四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学文试题（PDF版）.pdf

一诊考试文科数学参考答案第 1页共 7 页 巴中市普通高中巴中市普通高中 2017 级级“一诊一诊”考试考试 文文科数学科数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 题号题号123456789101112 答案答案DCBCADAACBAB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 130；14 3- -；152；16 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是矩形，, PAPDPAAB，N 是棱 AD 的中点 （1）求证：PNABCD 平面； （2）在棱 BC 上是否存在点 E，使得 BN平面 DEP？并说明理由 解：解：（1）证明：证明： 证法一证法一 由底面 ABCD 是矩形，知, ABADABPA 又, , PAADA PA AD平面PAD AB 平面PAD 又PN 平面PAD ABPN 3 分 由PAPD，N 是棱 AD 的中点，得：PNAD 4 分 , , ABADAAB AD平面ABCD PNABCD 平面6 分 证法二证法二 由底面 ABCD 是矩形，知, ABADABPA 又, , PAADA PA AD平面PAD AB 平面PAD 2 分 又AB 平面ABCD 平面ABCD 平面PAD3 分 由PAPD，N 是棱 AD 的中点，得：PNAD 4 分 平面ABCD平面PADAD,PN 平面PAD PNABCD 平面6 分 （2）在棱 BC 上存在点 E，使得 BN平面 DEP，且 E 为 BC 的中点 7 分 证明如下：如右图 取 BC 中点 E，连接 PE，DE 在矩形 ABCD 中， /NDBENDBE，8 分 四边形 BNDE 是平行四边形9 分 /BNDE 10 分 BN 平面 DEP，DE 平面 DEP /BN平面 DEP 12 分 18（12 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和 n S满足 2 4(1) (*) nn San N （1）证明：数列 n a是等差数列，并求其通项公式； （2）设2 n a nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n T 解：解：（1）由 2 14() (*) nn aSnN知： AB C D P N AB C D P N E 一诊考试文科数学参考答案第 2页共 7 页 当1n 时，有 11 2 1 1 , 04()aaa，解得 1 1a 1 分 由 1 22 1 1 , 14()4() nnnn aaSS 两式相减，得： 1 22 1 114()() nnn aaa ，化简得： 11 22 220 nnnn aaaa 2 分 变形得： 11 (2()0 nnnn aaaa 3 分 对*n N，有0 n a 1 0 nn aa ，即 1 2 nn aa 4 分 故数列 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列5 分 21 n an6 分 （2）解法一解法一 2 n a nn ba，21 n an 21 212 n n bn 7 分 3521 (1 321)(2222) n n nT 9 分 212 2 1 (21)2(1 4 ) 2 422+32 21 433 n nn nn n n 11 分 212 232 3 n n n T 12 分 解法二解法二 由（1）及已知，得： 2 n nS7 分 记2 n a n c ，数列 n c前n项和为 n A，则 nnn TSA8 分 1 1 2, 4 n n c c c 数列 n c是以 2 为首项，4 为公比的等比数列9 分 21 2(1 4 ) 22 1 43 n n n A 11 分 212 232 3 n n n T 12 分 19（12 分） “绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新 时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容某班在一次 研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在 这些树苗中随机抽取了 120 株测量高度（单位：cm） ，经统计， 树苗的高度均在区间19, 31内，将其按19, 21)，21, 23)， 23, 25)，25, 27)，27, 29)，29, 31分成 6 组，制成如图所 示的频率分布直方图据当地柏树苗生长规律，高度不低于 27cm的为优质树苗 （1）求图中 a 的值； （2）已知所抽取的这 120 株树苗来自于 A，B 两个试验区，部分数据如下列联表： A 试验区B 试验区合计 优质树苗20 非优质树苗60 合计 将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与 A，B 两个试验区有关系，并说明 理由； （3）通过用分层抽样方法从 B 试验区被选中的树苗中抽取 5 株，若从这 5 株树苗中随机抽取 