高一物理竞赛尖端班 力学竞赛模块_教师版

力学模块力学竞赛简介力学竞赛是高一最接近自主招生的考试北京市高一物理（力学）竞赛是经北京市教委批准，在北京市科协领导下，由北京物理学会、北 京市中学生物理竞赛委员会主办，学生自愿参加的学科竞赛活动。原则上只能应届高一的学生参加，不过有一些重点高中实验班初中直升的学生，实际是初三上的 高一的课，高一学高二的课，也是高一报名比赛。竞赛的目的当然是是促进中学生提高学习物理的兴趣和主动性，促进学校开展丰富多彩的物理课 外活动，为学有余力的学生提供发展空间，为学有所长的学生提供施展才华的机会。北京市高一物理（力学）竞赛自 1988 年举办以来，每年举办一届，对北京市提高中学物理教学 质量、特长生的培养及北京市中学生在全国中学生物理竞赛中获得优秀成绩方面都起到了一定的积极 作用。竞赛分预赛、决赛，全市统一试题、统一评分标准、统一考试时间。预赛于一般于 5 月的第二个 周日举行，力学竞赛的影响范围比较大，报名人数也比较多，最近几次力学竞赛报名人数都在万人以 上，所以由各学校分别设考场。随着报名人数的增加，预赛试题的难度也在逐年的降低，以适合大部 分同学知识、能力范围，最近两年的预赛试题风格已经非常接近重点中学期末考试的试题风格。基本没有超纲试题。预赛以后由各区县物理学会及物理教研部门组织本赛区的考试、阅卷、评奖，并选拔 出部分优秀学生参加决赛。决赛人数大约在 500 人左右，决赛于一般在预赛后两个星期举行，考试地 点则由竞赛委员会事先集中安排由北京物理学会、北京市中学生物理竞赛委员会负责组织考试、阅卷、 评奖等工作。决赛的试题难度相比预赛有很大的提高，试题超出高考知识的试题比例在 40%以上，不管 是超纲的部分还是不超部分，基本所有的物理模型都是高考没考过的。决赛试题的难度比正常年份的 联赛一试的力学题稍难，不过计算量一般较小，数学技巧也基本不作过多要求，其风格更接近于清华 北大的自主招生考试。通过预赛、决赛，评出北京市决赛一等奖 50 人左右、二等奖 100 名左右、三等奖 150 名左右。力学竞赛是高一的同学在学习完力学后进行的一项比赛，试题（尤其是预赛试题）对同学们检查 自己高一学习的效果有非常好的参考作用。同时预赛很多试题的命题都有很据新颖性，加深了同学对物理知识的理解，提高了大家学习物理的兴趣，所以广受老师和同学们的欢迎。对于那些对物理有一 定特长的同学，都希望物理成为自己高考“优势”学科，还有很多同学都对联赛“雄心勃勃”，那么 力学竞赛更是不可错过的练兵机会。同学们通过针对预赛的复习，可以对高一一年的物理知识达到融 会贯通，这必然会有利于以后高二年级更进一步的学习和提高。而对针对决赛的复习过程中，可以接 触到更深更有趣的物理知识，思考更新更复杂的物理模型，这些经历对于将来参加联赛或者自主招生 考试必然是非常有益的。运动学知识体系介绍高考运动学考点：1. 掌握运动问题概念（难度描述：易）2. 学会用 v-t 图分析问题（难度描述：中等但易错），3学会分析加速度，速度，位移之间的联动关系（难度描述：令人头晕）4. 熟练计算匀变速运动（难度描述：中等）5. 运用“化曲为直思想”计算恒力作用下运动（难度描述：较难）。 力学竞赛运动学命题点：1. 熟练分析加速度，速度，位移之间的联动关系（高考拔高）2. 熟练掌握运动分解的物理思想与内涵（高考拔高）3. 学会用小量思想分析运动问题（课本内容拔高）4. 熟练掌握运动关联，变换参考系的物理技巧（新方法）自主招生命题路线提示： 本模块内容在高考中属于中等偏易型，对于“尖子”缺乏区分度，所以自招中出题基本借鉴力学竞赛的出题思路，以考查分析想象能力为主，考查推导应用能力为辅。本讲目标本讲学习目标：1. 玩会运动相对性，玩熟矢量加减与动态圆2. 体会神奇的小量运算，慢慢融入到以后的学习解题中去知识模块3. 能灵活机动的使用运动分解原理第一部分 运动与运动的相对性知识点睛1位矢、位移x2 + y2 + z2在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标 ( x，y ，z) 来表示质点 的位置在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位 置矢量（简称位矢）的概念，在直角坐标系中，位矢 r 定义为自坐标原点到质点位置 P( x，y ，z) 所引的有向线段，其长度为 r =， r 的方向为自原点 O 点指向质点 P ，如图所示位移指质点在运动过程中，某一段时间 Dt2内的位置变化，即位矢的增量 DS = r (t + Dt ) - r (t ) ，它的方向为自始位置指向末位置，如图所示， 为了简单，这里考虑二维运动2速度平均速度平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比 v平= Ds Dt瞬时速度和瞬时速率在数学上，只要令上式中 Dt 趋近于零，那么得出的就是瞬时速度。显然匀速时瞬时速度等于 平均速度。3加速度加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即 a = Dv ， Dt 同Dt样必须趋近于零计算的才是瞬时加速度。