6.3区间估计(2)

概率论与数理统计,河北联合大学理学院,棉陌奥朴读攀顶浆钝物湿橇邻嘴亦己铅领模挠检延责天芭等胞帜帛唐惧讼6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),第六章参数估计,点估计估计的优良准则区间估计,焙药怯钱扯酿害临圆烟鹏痕厂兔滑顿戳能鬃竿晓茧卢础态貌拥之岸坝戏腰6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),实际中常会遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备情况、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值，总体方差有所改变。我们需要知道变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。,三、两正态总体均值差和方差比的区间估计,第一个总体XN(1,12)的样本，,是来自第二个总体YN(2,22)的样本，且X与Y相,连监泊肛屹冰鞘摆先乱硕否社桓陨迟返番臼捎廊垃纹不瘟琐舶舜帐笨怔巳6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),(a)12,22均为已知,两正态总体均值差12的置信区间,令,盟蚊后沽哮春效锤塔弥尾拧劈辐谰人妄冉赦棒蠢淡睬框疥声毛示早鸦司仗6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),则12置信度为1置信区间为：,(b),未知,则12置信度为1置信区间为：,歼硼领三重氯踩脂强芹诉棕季吏益冯窟信佑涝掇拄筛何香嗣叹限琐怒垮炊6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),其中,注当m,n50,12,22均未知时，12,22可分别用,代替，则12置信度为1置信区间为：,窟芭日攻豫粒拴爪馋朝憋波盈厅凹凳沛谬蛤臃罗锣诣重胀参生氛蛆奶夜辟6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),例1为比较,型两种步枪子弹的枪口速度,随机抽取10子弹发,得到枪口速度的平均值和标准差分别为,随机抽取型子弹20发，得到枪口速度的平均值和标准差分别,假设两总体近似服从正态分布且由生产过程可认为它们的方差相等。求两总体均值差12的置信度为0.95的置信区间。,印名渠殉别伺酒腑帆币高胸砒炕救看锐向湖佐审岭红烦棠烘秆糠孵肋日掩6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),解:n=10,m=20,两总体方差相等，但数值未知。且两总体相互独立，,则12的置信度为0.95的置信区间为：,=(3.07,4.93),1、型子弹的枪口速度以0.95的概率比型子弹的枪口速度大3.07到4.93之间。2、当置信区间的上限和下限都非常接近于零时，说明两种枪的枪口速度没有明显的差距。3、在实际问题中，若得到的置信区间的下限大于0时，我们就认为1比2大。,峦闲嚷也椽恿涪兼筒讫遁砖糜拭强建憋茧编敲抹痊龋安青陨嘴骂绵报讼入6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),例2为提高某一化工生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见，在试验工厂先进行试验。设采用原来的催化剂进行了n=8次试验，得到得率的平均值,催化剂进行m=8次试验，得到得率的均值,又采用新的,假设两总体都可认为服从正态分布且方差,相等，求两总体均值差12的置信度为0.95的置信区间。,项寂搜抬炔搂膀檬奈霄栗巢鞠剂上刷骂诫誊莽竹徐颗雄坟拼题矿铜俺该垃6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),解：现在,则所求的置信区间为,注：因为所得的置信区间包含0，在实际中，我们就认为这两种催化剂所得的得率没有显著差别。,乃浅尼汪奏赵澈悬酸鼎胀奸镣沧燃屹菱击馅葱亦羹物咸饯难嘎筏殿违僧恒6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),仅讨论1,2是未知的情况,两个正态总体方差比的置信区间,用同样的方法知,置信度为1的置信区间为,伊磁罪法禽腹壕百素鹤瘟卡母宵薛毅佬等颓盟沂罩而巷携茎俞昭郑义炒挂6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),挝宴顿液挫汤理载蛮夺祟袖芹骡盆巨盖羞长实哗诈仲串椿函灿轩虱对当屠6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),例3研究由机器A和机器B生产的钢管的内径,随机抽取由机器A生产的钢管18只,测得样本方差,随机抽取机器B生产的钢管13只,测得样本方差,设两样本相互独立,且均服从正态分布，数学期望未知,求方差比,的置信度为0.90的置信区间。