2 株， 求优质树苗和非优质树苗各有 1 株的概率 附：参考公式与参考数据： 0 1921 2325272931cm a 2a 0.10 0.20 频率 组距 一诊考试文科数学参考答案第 3页共 7 页 解解： （1）根据频率直方图数据，有2 (220.10 20.20)1aa，解得：0.025a .2 分 （2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120 (0.10 20.025 2)30 3 分 列联表如下：5 分 可得； 2 2 120(10 3020 60) 72 10.310.828 70 50 30 907 K 6 分 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与 A，B 两个试验区有关系 7 分 注：注：也可由 2 2 120(10 3020 60) 72 10.28610.828 70 50 30 907 K 得出结论 （3）由（2）知：B 试验区选中的树苗中优质树苗有 20 株，非优质树苗有 30 故用分层抽样在这 50 株抽出的 5 株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为 2 株和 3 株 8 分 记 2 株优质树苗为 12 aa、，记 3 株非优质树苗为 123 bbb、 、 则从这 5 株树苗中随机抽取 2 株的共有以下 10 种不同结果： 12111213212223121323 (, ), (, ), (, ), ( , ), (, ), (, ), (, ), ( , ), ( , ), (, )aaababababababbbbbbb10 分 其中，优质树苗和非优质树苗各有 1 株的共有以下共 6 种不同结果： 111213212223 (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )abababababab11 分 优质树苗和非优质树苗各有 1 株的概率为 63 105 12 分 20 （12 分） 已知函数( ) x f xaxe （1）当 1 a e 时，求函数( )f x的单调区间及极值； （2）当22ae时，求证：( )2f xx 解：解：（1）当 1 a e 时， 1 ( ) x f xxe e ， 1 ( ) x fxe e 在 R 上单调递减1 分 由( )0fx得：1x 2 分 当1x 时，( )0fx；当1x 时，( )0fx 3 分 函数( )f x的单调增区间为(, 1)，单调减区间为( 1, )4 分 1( 2 )()f xf e 极大值 ，但( )f x没有极小值 5 分 （2）证明： 证法一证法一 令)2(2)() x F xxf xeax 6 分 当2a 时，( )0 x F xe，故( )2f xx7 分 当22ae时，2)() x F xea在 R 上是增函数 8 分 由)2)0( x F xea得：ln(2)xa 当()ln2xa时，)0(F x，)(F x在(, ln(2)a上单调递减 当)(ln2xa时，)0(F x，)(F x在(ln(2), )a上单调递增9 分 ln(2) min )(ln(2)(2)ln(2)(2)1 ln(2)( a F xFaeaaaa ( )(2)1 ln(2)F xaa10 分 由22ae知：02ae ln(2)1a，于是1 ln(2)0a 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.0100.0050.001 其中nabcd 0 k6.6357.87910.828 A 试验区B 试验区合计 优质树苗102030 非优质树苗603090 合计7050120 一诊考试文科数学参考答案第 4页共 7 页 ( )0F x，即( )2f xx11 分 综上所述，当22ae时，( )2f xx 12 分 证法二证法二 ( )2f xx即(2 )0 x axex，其中22ae，xR 以a为主元，设2(2)2), ( x gexaeaxa，则 当22ae时， ,(2) ( ) 2 0 0 (0) x x g g a g e eexe 8 分 由0 x e 知0(2) x ge 对任意xR成立 9 分 令( ) x eexxh，则( ) x h xee在 R 上单调递减 又(1)0 h 当1x 时，( )0h x；当1x 时，( )0h x max ( )(1)0h xh 10 分 对任意xR，都有( )0h x，即0 x exe11 分 综上所述，当22ae时，( )2f xx 12 分 21 （12 分） 在平面直角坐标系中，已知点( 2, 0)A ，(2, 0)B，动点( , )P x y满足直线AP的与BP的斜率之积为 3 4 记点P的轨迹为曲线C （1）求 C 的方程，并说明是什么曲线； （2）若, MN是曲线 C 上的动点，且直线 MN 过点 1 (0, ) 2 D，问在y轴上是否存在定点Q，使得 MQONQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解解： （1）由题意得： 3 4 PA PB kk 1 分 3 ( 224 2) yy xx x 2 分 化简得： 2 2 1 ( 43 2)x y x 3 分 曲线 C 的方程为 2 2 1 ( 43 