4运动的相对性，相对运动物体的运动是相对于参照系而言的，同一物体的运动相对于不同的参照系其运动情况不相同， 这就是运动的相对性如果我们把物体相对于基本参照系（如地面等）的运动称为“绝对运动”， 把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为 “牵连运动”，而物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动”显然绝对速度和相对速度一般 是不相等的，它们之间的关系是：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和即v绝对 = v相对 + v牵连 或 v甲对地 = v甲对乙 + v乙对地例题精讲【例1】 高空中有四个小球，在同一位置同时以相同速率向上、向下、向左、向右被射出，不计空气 阻力，图是经过1s 后四个小球在空中位置的构图，其中的正确图形是（）【解析】A 在以加速度 g 竖直加速向下运动的参考系中看，四个球分别向上、下、左、右所匀直运动。【例2】 河宽 d = 100m ，水流速度 v1 = 4m/s ，船在静水中的速度 v2 = 5m/s ，要使时间最短，船应怎样 渡河？【解析】我们要求的是时间，时间不依赖于参照系的选取取河水作为参照系，河水是静止的，船只 要把船头指向对岸，直接开动马力就可以了【例3】 河宽 d = 100m ，水流速度 v1 = 4m/s ，船在静水中的速度 v2 = 5m/s ，要 使航程最短，船应怎样渡河？【解析】为了使航程最短，船应该沿垂直河岸的方向渡河，如图水流的速度是 不变的，怎么改变船相对水的速度，使船的绝对速度垂直河岸呢？只要 组成一个直角三角形就可以了所以船应该沿着图中 v船对水 的方向行驶【变化】河宽 d=100m，水流速度 v1 =5m/s，船在静水中的速度 v2 =3m/s，要 使航程最短，船应怎样渡河？【解析】与上题有何不同？船能沿着垂直河岸的方向渡河么？如图，应使q 角 最大，得到的方向既是最好的方向巩固练习：补充1.从离地面同一高度 h、相距 l 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度 v1 竖直上抛，另一个石 块以速度 v2 向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离【解析】以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度 v21 做匀速直线运动，速度矢量关系如lvv 2 + v 212图，由图知21，两石块最短距离 d = l sinq = 1这个最短距离适用于另一石块落地之前补充2.（清华自主招生）在地球赤道上的 A 点处静止放置一个小物体， 现在设想地球对小物体的万有引力突然消失，则在数小时内，小物体相对于 A 点处的地面来说， 将（）A水平向东飞去 B原地不动，物体对地面的压力消失 C向上并渐偏向西方飞去 D向上并渐偏向东方飞去 E一直垂直向上飞去【解析】从地球外面的惯性参考系来看，物体沿切线方向向东匀速直线飞去，如图所示 A 为开始飞 出点， B 、 C 、 D 、为经过 2 小时、4 小时、6 小时、后的 A 点位置 b 、 c 、 d 、为 经过 2、4、6、小时后物体在空间的位置 Bb 、 Cc 、 Dd 、为地面观察者观看物体的视 线在地面上 A 点的观察者来看，这些视线相对于其他的方向和距离如图所示，将 A 、b 、c 、d 、 用光滑的曲线连接起来就是从地球上观察到的物体的运动轨迹 Abcd 即 2 小时后，物体到 b 点处；4 小时后，物体到 c 点处；6 小时后，物体到 d 点处所以从地球上观察，小物体 相对于 A 点处的地面来说，从原地向上升起并渐偏向西方飞去故 C 选项正确【答案】C课内课外标量和矢量 物理量分为两大类：凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量；凡是既有大 小，又需要方向才能决定的物理量叫做矢量标量和矢量在进行运算是遵守 不同的法则：标量的运算遵守代数法则；矢量的运算遵守平行四边形法则（或 三角形法则）例如：（不要其中的长度和角度） AB + AD = AC （上加箭头） 矢量的运算：1 加减法：平行四边形法则 A + B = C坐标系中：把对应的坐标相加减 (x1, y1, z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )42 矢量的数乘：k A坐标系中： k(x, y, z) = (kx, ky, kz) 、 3 矢量的叉乘：A B = A B sinq e其中 e 是单位矢量，他的方向和 A, B 矢量的方向满足右手定则第二部分 抛物运动知识点睛物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速 