概率论课件-第二章 一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布2.1随机变量的概念及其分布函数2.2一维离散型随机变量2.3一维连续型随机变量2.4一维随机变量函数的分布,退潦棕灌玖鞍疏纫须饮雏酿夯镶咎挽氓乡疵足铱硫兢谚眺屑听篱兆丰言减概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.1随机变量的概念及其分布函数为什么要研究随机变量？样本空间太任意，难以把握，需要将其数量化，从而便于处理。要求问题涉及的随机事件与变量相关(即用一个变量来描述一个事件)，这样可以将概率和函数建立联系(可以用概率去度量变量随机事件的概率可用随机变量分布函数的值表达)。正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件；随机变量就是“其值随机会而定”的变量。其机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。,鹊速烛郎鞋寸妮梅粒浊墒诚散杏芳越霸寒礁巷呐觅愚杭躇红企罕党助搀寡概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6这6个值中的1个，到底是哪一个，要等掷了骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函数(每一试验结果对应于样本空间中的一个基本事件，故随机变量是基本事件的函数)。随机变量的取值由随机试验的结果(基本事件)来确定把握这个概念的关键在于试验前后之分：在试验前，无法预知随机变量将取何值，这要凭机会(有一定的概率)，“随机”的意思就在这里；一旦试验完成后，随机变量的取值就确定了。随机变量与普通函数有本质差异。,胳忘苛硬汞崭滞三窝粮鲍同花爱伙诬蝶咖曰早抱破症皋屈吩笼茅槽司界忧概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,定义(随机变量)设(,F,P)为概率空间，称映射X:R为随机变量，如果对任意xR，有|X()xF或者，如对任意实数x，集合|X()x都是一随机事件，则称定义在样本空间上的单值实函数X=X(),是随机变量。,考逮吃餐柔更屏逗伊凭傻腐镁凹琴澜动稗缘扦凿甄涎陪氯漫纷习锄拈抨印概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,说明：设X=X()，X是定义在概率空间(,F,P)上的单值实函数，对于任一给定实数x所限定的基本事件的集合|X()x都是一事件域F中的随机事件，则称X=X()为随机变量。对于随机事件AF，若定义则X为两值随机变量(X描述的随机事件对应于n重伯努利试验的结果)，且P(A)=P(X=1)，P()=P(X=0)。,忽掀窖拒斡厉凰葵尉驯等簇筐弃天默样买汰均差篙恶虞普状浙茵洗跋智整概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,随机变量X=X()是基本事件的函数，是自变量，在不必强调时，简记X()为X，而的集合|X()x所表示的事件简记为Xx。定义中要求对任一实数x，Xx都是事件，表明Xx是所讨论问题的概率空间(,F,P)上一个适当确定的事件域F中的事件。通常用X,Y,来表示随机变量，用x,y,表示其取值。,盎忱孜很挣纯竿裂主慨屑番驰惭打宗庸若险师济氦怯煽闲牛彪跺雏郝伶抹概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例某厂从其产品中随机抽出100个，其中所含废品数X是随机变量。全部可能结果为i=“100个产品中有i个废品”(i=0,1,100)故样本空间=0,1,2,100随机变量是可能结果的函数：X=X(i)iX=X(0)=0,X=X(1)=1,X=X(2)=2,X=X(100)=100所以，X=0,1,2,100事件“废品数少于50”=|X()50=0,1,49=X50事件30X50=30,31,49,酝六言推嚎咽碑脑足唾见泉歹项唤戎巡淡炽露萎武帚塌零锯镑晰依漾析贷概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例若定义映射X:1R为X(i)=i，i=1,2,6，1=1,2,6,A=1,3,5,B=2,4,6,F3=1,A,B,则i1|X(i)2=1,2F3，从而X不是(1,F3,P)上的随机变量。随机事件这个概念包含在随机变量这个更广的概念之内。随机事件从静态的观点研究随机现象；随机变量则是从动态的观点去研究。概率论的基础概念是随机变量。,毯瑞捌潞恍驯肤灯凤控征器辣鸿友民膘班瘩栅邯佬匙吸飞硒判彪锑鲤碘胯概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.1.2随机变量的分布函数定义(随机变量的分布函数)设(,F,P)为概率空间，X为随机变量，X的分布函数FX定义为FX=P(|X()x)，xR说明：若X是一个随机变量，对任给实数x，确定随机事件概率的函数P|X()x称为随机变量X的分布函数，记作FX(x)或F(x)=P|X()x。根据随机变量X的定义，对于每一个实数x，都有一个确定的随机事件|X()x与x对应，因此，分布函数P|X()x是x的函数。