2)x y x 4 分 C 是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆（不含左、右顶点）5 分 （2）假设存在的定点(0, )Qm符合题意 由题意知：直线, ADBD的斜率分别为 11 , 44 ADBD kk 由题意及（1）知：直线MN与直线, ADBD均不重合6 分 当直线MN的斜率k存在时 设其方程为 1 (1) 24 kykx ， 1122 (), ( ),M xyN xy 由MQONQO，得直线MQ，NQ的倾斜角互补，故0 MQNQ kk7 分 又 12 121 212 12121 2 11 4(12 )() 22 2 MQNQ kxmkxm ymymkx xm xx kk xxxxx x 1 212 4(12 )()0kx xm xx8 分 由 2 2 1, 43 1. 2 y x ykx 消去y，整理得： 22 (34)4110kxkx 22 1644(34)0kk 又 121 2 22 411 , 3434 k xxx x kk 9 分 一诊考试文科数学参考答案第 5页共 7 页 代入得： 222 8 (6) 114 4(12 )0 343434 k m k km kkk 当 1 4 k 时，k不恒为 0 当且仅当6m 时式成立，即定点(0, 6)Q满足题意 10 分 当直线MN的斜率不存在时，点(0, 6)Q满足0MQONQO ，也符合题意11 分 综上所述，在y轴上存在定点(0, 6)Q，使得MQONQO12 分 【评分说明】【评分说明】 1第（1）小题，C的方程批注0y 也可，若未标注2x （或0y ） ，扣 0.5 分；回答C是椭 圆，但未指出不含左、右顶点的，扣 0.5 分；未回答C是椭圆的，扣 1 分 2第（2）小题，当直线MN的斜率存在时，未指明斜率 1 4 k ，扣 0.5 分；没有考虑直线MN的 斜率不存在的情形，扣 1 分. 3两个小题以上严谨性失误综合扣分不超过 2 分. 22 （10 分） 【选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos , 1sin . xt yt （t为参数），其中0以坐标 原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线: 4cosC （1）若 4 ，求l与 C 的交点的极坐标； （2）若l与 C 交于 A，B 两点，且两点对应的参数 12 , tt互为相反数，求|AB的值 解：解：（1）解法一：解法一： 由4cos，可得 2 4 cos 所以 22 4xyx，即 22 40 xyx 1 分 当 4 时，直线l的参数方程为 2 1, 2 ( 2 1. 2 xt t yt 为参数） 化为直角坐标方程为yx2 分 由 22 , 40. yx xyx 解得 0, 0. x y 或 2, 2. x y 故直线l与 C 的交点的直角坐标为(0, 0), (2, 2)3 分 l与 C 的交点的极坐标为(0, 0), (2 2, ) 4 5 分 解法二：解法二： 依题意，直线l的极坐标方程为 () 4 R1 分 曲线 C 的极坐标方程为4cos，即 2 4 cos2 分 代 () 4 R入 2 4 cos得：0，或 2 2, . 4 4 分 故l与 C 的交点的极坐标为(0, 0), (2 2, ) 4 5 分 注：由极点的极坐标的规定，也可将交点的极坐标写成(0, ), (2 2, ) 44 解法三：解法三： 依题意，直线l的极坐标方程为 () 4 R1 分 当0时，代 4 入4cos，得2 2，此时交点的极坐标为(2 2, ) 4 当0时，点(0, ) 2 在曲线 C 上，点(0, ) 4 在直线l上 一诊考试文科数学参考答案第 6页共 7 页 又(0, ) 2 与(0, ) 4 均为极点的坐标，故此时交点的极坐标为(0, 0) 4 分 当0时，方程组 4cos , . 4 无解 综上可知，l与 C 的交点的极坐标为(0, 0), (2 2, ) 4 5 分 （2）解法一解法一 由已知直线恒过点(1, 1)P 又 12 0tt，由参数方程的几何意义知，P是线段AB的中点6 分 曲线C是以(2, 0)C为圆心，半径2r 的圆，且 22 |(2 1)(0 1)2PC 8 分 由垂径定理知 22 | 2|2 422 2ABrPC10 分 解法二解法二 把l的参数方程 1cos, 1sin. xt yt 代入C的普通方程 22 40 xyx，得 2 2 (sincos)20tt7 分 1 2 2t t 8 分 由题意，知： 12 0tt9 分 2 12121 2 | |()42 2ABttttt t10 分 解法三解法三 由已知直线恒过点(1, 1)P 又 12 0tt，由参数方程的几何意义知，P是线段AB的中点 6 分 l的参数方程 1cos, 1sin. xt yt 代入C的普通方程 22 40 xyx，得： 2 2 (sincos)20tt7 分 12 02(sincos)tt 8 分 tan1，故直线l的极坐标方程为 () 4 R9 分 由(1)知：| 2 2AB 10 分 23.（10 分）【选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲】 已知函数( ) |2|f xxax. （1）当3a 时，求不等式( )3f x 的解集；