度因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动 根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成常用的处理方法是:将抛体运动分 解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动1平抛运动平抛运动可以看成水平方向上的匀速运动（速度为 v0 ）与竖直方向上的自由落体运动的合成速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：vx = v0 vy = -gt （负号表示向下），其合速度的大小为v + gt20()2 gt v =，其合速度的方向为q = -arctan （设与水平方向夹角为q ，负号表示向下），可 v0 见，当 t 时，V gt ，q - ，即表示速度趋近于自由落体的速度2位移：仍按上述坐标就有， x = V0t ，y = -平抛运动趋近于自由落体运动2斜抛运动gt22仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，物体初速度不是水平的抛体运动，称为斜抛运动如图取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐 标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴则抛体运动的规律为：ax = 0= -gayvx = v0 cosqvy0= v sinqx = v0 cosq t1y = v sinqt -gt202其轨迹方程为y = x tanq -gx2o2v2 cos2 q这是开口向下的抛物线方程 在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间 T ，射程 R 和射高 H 分别为T = 2v0 sinqgv2 sin 2qR = 0gv2 sin2 qH = 02g5抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地，从 某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速 度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等例题精讲【例4】 小球从高处以 v0 的初速度水平抛出，若不计空气阻力，小球落地时小球的位移与水平方向间的夹角为 a ，小球落地速度与水平方向间的夹角为 b ， 则可以判定（）A a bB a bC a = bD无法确定【解析】如果画出图来可以快速判断答案我们知道，抛体运动的轨迹是开口向 下的抛物线，如图，很明显 a b 【答案】A【例5】 如图所示，以水平初速度 v0 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为 30 的斜面上，求物体完成这段飞行的时间是多少？【解析】物体水平速度不变，一直是 v0 物体能够垂直撞在斜面上，说明物体当时的速度与斜面垂直，由此可算出物体的竖直速度为v0 ，从而知道物体运动时间为33v0g【例6】 从底角为q 的斜面顶端，以初速度 v0 水平抛出一小球，不计空气阻若斜 面足够长，如图所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离 h 是多少？【解析】离开斜面的最大距离，由垂直斜面方向的运动确定垂直斜面方向，相当于一个上抛运动， 初速度为 v0 sinq ， 加速度方向垂直斜面向下，为 g cosq 所以小球最“高”能运动到1 (v sinq )2h =02 g cosq2【例7】 一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是 0.4 m 一小球以水平速度 v 飞出，欲打在 第四级台阶上，则 v 的取值范围为（）6Am/ sv 2m/ s2B 2m/ sv 3.5m/ s22Cm/ sv6 m/ sD 2m/ sv6 m/ sv2 3l g3gl26= 3l【解析】当打到第 3 级台阶最右边时，2 4l g打到第 4 级台阶最右边时，v= 4l，故 v =2gl2ms/，故 v =2m/s ；当6，所以m/sv22m/s 选A【答案】A【例8】 从高 H 处的一点 O 先后平抛两个小球 1 和 2，球 1 直接恰好越过竖直挡板 A 落到水平地面上的 B 点；球 2 则与地面碰撞一次后，也恰好越 过竖直挡板，而后也落在 B 点，如图所示设球 2 与地面碰撞遵循类 似的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度 h 【解析】分析：本题要从运动的独立性着手考虑，由斜上抛运动特点，易得球2 的运动时间是球 1 的 3 倍设球 1、2 运动的时间分别为 t1 和 t2 ，则两球在水平方向有 v2t2 = v1t1 因为 