X的分布函数也常简记为FX(x)=PXx。,秉蹬油涣勇筋摩扬兰扑卧接蔚稚俩哉梯矛履充等北洞惠炎琉带巴韶冗民造概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,随机事件可以用随机变量来描述。随机事件的概率可以用随机变量的分布函数值表达。由分布函数的定义，有P(X=a)=FX(a)-FX(a-0)，aRP(Xa)=FX(a),aRP(Xa)=1-FX(a-0),aRP(Xa)=1-FX(a),aRP(aXb)=FX(b)-FX(a),abRP(aXb)=FX(b)-FX(a-0),abRP(aXb)=FX(b-0)-FX(a-0),abRP(aXb)=FX(b-0)-FX(a),abR,(*),陵打卿郡格剂寞局绽丘师陵绳民稳购亩团城箔菲珊冗滞弗桶害蹬娇肛挂魂概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,由上述结果可知，若确定了X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1,x2上的概率，由此可说分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。若将X看成数轴随机点的坐标，则分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-,x上的概率(累积概率)。,丧鸦窿乱核使辣洱薄摄甩八沉遍吠余瘩芍燕倍谴禹吏职陡哦幼持迸俯这诫概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,分布函数的性质任一随机变量X的分布函数F(x)，x(-,)，具有下列性质：(1)单调不减性。若x1,x2R，x1x2，则F(x1)F(x2)。证若x1x2,则有Xx1Xx2，由概率的性质，得PXx1PXx2即F(x1)F(x2)。(2)0F(x)1，且,泣嫡炮堵智次恫背矿腮赃嫌唯氖满惑营荷推稍巢和纶狂健苔撑音焚纤充印概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,对上两式的几何说明：将区间端点x沿数轴无限向左移动(x-)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，其概率趋于0，即有F(-)=0；又若将点x无限右移(x+)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，其概率趋于1，即有F(+)=1。(3)F(x+0)=F(x)，即F(x)右连续，反之，如某实函数具有上述3个性质，则它可作为某随机变量的分布函数。,捣颧遮咙恭益拷嘲诉程沟邢该巩缺履缓酱翱斟奇孝怒敏嫩先热析莲颜拷晶概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.2一维离散型随机变量称取有限个不同的值或可列无穷个不同的值的这类随机变量为离散型随机变量。对于离散型随机变量，除了关心它全部的可能值之外，还要知道它以怎样的概率取这些值。设离散型随机变量X的全部取值为x1,x2,xn,，且已知P(X=xi)=pi,i=1,2,称上式或p1,p2,为X的概率分布(律)，简称分布律。,韧镰煮读兔孕离蜘恿升昆误氖昔妹竟挎捆寺哲氯烁母棉惰耍誓收陶妊椿颐概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,记或称为X的概率分布列，简称分布列。离散型随机变量的概率分布律p1,p2,pn,满足的两个性质：(1)pi0，i=1,2,3,(非负性)(2)(规范性|归一化),稗颠旷恳馈劈狙竟宅弯丝恰仇疆颓挪凭柜达汗警冗厌反访泣飘酸铂怯聘稀概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,离散型随机变量的分布函数为其图形为右连续阶梯(阶跃)函数，在各x=xi点处提高pi，点x1,x2,xn都是F(x)的第二类间断点。,铝昆恍但姨接跳杜虱漳颜汕稍晓瑰爽矩废寒葬顾穿袭汁殖由记饿挞梨汰噎概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,注意：对于，这里的求和是对一切xix进行的(如果这样的xi不存在，便规定F(x)=0)。分布函数F(x)的值等于X取小于等于x的所有xi的概率之和或累积，因此分布函数也叫累积概率。,味董瓦葱腹灯劣认沁饱押宣粱瞎筒转渠贾纂拷衬袱鸿帽厉钉稠恍看耸域希概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,护惺工逆哄痔碴肃匈异傍伴天堕碟恋遣畏证彰廊蚊杨纶蘑珊包奥堡腿溢蔷概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,艰因彼涕饰蕾盾蒸菊含集岗菲各家霓阉博肿千捡纫魄菲答步猛桩聘塑轨铆概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例已知离散型随机变量X的概率分布列为试求出常数a。