁宽b=40mm，高h=60mm，L=0.5m。已知s=120MPa，试校核其强度。,2）作梁的内力图,解：1）求约束力。平衡方程：SFx=FAx-FCcos30=0SMA=FC2Lsin30-FL=0SMB=FL-FAy2L=0,3）危险截面点在距A为L处，上端危险点压应力最大，且剪应力为零。,解得：FC=10kN；FAx=8.66kN；FAy=5kN,31,矩形截面梁宽b=40mm高h=60mms=120MPa,该处：s弯=0；s压=FAx/A=8660/2400=3.6MPa。应力小一个量级，强度足够。,强度足够,32,扭矩T=Mx,弯矩Mz,弯矩My,弯曲剪应力通常较小，暂不考虑；拉/压弯组合已讨论。,内力,应力,合成弯矩,10.3.2圆轴的弯扭组合变形,33,10.3.2圆轴的弯扭组合变形,强度条件,对于圆轴，有：WT=2Wz=2W=pd3/16;W=pd3/32,应力状态,危险点应力,主应力,第三强度理论,第四强度理论,34,弯、扭,方法归纳-圆轴的弯扭组合变形,圆轴合成弯矩M,35,例6传动轴AB直径d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C轮直径d=160mm，D轮直径d=80mm，=20，已知力F1=2kN，s=120MPa，试校核轴的强度。,1,2,解：1）受力分析,SFx=FAx=0,SMx=F2cosad2/2-F1cosad1/2=0F2=4kN,SMy=F1sinaAC-F2cosaAD-FBzAB=0FBz=-2.28kN,SMz=F1cosaAC-F2sinaAD+FByAB=0FBy=0.286kN,SFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0FAz=-0.8kN,SFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0FAy=-0.8kN,有平衡方程,36,2）求轴的内力，,3）危险截面：可能是C或者D。再考查合成弯矩。,绕x轴的扭转：CD段扭矩为：T=F1cosad1/2=0.15kNm,xy面内弯曲：无分布载荷，弯矩是各段线性的，且：MyC=FAyAC=-0.16kNmMyD=FByDB=0.0572kNm,xz面内弯曲：有：MzC=FAzAC=-0.16kNmMzD=FBzDB=-0.456kNm,画内力图,37,3）危险截面：可能是C或者D。再考查合成弯矩。,由,D处是危险截面，且T=0.15kNm;M=0.46kNm,4）强度校核,强度足够！,38,例7：斜齿轮直径D=400mm，空心轴外径d=40mm，a=0.5。齿面上受Fy=1kN、Fz=2.4kN及平行于轴线的力Fx=0.8kN作用。s=120MPa。试校核轴的强度。,解：1）求支反力,SFx=FAx=-Fx=-0.8kN,SMy=-0.4FAz-0.2Fz=0FAz=-1.2kN,SMz