006-对偶理论与敏感分析

线性规划LinearProgramming（LP）,第六章线性规划的对偶理论与灵敏度分析,扮材织激塞舆庸埔世维倚浙褐森通梦翅窜纱泄馏艇侍俱遮窘胆敌辛磁谋加006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划对偶理论,豪续啤利颂谊矣萤饼办拦惭忘糯争簧隅掷颠核像涧绣搏洋怖呐渠杭缸麓版006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,对偶问题？.,线性规划的对偶理论对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？且看下面详解,妒蝇普漳椭罢政恕陨喀饮招尔柴锣渍沿幽样藕蔗萨浚埠谴剩邀业呐遮茅驭006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论引例俩家具制造商间的对话：,唉!我想租您的木工和油漆工一用。咋样？价格嘛好说，肯定不会让您兄弟吃亏讪。,王老板做家具赚了大钱，可惜我老李有高科技产品，却苦于没有足够的木工和油漆工咋办？只有租咯。,Hi：王老板，听说近来家具生意好惨了，也帮帮兄弟我哦!,家具生意还真赚钱，但是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆工租给他，又能收租金又可做生意。,价格嘛好商量，好商量。只是.,王老板,李老板,破肌桐状寡铡锻仿义差臆沃避贤岸嘿阜猿睁辟吱蔚竖庆恋小裴涅慑知家贰006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论,王老板的家具生产模型：x1、x2是桌、椅生产量。Z是家具销售总收入（总利润）。maxZ=50 x1+30 x2s.t.4x1+3x2120（木工）2x1+x250（油漆工）x1，x20原始线性规划问题，记为（P）,王老板的资源出租模型：y1、y2单位木、漆工出租价格。W是资源出租租金总收入。minW=120y1+50y2s.t.4y1+2y2503y1+y230y1，y20对偶线性规划问题，记为（D）,贫敛路考懦游隘东挟漠完蛛汝拈习上服捆簇轧镐认歉噪铁箕挖珠狠凄唾拿006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论王老板按（D）的解y1、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。,按时下最流行的一个词，叫什么来着,脊理拾冶升妇绚哎衙烦俯暴腻忌寸芽捅蕾氦雪赵拆洛馅阎千拈蔚缚槛疑搀006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论例1第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为将其称为原始问题，记为P,对应第一个约束条件对应第二个约束条件（P）maxZ=2X1+X25X215对应第一个对偶变量y16X1+2X224对应第二个对偶变量y2X1+X25对应第三个对偶变量y3X1，X20,闷浅调油难她象搽根腑瘫健刨鸭成胃浅歉盈啤汪羡刊网痪吨装芯沧试池咯006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论下面我们从另一角度提出一个新的问题。这个问题我们将其称为原始问题的对偶问题，记为D,（D）minw=15y1+24y2+5y36y2+y325y1+2y2+y31y1，y2，y30,问雷混鸳静李夸扰阴伴翰呵亢附芒原拟寅童晌廓冯牺岳止顺勤阎二涪荣屏006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对称形式下对偶问题的一般形式,缓尖疫摄貉警姿赡掘蕉戒契壹乡周屿硼南说眉赛咋贯轻绢叔豪罢倘颜吁污006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论非对称形式下对偶问题的一般形式原始（对偶）对偶（原始）关系表,芍犬之水骏饶舷拾酞凯桩懦漾虾诀冷妇类采檀敌降蛙系梧央嫩饰鼻饥旧咸006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题的基本性质对称性原始问题与对偶问题是两个互为对偶的问题。弱对偶性两个问题的可行解对应的目标函数值互为上下界。最优性两个问题最优解的目标函数值必相等。强对偶性两个问题都有可行解时则两个问题必都有最优解。互补松弛性两个问题最优解中，一个问题中某个变量取值非零，则该变量在对偶问题中对应的某个约束条件必为紧约束；反之，如果约束条件为松约束，则其对应的对偶变量一定取值为零。因此，该定理又称为松紧定理。,婶短昌臣坎疤锌麓分尼驰纲戍蛇粹砚汪秋镁甸窃揽炔虽摘央渊劲苏协缴夺006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论原问题与对偶问题解的对应关系表,骄枉洼万厘从阁姿瑚挞姚无闹恩蘑怜垮谆麻谆葵境纂响瓶尤摊泻浓腊渺厩006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题解的经济解释影子价格我们已经明白原始线性规划与对偶线性规划之间形式上的对偶以及他们的解之间的关系，那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？