t= 3t ，所以 v= 3v 又因两球飞过竖直挡板的水平位移相同，故它们过挡板的飞行时2112间满足 t2 = 3t1 设球 2 从第一次落到飞至挡板顶端所用时间为 t ，则有2Hg2( H - h)g+ t = 3球 2 落地时速度的竖直分量为 v2 =2gH2g ( H - h)到达挡板顶端时速度的竖直分量为 v2 =两者满足 v2 = v2 + gt解、两方程可得 h = 3H 4补充内容 微元法“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法这个小部分可以是时间的一小部分， 也可以是空间的一小部分由于该部分很小，所以可以做一些近似，如匀速运动的近似，恒力的近似 等等那么对该小部分可以简单的写出物理方程，得到物理量之间的基本关系第三部分 圆周运动知识点睛 匀速圆周运动如图所示，质点 P 在半径为 R 的圆周上运动时，它的位置可用角度q 表示（习 惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：w = lim DqDt 0 Dt质点 P 的速度方向在圆的切线方向，大小为v = lim Dl = lim R0q = wRDt 0 DtDt 0 Dtw （或 v ）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的 方向时刻在变因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速 度（法向加速度）2a = vnR= w2 R = wv向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小 如何计算向心加速度呢？这里就用到了微元法如图，在时间 Dt 内，质点由 A 运动到 B ，运动方向变化了 Dq 我们把 v1 和 v2 两个矢量的起点放在一起，如图，可以看出，速度的变化 Dv 的大小约为 vDq ，方向指向左，即圆周运动的圆心所以加速度大小为 vDq = vw ，方向指向圆心Dt 变速直线运动w （或 v ）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物 理量为角加速度b = lim DwDt 0 Dt质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化类似于变速直线运动的规律，有12q = w0t + 2 b t例题精讲【例9】 质点绕半径 R = 1m的圆周运动，其速率与时间成正比例增加： v = t 求质点绕圆周运动一 周回到出发点时的加速度的大小和方向t7【解析】质点的切向加速度为 v = 此题重点是如何求法向加速度质点运动一周后，速度大小为2(2R)2v =，那么向心加速度则为 v 2(2R)= 42 由此可知总的加速度大小和方向RR【例10】如图所示，半径为 R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1 ， v2 反向运动，圆柱与板之间无相对滑动问圆柱上与板接触处的 A点的加速度是多少？【解析】 A 点的运动可分解为整个圆柱的平动，和圆柱绕其中心的旋转运动圆 柱整体的运动速度，也即圆柱中心的速度，为 (v1 - v2 ) ，（向右为正方向），2是匀速的 A 点相对于中心的运动速度为 vA2(v1 - v2 )(v2 + v1 )= v1 -=，所以按照向心加速度222的公式，得到 A 点的加速度大小为 vA = (v1 + v2 )，方向指向圆心R4R【例11】 如图所示两个一样的轮子，内外径分别为 r 、 R ，用绳子绕在轮子的内圈上，只是绕法不同，已知绳端速度大小为V ，水平向右，问两个轮子如何运动？地 面不光滑【解析】轮子与地面接触点速度为零，轮子的运动实际为轮心的运动 所以对于第 1 个轮子有： w1 ( R - r ) = V同理对第 2 个轮子有： w2 ( R + r ) = V所以 w1 =VR - rw2 =VR + r两轮都水平向右移动，速度分别为 VRR - r， VR R + r【例12】如图所示装置，设杆 OA 以角速度 w 绕 O 转动，其 A 端则系以绕过滑轮 B 的绳，绳子的末端挂一重物 M 已知 OB = h ，当 OBA = a 时，求物体 M 的速度【解析】如右图所示，设 BAO = 90 + b ， A 点绕 O 轴转动的速度 vA 可表示为 vA = w OA 将 v 分别为沿 BA 方向的速度 v （因 A 点与绳系在一起，故 v 有一分速度 v ）和与 v 垂直AM的速度 v ，则 vM = vA cos b 在 ABO 中，由正弦定理得hAMM= OA =hsin (90+ b )sinacos b由此得 vM = whsina ，此即物体 M 的速度（绳上各点沿绳方向的速度大小均与 物体 M 的速度大小相同）解法二：用相对速度方法：取杆子为参考系则墙面以角速度 w 旋转过来巩固练习：补充3.