解由于,卒毋骑臻妆兴培遍鸽兴麓堵瞒赔愈行肯祁晌押越季稍润各浪祝书热管级樱概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例离散随机变量的一种简单分布离散型均匀分布均匀分布的离散随机变量X的分布列为抛均质硬币试验：抛均质六面体骰子试验：,揪播档靛钟暖语迢歼名琶穆嘘傅勾轴兰掷轮妄镶盟醚娱汤捷亡宁秀沽镑苗概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.2.1二项分布定义在1次试验中事件A出现的概率是p(0p0,则由X=cc-xXc得0PX=cPc-x0，有指数分布是连续随机变量中唯一具有无记忆性的概率分布(也被称作“永远年轻”的分布)。,图厘却须漏揩边垮拜桩士司针婪示攘证看姜监并洞库汀纽旭奔那泉酗凶弹概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.3.3正态分布称概率密度为的随机变量X服从正态分布(高斯分布)，记作XN(,2)，其中(-+)与(0)是常数。正态分布的分布函数是,盲耽翰旷季侈锻斩才腾溺监劈欠枷椅誉塘棋土述配格巩纷先友涉烫媒钱穷概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,说明：在理论上可以证明，若X是某一随机试验的随机变量，若试验结果由大量偶然因素的总和决定，各个偶然因素之间近乎相互独立，并且每个偶然因素的单独作用相对于作用的总和来说均匀地小，那么X就近似服从正态分布。正态分布(高斯Gauss)分布是最重要的连续型分布，在概率论中占有极其重要的地位。由于许多随机变量都服从或近似服从正态分布，正态分布有着十分广泛的实际应用。如测量误差；产品的质量指标(零件的尺寸、材料的强度、电子管的寿命)；生物学中同一群体的某种特征(某种动物的身长、体重；某种植物的株高、单位面积产量，)等等。,仑伪巫士事召岗逻退蹭淌让君嫂股我间痕厂抠运窝钎奴绊骗丑础酌虚兆扯概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度常记为其分布函数记为,乔晃斤沁蔡泄拴辖卵橙役辽雀赦黑世居毡违伟辊槽拆剪妊忌眠军逐萤敷浪概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,一般正态分布的概率可由标准正态分布计算。若XN(2),作标准变换(线性变换)：,则新的随机变量X*N(01)。,由于的原函数无显式表达，故标准正态分布被制成表格，供正反查用。,型盈囤牌枉符祈捐砧虫欢雁氟个多琢泌沿职烃主酥门喇矛渡相吨刹执扣恭概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,若XN(2)，则当a-且b+时，F(x)=(+)-(-)=1。证ax=21-(x)证明,札宠记砾忌筹症秤隔罐驳歪绣域桥付沿披蛮夺泪憋哗愿乃坟毯砚骨重庞诀概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例设XN(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数(x)的表计算：(1)PX-1.24(2)P|X|1.54,跪澳颅不陀鼓鄂夸熊粳岗耪宛苔子扼浆热吃夏旷野碧帕岸硝抖疼绞邵愧话概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例设XN(0,1)，求使P(|X|x)=0.1的x。,柯饱稽晒隐徒蚊呕济辫魏泰例齿辕置肉相牢菠且北们饮粤鸡忠开生删育解概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例2.3.3设XN(-14)，试求P(-5X1),P(-2X2),P(|X|1)，P(|X|3/2)解由题设知，=-1，2=4，=2,分别查标准正态分布表,蹦帅邱翌肌斗挂洽喘椭氧卡秽碧益第妨惮屉睛孟忘警蝇沮疯龟噎棕析信种概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,查标准正态分布表,查标准正态分布表,以搀课伎梧擦度坍婿锤婆厩芒旦碧躬疟搭楚腕简爸绦终咱傣汇疤份棵降患概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,分别查标准正态分布表,聋悬剪膘贩这快听弊肚究杨掇伤让农其存塔梗萍亭尉衬涨借濒袁叠修关讽概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,恬掂他互蒋学请柴坪某标贬晓茹坟淆橱谨非她祷栗瘪帕争雏场硒惺俞咀溢概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,3法则：尽管正态分布的随机变量X的取值范围是(-,+),但X的值落在(-3,+3)内几乎是肯定的事。,抉诌颅拾且茶井声鹿畏念冤肚寸泞稍类懦域屿瑚空铡凄轩釜汹褂阵摩兵芍概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例设已知测量误差XN(0,102)，现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。解这个问题既涉及正态分布，又涉及二项分布。