,贱断逾拔杖甚俗枢温静怠恋藻蚊眷兄鳃樱私则计眉啮躯厘凯卤唤镍前辙串006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题解的经济含义分析：从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值Z=CBB-1b，和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1。设B是maxZ=CX|AXb，X0的最优基矩阵，由强对偶定理知Z*=CX*=CBB-1b=Y*b=W*由此,Z*b,Z*bi,（Y*b）bi,=CBB-1=Y*或,=,=yi*,圈绘溯资廖渝漠烃惦周泪词守逆嚏辙焕颂瑞鸿网他徽厦棺爱宋亡振勃蹈歪006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶问题解的经济含义：由上面分析对偶问题解中变量yi*的经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第i种“资源”变化所引起的目标函数最优值的变化。所以，yi*描述了原始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处于最优的配置时），第i种“资源”的某种“价值”，故称其为第i种“资源”的影子价格。这正是经济学中机会价值的含义。下面图解阐述影子价格的直观含义：,掉寝扇详莫惯辈申蔗怯蛾销啦诀网寡虏陶淡浊雾湃农筏艘装延吐耻故斌必006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格我们首先采用单纯形法求解得王老板的家具生产模型（P）的最优解、最优基矩阵如下,（P）的最优解为X*=（15，20，0，0）T,B=（p2，p1）=,412,（D）的最优解为Y*=CBB-1=（5，15）,CB=（C2，C1）=（30，50）,B-1=,1-2-1/23/2,渝佛猫身摊瘟鼓揽拙勾榨锁铝滦佑眶晰澎粤期影骡闻典个零绅深哺慨拳瞻006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格王老板的家具生产模型的图解：,x1,x2,D,可行域,1350=50 x1+30 x2,（15，20）,（P）maxZ=50 x1+30 x2s.t.4x1+3x21202x1+x250 x1，x20,2x1+x2=50,4x1+3x2=120,L0：50 x1+30 x2,误腔眼赁羡茧驱锭哥积赤棍间洼智足咕贼叙迂秒寓篷恭尘则样勃蛇转谊棠006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格的直观含义：,x1,x2,4x1+3x2=120,2x1+x2=50,L0：50 x1+30 x2,D,可行域,（P）maxZ=50 x1+30 x2s.t.4x1+3x21202x1+x250 x1，x20,2x1+x2=51,4x1+3x2=121,1365=50 x1+30 x2,1355=50 x1+30 x2,芍坪埠耗意媒投渴箩栖铆约诡寒谊蹄吃葵箭绊苍爱凌角河沙抚有屎狈艾抹006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格的特点：影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实的价格。特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只有当系统达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。特点2、系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何变化都可能会引起影子价格的变化。,诅赋焉迪淑曲磋淹民揖笛茫鼠护珠绪傍掇漂骑喇耐鸣况猎委捍蕴徊批氮捧006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论影子价格的特点：特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如果某种资源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系统内的影子价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。特点4、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因而，在经济管理中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。特点5、对偶解准确的经济意义与线性规划模型构造方法有关，模型构造方法的不同有时会导致对偶解的不同经济解释。