（复旦）一质点以匀速率作平面运动，从图所示的轨迹可知，质点加速度最大的点是AABBCCDD2【解析】质点沿图示轨迹运动，但该轨迹不是圆弧，此时向心加速度应写作 vr，式中 r 为曲率半径，即以 r 为半径的圆与该曲线在该处刚好相切显然图中 A 点曲率半径最小，对应的加速度最 大选 A【答案】A补充4.（同济）距河岸（看成直线）500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速n = 1 r/min 转动当光束与岸边成 60 角时，光束沿岸边移动的速率为（）A 52.3m/sB 69.8m/sC 3.14 103 m/sD 4.18103 m/s【解析】设经 Dt (Dt 0) 光点由 A 点移动到 B 点，如图所示弧 AC 的长度l = wd Dt sin 60在 Dt 0 时弧 AC 可认为是直线，且可认为 AC BC ，则AB =lsin 60= wdDt ，sin2 60v = AB =Dtwdsin2 60= 8nd = 69.8m/s 3【答案】B补充5.如图所示，直杆 AB 以匀速 v 搁在半径为 r 的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交 点 M 的速度和加速度提示：用微元法，答案vsin j静力学知识体系介绍高考静力学考点：1. 常见力的特点（难度描述：中等）2. 掌握分析力的原则（难度描述：中等易错），3学会力的合成分解技巧（难度描述：较难） 力学竞赛力学学命题点：95. 根据情境受力分析（高考拔高）6. 熟练运用整体法与隔离法解题（高考拔高）7. 分析力平衡与力矩平衡（超纲知识）自主招生命题路线提示： 本模块内容在高考中已经较难，超纲的力矩平衡部分知识难度也较大，所以都比较适合自主招生命题，考查同学应用物理知识分析常见物理现象的能力。本讲目标本讲学习目标：1. 通过练习提高受力分析能力2. 学习力矩的概念与力矩平衡的物理规律3. 结合受力平衡与力矩平衡解决复杂情景下力学问题第一部分 力、力的性质和常见的几种力知识点睛1什么是力惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的速度 不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物体对它的作用， 在力学中将这种作用称为力简单来说，力是物体与物体之间的相互作用凡是讲到一个力的时候， 应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力力的三要素： 大小，方向，作用点2重力，物体的重心与质心 重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重力不变（重 力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化） 重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心 质心：物体的质量中心一般来说，物体的质心和重心是重合的设物体各部分的重力分别为 G1 、G2 Gn ，且各部分重力的作用点在 Oxy 坐标系中的坐标分别是G1 x1 + G2 x2 + Gn xn G1 + G2 + Gn( x1 ，y1 ) ( x2 ，y2 ) ( xn ，yn ) ，物体的重心坐标 xc ， yc 可表示为11cx = Gi xi =Gi， yc= Gi yi =G1 y1 + G2 y2 + Gn yn G1 + G2 + GnGi3弹力物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力 弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形 变量（伸长或压缩量）成正比F = -kx式中 x 表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反； k 为劲度系数，由弹簧的材料，接触 反力和几何尺寸决定此即为胡克定律111两根劲度系数分别为 k1 ， k2 的弹簧串联后的劲度系数可由=+kk1k2k = k1 + k2 求得，并联后劲度系数为4接触反力 限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）这种反力 实质上是一种弹性力，常见如下几类： 柔索类如绳索、皮带、链条等，其张力方位沿柔索T 指向拉物体一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力 处处相等 光滑面（如图）接触处的切平面内的方向不受力，其法向支承力（或法向压力）方位沿法线N 指向压物体4摩擦力物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力 不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们 