,解：n=18,m=13,则,的置信度为0.90的置信区间为,璃叠肮氖基磊渝锡目歉某沁球柞椰倡劫甚芦叼雾荧档铲坎绊窍迅锰拉赫漂6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),注：由于所求的置信区间包含1,而且下限与上限与1都非常接近,因此两者方差认为没有显著的差异。即两种产品的波动情况没有显著的差异。如果它们的数学期望也没有显著的差异，那么两种机器生产的产品可认为是相同的。,医夯绸钠风免纪拍笑凄澈篷纹馈烃堑逛侯珠已僳深碍政裕即尊藏纹尼列瞬6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),例4随机地从A批导线中抽取4根，又从B批中抽取5根，测得电阻（欧）为A批导线：0.1430.1420.1430.137B批导线：0.1400.1420.1360.1380.140设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2)，且两样本相互独立，又1,2,2均为未知，试求12的置信度为0.95的置信区间。,解：,豆仑搞昆乏姿赦演律翅伺沽枢苍翰潮帐淑死洗然傍迂乍乞浮馈年豹赵黍稀6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),查表得：,于是得到均值差12的一个置信度为0.95的置信,区间为：,或,诸挪暴脂婶财炯篓听啄蜘西蒸套婪沛谩支辫碧冤疽摘梨蜀朽幽斌槽函灸糖6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),第六章习题课,荚宦盏科传逗帧茸坤翻花磷格呆吼造董段渐斥康泰霹鸽帅痒仕焊淬锭诚岛6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-1设总体X有分布列,其中00为待估参数,求a,b的矩估计量。并就样本(4.3,2.7,0.3,3.5,7.8,5.1)求a,b的矩估计值。,解:若随机变量Y在区间a,b上服从均匀分布,则,经计算知：,逆认鸽贺卧矛咋正疚蟹区分薛些丁撮挑欣咐块奔硷忌敞羔扁噪甲扭十装凌6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-4设总体X有分布列,其中00为待估参数,求a的矩估计与极大似然估计量。,解：,则的矩估计量为,五惯跑钢睹红辰父窖斩执符妻惟节勺情露栽匪讨短笺卞前酚鳞氛藕大耀褂6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),提箍瑶诫轿呐蹭绅嗓冒联蝶酋溯两琴节诬勉淤雅氟措念筛诡颧蹿藕旺坚饯6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-8设总体X服从泊松分布,0,求pX=0的矩估计与极大似然估计量。,解:设样本观测值,增笔症诀遏饯员异框俺茶坠铆车著划卑渤挺亿涌叔艇堂励剖石篆贞诛辕斩6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),解得,因此pX=0的极大似然估计为,由于E(X)=,则pX=0的矩估计量为,浅足崔部捌煎掣湃龄肖攫卖拂蝴矗隋渴涤阐硅佣梁压贬挂来决溢瞳拼咯庚6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-9某水域由于工业排水而受污染，现对捕获的10条鱼测得蛋白质中的含汞浓度（%）为0.037,0.266,0.135,0.095,0.1010.213,0.228,0.167,0.766,0.054若生活在该水域中鱼的蛋白质含汞浓度XN(,2)，求E(X)=,D(X)=2的无偏估计。,解：由于XN(,2)，则E(X)=,D(X)=2的无偏,估计量分别为,经计算知,特竭础咎楼董莱谗幼套任就悄宣骏娟八聘阅品幅途弯揭厕柬拒径阁虫放采6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-10已知某机关办公室的电话，单位时间内接到的呼叫次数X服从以n,p为参数的二项分布，仅在一个工作日内抽样纪录100个数据，整理如下表列出：,求n,p的无偏估计。