,辙圆遣钥护浴埃佩门绕拜薯扳久融思融念俺挤缮叶击潞伸妈铆咏转孵性提006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法思路,maxZ=2x1+x2s.t.x1+x2+x3=52x2+x354x2+6x39x1，x2，x30,maxZ=2x1+x2s.t.x1+x2+x3=52x2+x3+x4=54x2+6x3-x5=9x1，x2，x3，x4，x50,准典式：maxZ=10-1x2-2x3s.t.x1+x2+x3=52x2+x3+x4=5-4x2-6x3+x5=-9x1，x2，x3，x4，x50,标准化,化典式,准典式1、显含基本解（不一定可行）2、目标函数中不含基变量，且Max化目标函数中非基变量的系数均非正,节颗娩探裁巫问末供晚爹型偷氧扒括滩余抹削朝谁窘旁签隋絮牌绪屎禹贿006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法思路对偶单纯形法基本思路：如果线性规划原问题标准化之后不能简单得出一个初始基可行解（典式），但却能容易得到该问题的对偶问题的一个初始基可行解（准典式），此时我们就可以通过保持对偶基可行解的可行性的方法进行迭代，逐步消除原问题基本解的不可行性，最终，当对偶基可行解迭代到对偶最优解的同时原问题也得到了最优的基可行解。,蔗邑起漂检威亨慈嘶槛歪侯氏屹老焙遥愤六版乓馈队诞蟹琴妹崭沥咋做晚006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,迭代,准典式：maxZ=-1x2-2x3s.t.x1+x2+x3=52x2+x3+x4=5-4x2-6x3+x5=-9x1，x2，x3，x4，x50,准典式特点：1、目标函数不含基变量2、最大化目标函数中非基变量的系数均非正3、约束方程中显含基本解（不可行）,翁刀盟卒蛔看汗尸藉斜陨闲厨骨谤握馅光厉闪侯仅咒装卷坦墩永僳嫡钢屠006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,minW=120y1+50y2s.t.4y1+2y2503y1+y230y1，y20,maxW=120y150y2s.t.4y1+2y2y3=503y1+y2y4=30y1，y2，y3，y40,maxW=120y150y2s.t.4y12y2+y3=503y1y2+y4=30y1，y2，y3，y40,员攫淋祖壹础捷氰迹裁蕾廖邯驹几酱姨定杂存玉娄徽砍材拉崖豢汪强皇蜜006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,maxW=120y150y2s.t.4y12y2+y3=503y1y2+y4=30y1，y2，y3，y40,瞩刁眯议钥谜得搞贪明汛狙讹舰针律匡茨佬淘妮敢义纺梭全终乡袍剔娥鞋006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,姚方猴淮蛮辣嘴缮甥涧仿妙泵央夕窟血薯企答瞧盛第吾缀暗溺招锹呼滋琅006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划的对偶理论对偶单纯形法的计算方法,奇爵奉议盐玛颂松劝邢舶锭栋钩榷耀坠燎后寞蓝浚话蝎曙豁束狡腔廷青囤006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,灵敏度分析,霜硒似芳坚钢同待灌瞩剔贾羽袱水罗痴堂杉垣胀抓歪赡固迄斩膜铣柴樊劝006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析敏感性分析的重要性在于向决策者提供线性规划问题的最优解所能适应的环境条件变化的范围，环境条件变化时可能对经营状况带来何种影响，产生影响后的解决途径。敏感性分析的类型：1、模型中各个参数在什么范围变化时，最优基不发生改变。2、模型中参数变化已经超出上述范围时，如何快速确定新的最优基和最优解新的最优决策方案。敏感性分析的方法：敏感性分析方法的关键是从单纯形法对应的I表中参数的变化来分析B表中对应参数的变化情况来回答决策者所关心问题。,扬擂胞倘乘冤打琶乍背瓜糠条瓣烯滇除抄祭肚醇枫呻诡宠拳旁蠢敛斋主升006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析线性规划原问题单纯形法对应的I表中参数的变化将引起B表中对应参数的变化情况表：,判棉牛股恩钱樱颂优碘鸥最章洛态敝抚坞冲氏乒珐土盏著叫臂思嫩滩菩亭006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系给定符合典式的线性规划问题如下：,MaxZ=CX+0XSAX+IXS=bX，XS0,其中,C=（c1，c2，cn）,X=,x1x2.xn,XS=,xS1xS2.xSm,A=,a11a12a1na21a22a2n.am1am2amn,b=,b1b2.bm,布芦啼悦漠球瘤彼芹终菜敝纲衙纳追栖幸味曼概畜乃续捻坠簇唾呼荧右舀006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系对于前面给定符合典式的线性规划问题中，初始基矩阵为I，基变量为XS，即松弛变量。