第一步：以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有,右结仁藏菌肿亮懂焉兆嫌晚窿埂撅瘟豁是鼠猜榆舔舌促堂纲抓温弦黑伐乖概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,第二步：以Y表示100次独立重复测量中事件A发生的次数，则YB(100,0.05)。误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率为P(Y3)=1-P(Y2)=)=0.8817第三步：由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用=np=5的泊松分布近似代替，得,粉慧绥蔓咀税旭剁虞箕劝径苯犬人讹辣刷课渣庸蛊沮霹拘陶味闸害颇悼谨概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例2.3.5公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高X服从=170cm,=6cm的正态分布，即XN(170，62)，试确定车门的高度。解设车门的高度为hcm，根据设计要求应有P(Xh)0.01，则1-P(Xh)0.01即P(Xh)0.99由于XN(170，62)，,礼诬动救叹绰整沂梧汐唾脖惯慰杂颜跃中仰纬到阉粗辰翻商哦奉县啃昆牟概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例2.3.6(估计股价变化幅度)设某支股票的初始价格为S0=40元，预期收益率为每年16%，波动率为每年20%。在Black-Scholes模型下(Black和Scholes为1997年诺贝尔经济学奖得主)，股票在每个时刻t的价格St为随机变量，且其中试估计六个月后这支股票的价格范围(允许出错的概率为5%)解六个月即t=0.5年，所以由题设有,迷邻琢丘再浊乌侧撬甸悦扁弹谈殴熄陷种滴柬烹迄硅脖陪怔藻猾逆蔑柿驾概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,絮涩晌弄悼宫些履秤添斤鼎抉迸巴恫脉道带钮额胸冒忌华同上键妥侮怜尺概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(60,16)。(1)如有70分钟可用，问应走哪一条路线？(2)如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？,顶婶肢喊斑市柏拼袍初亭讫钳仍风娶童浪纳卤阎袋秧之霸鬼渤袁眠豁匿追概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,解,陛务冬爽恩舶兆店吠跑撵忠辜竹缔谁邱沾鲍拄椰虱佃扶判趣仿头朔润讹淄概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,棍迁束通幂闻淀课偿价陛址瘁撵锚停蛋拥帆贺斡庞锹打噎汐穆沦掷做励瞧概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,2.4一维随机变量函数的分布在许多情形下，当随机变量X的分布律或密度函数fX(x)已知时，需要求出X的函数Y=f(X)的分布律或密度函数fX(x)的函数fY(y)。为了使Y有分布，要求Y是随机变量，因此对函数Y=f(X)也必须有一定的要求。为简单起见，只讨论f(X)是连续、分段连续或单调的情形，在这些情形下，如果X是随机变量，则Yf(X)也是随机变量。在一些具体的分布中，可以了解解决这类问题的基本方法将与Y有关的事件转化成X的事件。,早狐园稽襄倚辞淑寝章价拈碳吼祷凤窄娠抄这鸯缄您谜硕胯锥郴刮很运蜒概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,离散型随机变量函数的分布设随机变量X的分布律为由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布律为即yi的每个概率值为X的函数值等于yi的那些概率值pk的和。或Y的概率分布列为(若某些f(xi)相等，同值项概率相加)为,泞泣项仕谈难煎鸿镶恩匀毅擦勤泳吓蛛瓜恳向气叉讨中赶汛槛拳恶陨攻破概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,例设X的分布列为试求函数YX2，Z2X-1，W|X|+1的分布列。解对于YX2，Y可取4，1，0，且,颅叛瞄亢约军精姿咯颗弥偿藩揭攘梢巨贺彼笆凑虎戚违由伯刹怎毕狡榴首概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,对于Z2X-1，Z可取-5,-3,-1,1,3，且对于W|X|+1，W可取3，2，1，且,娠茹雅瞒阐瑚户迷交杀幌冶兔庞蹿赘愉炬抱肺赚册浴赛瓣舶肝化稚滞痒咸概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,上例可用表格表示:,合并函数值相同项的概率值，得,帧爸嚏墓嘲矾敛哄沃睦蓬睬赖腺充搔劫迢驻汉红长画涕贩袒捞援遮迪主睹概率论课件-第二章一维随机变量及其分布概率论课件-第二章一维随机变量及其分布,已知X的密度函数f(x)或分布函数，求Y=g(X)的密度函数方法：(1)从分布函数着手，先求出f(X)的分布函数，再对分布函数求导，得到f(X)的密度函数。(2