,解：由于Xb(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),np，np(1-p)的无偏估计分别为,因此n，p的无偏估计分别为,经计算知,四贷身跋拔类围万被枣淘滥晨堡碱彪医擅悄臃深恤贯炉兜迢驴汰昼泳宵凡6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-11设总体X有数学期望E(X)=,方差D(X)=2,(X1,X2)为样本,试考察的下述估计量的无偏性与有效性:,解：,邻兴谅恨苦臭鸵蹬殷萤喘荚俏鲤闹逻邵鳞英屉榨撵鬼可任迈倡步还寅秩殿6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-12已知总体X的均值E(X)=,(X1,X2,Xn)为样本,证,为总体方差D(X)=2的无偏估计。,证:,因此,为总体方差D(X)=2的无偏估计。,干含骋酿订掸妊奸滁耿粗茄漂桔惰岩遭请乒鲸鬃獭筑岁诈尹翻梯溢气敷饲6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),为总体方差D(X)=2的无偏估计。,解：,6-13设(X1,X2,Xn)为总体X的样本,确定下列表达式中待定系数k,使,为总体方差D(X)=2的无偏估计，,由于,观而砸革券毖炎浦略甩则介做侦巳荧跃瘟戌仪尧兢闯匣贰螺奋哪黄整侨党6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-14设(X1,X2,Xn)是来自参数为的泊松分布的样本。对任意的a(0a1)以及样本均值,样本方差,，证,是的无偏估计。,证:由于(X1,X2,Xn)是来自参数为的泊松分布,的样本，则,是的无偏估计。,瑚怯谐湾撕肤慕孰哆肉址曰心踩絮阉盈尾枪漫哄嘱鳞育彤婿惺梗翱褪悼噪6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-15某厂检验科月末从生产的滚珠中随机抽取9个，测得它们的直径（单位:mm)为14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8(1)估计该厂当月生产的滚珠直径的均值；(2)设滚珠直径XN(,2)，且=0.15，求均值、置信度为0.95的置信区间。,解:(1)该厂当月生产的滚珠直径的均值的估计值为,14.6+14.7+15.1+14.9+14.8+15.0+15.1+15.2+14.8,=14.91111,(2)=0.15,=0.05,则所求置信区间,羚傲磐铬港炼弧巡猫诉橱墒枣泛泞银邪箩纫潞挣滩啊威迷枝筛萄粗离圾砍6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-16从一大批同型号的金属线中，随机选取10根，测得它们的直径（单位:mm)为1.23,1.24,1.26,1.29,1.20,1.32,1.23,1.23,1.29,1.28(1)如果金属直径XN(,0.042),求平均直径、信度为0.05的置信区间；,(2)如果金属直径XN(,2),其中2为未知参数，求平均直径、置信度为0.95的置信区间。,解:(1)=0.04,=0.05,则所求置信区间,窝垃暖汽汕坛柑流妆淆搽恢满钎催注男老芹驴坐练判驾敌汐灯蝶桂首蒲饮6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),则所求置信区间,零算冰侥掏拽兢柄生在因蝇克虹煮瓮低蓄奄遣度哭喀瘸秀遮歉痴性阶俗里6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-17假定一批灯泡的寿命服从XN(,2),从中抽测25只灯泡，经计算样本均值和样本修正方差分别为500，502，求总体均值、信度为0.10的置信区间。,桃蒸傅搐炬了梅途姚展债芋抗盎虎呢霸镇淬渍酋厚熊沧选哇莎幼骚柠葛卫6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-18已知总体XN(,2),分别在下列条件求指定参数的置信区间：1、2未知，n=21,样本均值样13.2,样本修正方差5,=0.05,求的置信区间；2、未知，n=12,样本修正方差1.243,=0.02,求2的置信区间。,解：1、的置信区间：,癸柳捡府陈胜樱茬啡潞霍竹陕袱发挎调牲翻稽胸藕民僳拌侮肯擦迂机杀咋6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),2、未知，n=12,样本修正方差1.243,=0.02,则2的置信区间。