主要讨论固体与固体间的摩擦 摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（但还没有发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静 摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力 学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为fmax = m0 N式中 m0 称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N 为两物体间的正压力 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力滑动摩擦力的方向与相对 运动的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比f = m Nm 为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作 常量，在通常情况下， m0与m 可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值 满足f fmax = mN在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数 m0 略大于动摩擦因数 m 摩擦角令静摩擦因数 m0 等于某一角 j 的正切值，即 m0 = tgj ，这个j 角就称为摩擦角在临界摩擦（将要发生滑动状态下）， fmax = mN0= tgj j 支承面作用于物体的沿法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力fmax 的合力 F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示（图中未画其他力）在一般情况下，静摩擦力 f0 未达到最大值，即f0 m0 N ,f0 mN0, f0N tgj因此接触面反作用于物体的全反力 F 的作用线与面法线的夹角 a = arctg f0 ，不会大于摩擦角，即Na j 物体不会滑动由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件如图放在平面上 的物体 A ，用力 F 去推它，设摩擦角为 j ，推力 F 与法线夹角为a ，当 a j 时，才可能推动 A 例题精讲G1 x1 + G2 x2 + Gn xn G1 + G2 + Gn【例13】三角形 ABC ， A 、 B 、 C 三点处各有质量为 m 的质点，求三角形质心【解析】只要套用公式 xc= Gi xi =Gi， yc= Gi yi =可G1 y1 + G2 y2 + Gn yn G1 + G2 + GnGi直接得到答案我们发现，得到的质心刚好是数学上定义的三角形的重心【例14】 S1 和 S2 分别表示劲度系数为 k1 和 k2 的两根弹簧，k1 k2 a 和 b 表示质量分别为 ma 和 mb 的两个小物体， ma mb ，将弹簧与物块按右图所示方式悬挂起来，现要求两根弹 簧的总长度最大，则应使（ ）A S1 在上， a 在上B S1 在上， b 在上C S2 在上， a 在上D S2 在上， b 在上【解析】上面的弹簧所受拉力为 (ma + mb ) g ，是已知的假设上面的弹簧用 S1 ，则伸长为(ma + mb ) g ， 为使下面的弹簧伸长最大， 应该把 a 放在下面 这样， 总伸长为k1(ma + mb ) gm g + a(ma + mb ) gm g 2如果上面弹簧用 S ，总伸长则为+a，比较可知选 Dk1k2【答案】Dk2k1【例15】如图所示，木板 A 质量为 M ，以相对地面的速度 v 在水平面上向北运动，木板上 放一质量为 m 的板 B ，各接触面滑动摩擦因数均为 m ，当木块 B 也有相对地面向 东的速度 v 时，试分析木块 B 的受摩擦力的情况【解析】本题重点在于找出 AB 相对运动的方向，以 A 做参考系，容易知道 B 的运动方向为 右下 45 的方向，所以 B 受到的摩擦力为左上 45 方向摩擦力的大小自然是 mmg 【例16】如图所示，木板 AB 平放在地面上，木板上放一物 体若以木板 B 端为轴，将木板 A 端缓慢抬起，则物体对木板的压力 FN 随木板与地面间夹角 a 变化的图象（如图），可能正确的是（ ）【解析】很容易知道，压力的表达式是 mg cosa ， 所以选 A【答案】A补充内容四种基本力 物理学家将物体之间的相互作用称之为力第一种力是引力，这种力是万有的，也就是说，每一粒子都因它的质量或能量而感受到引力引 力比其他三种力都弱得多它是如此之弱，以致于若不是它具有两个特别的性质，我们根本就不可能 注意到它这就是，它的相互作用距离非常大，并且总是吸引的因此，在像地球和太阳这样两个巨 