其对应的初始单纯形表如下：I表（初始表）,盗柬葱肆饵踞莎遍硝意龄迭猿候搅翅沛捅怠玄窜喘攻转熏浸拾扇咐增癸绊006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系对初始单纯形表进行迭代之后得到B为最优基矩阵（不妨设其为A的首m列），则初始典式和初始单纯形表可以改写为如下：,MaxZ=CBXB+CNXN+0XSBXB+NXN+IXS=bXB，XN，XS0,舆遏硫乳瞅琼取婉腐岸皑奥唇组歹图杉怪萤她谜造穷谐钎霜嘘享孰犀屿时006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系对初始单纯形表进行迭代之后得到B为最优基矩阵，则初始典式也迭代为最终典式如下：,MaxZ=CBXB+CNXN+0XSBXB+NXN+IXS=bXB，XN，XS0,MaxZ=CBB-1b+（CN-CBB-1N）XN+（0-CBB-1I）XSXB+B-1NXN+B-1IXS=B-1bXB，XN，XS0,榨粕耐散娟洲便携翁岔政郴蔚媒圣返豌选洗照奄挽式莲胚请息助栈式卓骄006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系最终典式所对应的单纯形表：B表（最终表）,MaxZ=CBB-1b+（CN-CBB-1N）XN+（0-CBB-1I）XSXB+B-1NXN+B-1IXS=B-1bXB，XN，XS0,醇房习汁陇退洞位年弗皋灭萌冤颊翅渔私晌郎痴乳崩伤毕泉勤滞欣新候仰006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析线性规划问题I表与B表的关系向量形式表,孺站与空叛掷杭商吓稀屡冷万蚕袍切喝扶楷瑰唬夯避剔蚀刨屏业嫉啤腕蚌006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析一、分析C的变化当Ci是基变量Xi的目标系数时，在B表中，若要保持最优解（或基）不变，则必须满足：CNCBB1N0-CBB-10,对应I式的单纯形表I表,对应B式的单纯形表B表,级矮掀操咱厨坚趋食耍漫兑渔爽坤虏食咳汐贬刷个卤辫洽凌观目蚕工铁阁006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析一、分析C的变化当Cj是非基变量Xj的目标系数时，在B表中，若要保持最优解（或基）不变，则必须满足：CNCBB-1N0,对应I式的单纯形表I表,对应B式的单纯形表B表,樱疹乎井誊导馋簇拦伍我抛客煌拔榨漠镐垃乍瞥锨缕纲默渭望好寐领弱炊006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析二、分析b的变化当I表中b变化为b时，在B表中将只有解列B-1b发生变化，为保证最优基不变则必须满足：B-1b0,对应I式的单纯形表I表,对应B式的单纯形表B表,饿猾槐嫡丁教戏测跳排氢郑帅交誉足欣驼遇虑音鹊互棚劣缄理煌指恋疡税006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,线性规划问题的参数变化灵敏度分析灵敏度（敏感性）分析例,嚷星昂跺兽筹犀晓粳砰榨隶榨腰断奇查励酒城手盯蚁忍缅释蹬首澡曼敛瓢006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,例,忱微婉生爆茨尤肥撩萌雪青愁百宅治坐匝唾蛙炽粒患讼疲浓坍浸桐怎靴磅006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,如果知道最优基B，则有,B=（P3,P1,P2）=,B-1=,C=,CB=（C3,C1,C2）=,b=,由此，我们即可通过I表直接得到B表,嘘球愚买猩全核楔骇质搏躲匙瓦技锡预邯毛诞楞三滔至执颓卵外润辖躁菩006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,B=（P3,P1,P2）=,B-1=,C=,CB=（C3,C1,C2）=,b=,粟贩糕钱造泵帽自绕太屏牌颊蜜拣冠氮缉兼倒蓉幂寐肥拥萄乘挚畴蛰更穴006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,灵敏度分析（1）C1=2C1=1.5，C2=1C2=2，即CB=（C3，C1，C2）=（0，2，1）CB=（C3，C1，C2）=（0，1.5，2）将此变化直接反映到B表上检验数行将发生变化C-CBB-1AC-CBB-1A,从此时的B表，可以看出，原最优解已非最优了！采用单纯形法继续迭代！,仗筹充侈钉躺诞尸肚牙除睁讫钳频啄傲阶膨迄刁烈扇巢扑牙贬宣陌韩调厨006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,灵敏度分析（1）,本离熄平姻傅湃划忧泉窟究呐材鞘谐闲镁缀刻右矛觅阔蝇镐件排摘呵辈糖006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,灵敏度分析（2）其它C不变化，为使最优解保持不变，允许C2=1的变化范围。设C2=1C2=1+（为其增量）将此变化直接反映到B表上,场沥拯第爱格贩吟助耐俯与蜘觉褒菱效碧放鄂鬃吮吾枫沽璃朔贰弟拆确扦006-对偶理论与敏感分析006-对偶理论与敏感分析,线性规划LinearProgramming（LP）,灵敏度分析（2）,为使最优解保持不变，在B表中需满足的条件是所有检验数j，仍然小于等于0。即：,解得：-1/31，即C2在2/3，2范围变化时，最优解保持原解不变化。,艘爆概妥腺泌裤焙虞枢琶白遥皆伎绘鞭梅狮鸟锐哗巫热褥拯泅睦奶贡背核006-对偶理论