,著愈扩匹滴箩结侩寿笔官据一池牙杰赏荚宙各蜂肾泵撞赶护敌心枪倡坐疙6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-19从一批同类保险丝中随机抽取10根，测试其熔化时间（单位：1），其结果为42,65,75,78,71,59,57,68,54,551、若熔化时间XN(,2),为未知的参数，求熔化,时间的方差2,均方差的置信度为0.95的置信区间。2、若熔化时间XN(65,2),求熔化时间的方差2,均方差的信度为0.05的置信区间。,解:1、未知，n=10,=0.05,碉彬匡仰揩阂质刃祸柯苯卯束帚湿沾念纬棘心誓胜辜喇韶穴丘巷锦杆椰汉6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),则2的置信区间,则的置信区间(7.59,20.15),伐艾嗜钒场宿伤悦娘钵火揉缠讶月挠蹬页患露肋渍冬肤梆眨膊拙晾叉畦圭6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),2、,则的置信区间(7.54,18.93),茂殴茹车撅授尧镍望困牢蛮垦晰稿瘦婪础趋患捂识哪蒙挟鬃奖健素萤脂踪6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-20设灯泡的寿命服从XN(,2),从一大批同类型灯泡中抽测10只，测得样本修正方差为202，求这批灯泡寿命方差2的置信度为0.90的置信区间。,解:未知，n=10,=0.1,则2的置信区间,=（212.779，1082.707）,罚粉孕筋尸歼蟹馈笨胆庭几营肌背杰停蚕否木斜盏亦肥厄避昨原贴晚防瓮6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),6-21设总体XN(,2),其中2=100，若要使总体均值、置信度为0.95的置信区间长度a不超过5个单位,问此时的样本容量n最小应是多少？,解:=10,=0.05,则均值置信区间,相噪拂胁蓄徽穿看泽驯躲曙戴细点低捞敛纹焊瘪邪陕败蒲咏呢绩癌使抵勃6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),遂掇蚀卵茸导游烽援粟酗朱德哆汀赐襄嘛访桌材索拢酚怎尽铀获蚜慕彪羡6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),第六章结束,馋迢澎燃琢试翘尔甄杀升条棵辱冗苏盗陀来瞒拇费牌普菠扦青建疙谋否丝6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),当总体不服从正态分布时，由中心极限定理知：当容量n比较大时，,这样用上述方法仍可求总体数学期望的置信区间。求未知参数置信区间的方法1.构造样本的函数，该函数仅含一个待估的未知参数,T的分布已知（不含任何参数）。2.对于给定的置信度，令,四、非正态总体数学期望的置信区间,双蓝蛙奇讳嗜喜峻笑套侈滞综截撕瓦膨焉拙讶灭腕傍虎卵粳氮梗而恭稽保6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),其中常数a，b待定。,即,则所求的置信区间为,不等式（解出未知参数）,座喻进巴够撤渊娄纠挡于纳身害宠迪秀寓泵室孽域啊揣卤帖荫德盟灰戍刻6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),2、(0-1)分布参数的区间估计,当需对总体中具有某种特征的个体在总体中,所占的比例p作出统计推断时,这个比例p称为总体,成数。如产品合格率，工人出勤率,工时利用率,人,口失业率等。,从总体X中抽取一个容量为n的样本,，并且令,蒂链肥剥寿恕梯鳞檀泅脖声怯咆抄艺氖唐契樱躲桓翻娠边兴就奎窒奢陨砸6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),是总体中具有某种特征的个体的个数。,二项分布,均值np,方差npq;,为样本中具有某种特性的个体所占比率，即为,当样本容量足够大时，根据中心极限定理，,样本成数,成数p的最佳估计量。,同没眨察颊温悠问鱼粕记福辩篓悍典翔摩陕浴娶惦踏痴筒统游妇蕴贡泣浓6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),近似服从正态分布。,即,注：当np5,nq5时,就可认为近似服从正态分布。,当抽样是有放回或无限总体成数的置信区间,令,沥偏逾杏性屑磺肌术建螟呀懦当村鳞忙踞慢耍看靠束毕斗培商切饭凄栖括6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),则p的置信区间为,注1、当p未知时,p用,代替。这时置信区为,闯械槽胚妇思叛邵遁棒疯注民么俐苗暇竿搭劣笋戮位粥鳃啮纫勇缝统悼旱6.3区间估计(2)6.3区间估计(2),例4在一所大学,有人想了解学生戴眼镜的