大的物体中，所有的粒子之间的非常弱的引力能迭加起来而产生相当大的合力另一种力是电磁力它作用于带电荷的粒子（例如电子和质子）之间，但不和不带电荷的粒子（例 如引力子）相互作用它比引力强得多：两个电子之间的电磁力比引力大约大 100 亿亿亿亿亿（在 112后面有 42 个 0）倍然而，共有两种电荷-正电荷和负电荷同种电荷之间的力是互相排斥的，而异 种电荷则互相吸引一个大的物体，譬如地球或太阳，包含了几乎等量的正电荷和负电荷由于单独 粒子之间的吸引力和排斥力几乎全抵消了，因此两个物体之间纯粹剩下的电磁力非常小然而，电磁 力在原子和分子的小尺度下起主要作用第三种力称为弱核力，主要表现在粒子的衰变过程它制约着放射性现象，并只作用于自旋为 1/2 的物质粒子，而对诸如光子、引力子等粒子不起作用直到 1967 年伦敦帝国学院的阿伯达斯萨拉姆 和哈佛的史蒂芬温伯格提出了弱作用和电磁作用的统一理论后，弱作用才被很好地理解此举在物 理学界所引起的震动，可与 100 年前马克斯韦统一了电学和磁学并驾齐驱 第四种力是强作用力（或强核力）它将质子和中子中的夸克束缚在一起，并将原子中的质子和中子束 缚在一起，它只能与自身以及与夸克相互作用，人们认为其作用机制乃是核子间相互交换介子而产生 的第二部分 力的合成与分解，共点力的平衡1力的合成与分解力是矢量，所以力的合成遵循平行四边形法则，即力 F1 和 F2 的合力即此二力构成的平行四边形的 对角线所表示的力 F 根据此法则可衍化出三角形法则即：将 F1 ， F2 通过平移使其首尾相接， 则由起点指向末端的力 F 即 F1 ， F2 的合力 力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解 答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：已知合力和它两分力方向，求这两分力大小这有确定的一组解答已知合力和它的一个分力，求另一个分力这也有确定的确答已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可 能有三种情况：一解、两解和无解2空间中力的投影与分解 力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图一X = F cosa 13中的 F 力在 Ox 、 Oy 、轴上的投影 X 、 Y 、 Z 分别定义为Y = F cos b 力沿直角坐标轴的分解式（三维） F = Xi + Y j + Zk = Fx i + Fy j + Fz k3共点力作用下物体的平衡条件 几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力当物 体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否 可视为共点力要看具体情况而定 物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动这两种平衡状态 共点力作用下物体的平衡条件是：物体所受到的力的合力为零 Fix = 0i或其分量式： Fix = 0 Fiy = 0 Fiz = 0iii对于三力平衡，有一个结论：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线一定共 面例题精讲【例17】如图所示，物体 A 放存固定的斜面 B 上，在 A 上施加一个竖直向下的恒力 F ， 下列说法中正确的有（）A若 A 原来是静止的，则施加力 F 后， A 仍保持静止B若 A 原来是静止的，则施加力 F 后， A 将加速下滑C若 A 原来是加速下滑的，则施加力 F 后， A 的加速度不变D若 A 原来是加速下滑的，则施加力 F 后， A 的加速度将增大【解析】此题可应用摩擦角的概念解题如果原来静止，说明摩擦角大，所以仍然静止本题还可以 用等效的思想：设想重力增大到 mg + F ，那么重力加速度变大，当然选 AD【答案】AD【例18】质量 m = 1kg 的物体在图所示斜面上受水平横向力 F = 5N 的作用时，恰能作匀速直线运动，则 m 为多少？【解析】重力沿斜面方向的分力G1 = mg sin 30 = 5N ，滑动摩擦力f = mN = mmg cos30 ，在斜面方向物体受力如图所示，有222G1 + F = f ，得m =6 3巩固练习补充6.（复旦外地）在一深度为 H 的容器中充满液体，液体密度从表面的 r0 到容器底 的 r 成线性变化液体里浸入两个体积同为V 的小球，小球间用长为 l 、不可伸长的轻细绳连接，第 1 个小球密度为 r1 ，第 2 个小球密度为 r2 过一段时间后，两小球静止于图所示 位置求绳中张力【解析】设细绳中拉力为 T ，对两个球分别有F浮1 - T - mg = 0 ，F浮2 + T - mg = 0 在液体下深度 x 处时，球受到的浮力表示为F浮x = rx gV ，而 r = r0 + ( r - r0 ) x ，xH这样可得T = gV rr - r- r -0 l 2 21H这一关系只有在 T 0 ， x1 0 ， x2 H 时才有可能成立aF补充7.