[东北大学][现代控制理论][08][状态估计-卡尔曼滤波]

2005-11-5,第八章状态估计（卡尔曼滤波）,8.1系统的描述8.2最小方差估计8.3线性最小方差估计8.4最小二乘估计8.5投影定理8.6卡尔曼滤波-状态估计,2005-11-5,8.1系统的描述,8.1.1状态空间模型随机状态空间模型描述：,8.1.2差分方程模型随机差分方程模型,2005-11-5,8.2最小方差估计,的误差方阵为,2005-11-5,最小。注意到,2005-11-5,2005-11-5,表8-1,2005-11-5,解,2005-11-5,解:,表8-2,2005-11-5,估计误差的方差为,2005-11-5,解:由已知可求出,DX=P，,，,再根据正态分布中的条件概率可知,2005-11-5,8.3线性最小方差估计,定义8.3.2使误差方差阵,2005-11-5,令则于是有,2005-11-5,要方差最小,必须令，由此推得：,2005-11-5,其误差方差阵,根据遍历性定理，往往可以比较容易地求得通常容易获得。,2005-11-5,进而求得,8-1，试求的线性最小方估计,解:根据表中数据可以求出：,2005-11-5,解：,例8.3.2已知和的联合分布如表8-2,试求,2005-11-5,估计误差为方差,的线性最小方差估计为,2005-11-5,小于前面最小方差估计时的误差方差,线性最小方差估计的统计性质为：,(1)线性,(2)无偏性,(3)正交性,由于,所以,2005-11-5,2005-11-5,8.4最小二乘估计,最小二乘估计是一种经典的估计方法。,设所得估计值为，则第次量测值与相应估计,将此误差的平方和记为,2005-11-5,下面来求最小二乘估计。采用向量矩阵形式记,2005-11-5,令,则有,2005-11-5,解:采用记号,2005-11-5,则可将两个观测方程合成一个观测方程,2005-11-5,在最小二乘估计中，既不需要知道联合概率分布，也不需要知道随机变量的二阶矩。因此方便于实际应用。但应该注意最小二乘估计属于线性估计，其误差方差阵通常大于线性最小方差估计的误差方差阵。,2005-11-5,8.5投影定理,（1）,（2）,（3）,投影定理：,则称为在向量上的投影，记为,定义：如果一个与同维数的随机向量具有性质,其中为矩阵。,2005-11-5,式中,证:根据投影定义和投影的唯一性原理，只需证明它们满足定义中的三个性质。(1)首先证明第一部分,(8.5.2),令；则：,2.设为三个随机向量，维数分别为。,2005-11-5,正交性,（2）其次证明第二部分,2005-11-5,无偏性,正交性,2005-11-5,8.6卡尔曼滤波-状态估计,8.6.1无控制项的线性动态系统的滤波考虑离散动态系统,2005-11-5,其中；为模型噪声,为观测向量，为观测噪声；,为已知观测矩阵。,表示利用对第的估计值当j=k时称为滤波值；jk时称为外推或预报值；jk时称为内插或平滑。,2005-11-5,的初始状态与噪声序列均不相关,即,对模型噪声和观测噪声作如下假设：状态噪声和观测噪声为互不相关的白噪声,2005-11-5,2005-11-5,同理可得,式（8.6.1）简化为,2005-11-5,其中,由于,由此得,2005-11-5,式中,则,2005-11-5,式(8.6.4)可进一步简化为,2005-11-5,例8.6.1考虑由数量方程,所定义的随机过程，其中，观测方程为,其中观测噪声白噪声序列。设，,试求出时状态的的卡尔曼滤波值。,解:由公式可知：,2005-11-5,滤波误差为,重复上述步骤，进一步递推，可得,此时滤波误差为,2005-11-5,几点说明:,(1)对随机过程进行的观测与递推估计的次