木箱重为 G ，与地面间的动摩擦因数为 m ，用斜向上的力 F 拉木箱使之沿水平 地面匀速前进，如图所示，问角 a 为何值时拉力 F 最小?这个最小值为多大?【解析】对木箱进行受力分析如图所示，由物体做匀速直线运动的平衡条件有：F cosa = mFN NFN + F sina = G FF联立得： F cosa + mF sina = mG ， F = mGm sina + cosaF fa14G令 m = tanj 代入得： F =tanjGtanj sina + cosa=sinjG cos(j - a )m15当 a = j = arc tan m 时， F 有最小值 Fmin = G sinj = G 1 + m 2第三部分固定转动轴物体的平衡，杠杆原理知识点睛1力矩力的三要素是大小、方向和作用点由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作 用线力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力 的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离力臂（ d ） 力与力臂的乘积称为力矩，记为 M ，则 M = Fd ，如图，O 为垂直于纸面的固定轴， 力 F 在纸面内力矩是改变物体转动状态的原因力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用若力F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量 F 和平行于轴的分量 F ，F 对转动不 起作用，这时力 F 的力矩为 M = F d 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力 产生力矩的代数和2有固定转动轴物体的平衡，杠杆原理有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零此即为杠杆原理例题精讲【例19】如图所示，将粗细均匀、直径相同的均匀棒 A 和 B 粘合在一起，并在粘合处 用绳悬挂起来，恰好处于水平位置而平衡，如果 A 的密度是 B 的 2 倍，那么 A 的重力大小是 B 的 倍【解析】设 A 长 lA ， B 长 lB ，那么 A 所受的重力的力矩为GAla 2， B 所受的重力力矩为GB lB 2，二者大小相等，符号相反由 A 、 B 的密度关系不难推出 GA = 2lA ，由此即可列方程解出 GA 2【答案】GBlBGB【例20】如图所示，一个质量为 m 、半径为 R 的球，用长为 R 的绳悬挂在 L 形3的直角支架上，支架的重力不计， AB 长为 2R ， BC 长为 2R ，为使支架不会在水平桌面上绕 B 点翻倒，应在 A 端至少加多大的力?【解析】此题要看清楚相关条件和无关条件整个系统对 B 点的力矩只有两个： 球的重力力矩，和 A 端所求的力的力矩球重力力矩为 mgR ，所以 A点最小应加 mg 的力2【例21】如图所示，质量为 m 的运动员站在质量为 m 的均匀长板 AB 的中点，板 位于水平地面上，可绕通过 A 点的水平轴无摩擦转动板的 B 端系有 轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中当运动员 用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的 B 端离 开地面，运动员作用于绳的最小拉力是 【解析】此题重点在于选对受力分析的对象我们要求的是绳中的拉力，与绳相互作用的物体有人， 长板，和滑轮滑轮作为改变拉力方向的装置，不是问题的关键那么把人和长板一起作为整体进行受力分析，绕 A 点的力矩共有四个：两个重力力矩，大小均为 mgl ，（设 l 为长板长2度）；两个拉力力矩，一个在 B 点向上拉，一个在中点（即人手处）向上拉，力矩分别为 T1 和T1 列出方程即为 mgl = 3T1 ，可解出 T 22【点评】有的同学会选择长板作为受力分析对象这样也是可行的，不过千万不能忽略人对长板的压力同学们会发现，计算人对长板的压力时，又要对人进行受力分析，这样就分析了两次， 不如第一个方法方便当我们把人和长板看成一个整体的时候，就不用考虑这个整体内部的 作用力了【例22】如图所示，物体 A 、B 质量分别为 m1 、m2 ， 它们用一条轻绳连接跨过一个质量可以忽略的滑轮，并被置于一个质量 为 M 的大木块 DEKL 上，大木块向左移动的距离是【解析】此题似乎所给的条件不多，乍看起来无从下手所求的角度应该是用 L 和 R 表示的对杆做 受力分析：杆的中点处有重力， A 处指向圆心的压力， B 处垂直杆方向的压力这是一个三 力平衡问题细杆受力如图例平衡方程：F1 cos 2q - F2 sinq = 0F1 sin 2q + F2 cosq - G = 01以 B 为轴： F