工科复变5-1函数的孤立奇点及其分类

1,从上一章可以看出，利用将函数在其解析的环域内展开成Laurent级数的方法，根据该级数系数的积分表达式可以计算右端的积分,其中是该环域内围绕点的正向简单闭曲线。这里的内部可能有函数的有限个甚至无穷多个奇点。本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。,2,第五章留数及其应用,5-1函数的孤立奇点及其分类5-2留数和留数定理5-3留数在定积分计算中的应用5-4幅角原理及其应用,3,5-1函数的孤立奇点及其分类,一、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态,4,在,例1,是函数,的孤立奇点.,一、函数孤立奇点的概念及其分类,5,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,6,例3指出函数的孤立奇点,解：z=0是函数f(z)的奇点，zk=2/(2k+1)(k为整数)是它的孤立奇点。由于当时，因此，z=0是它的奇点而不是孤立奇点。另外，f(z)在环域内解析，是它的孤立奇点。,7,8,定义1若级数中所含的负幂项的项数分别为1）零个，2）有限个，3）无穷多个，则分别称为的可去奇点、极点和本性奇点。且当为极点时，若级数中负幂的系数并且则称为的级极点，一级极点又称为简单极点。,9,1可去奇点,如果Laurent级数中不含的负幂项,则称孤立奇点称为的可去奇点.,定义,二、函数各类孤立奇点的充要条件,10,可补充定义,存在，,则必是的可去奇点。,事实上：,在的某邻域,有界。,(由于这个原因，因此把这样的奇点叫做f(z)的可去奇点。),11,即,这样得到下面的结论：,12,由定义判断:,幂项,由极限判断：,若极限存在且为有限值,的可去奇点的充要条件为,注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规定,13,解,无负幂项,另解,14,如果补充定义:,时,15,显然不含负幂项。,例z=0为函数的孤立点，且当时，因此z=0为它的可去奇点，且可补充定义，使它处处解析。其中在点的去心邻域，的Laurent级数展开式为,16,2极点,其中关于,的最高幂为,即,级极点.,那末孤立奇点,称为函数,的,定义,如果Laurent级数中只有有限多个,的,负幂项,17,则,由极点的定义,18,注意到:,由此可得：,19,的极点的充要条件是,为函数,例,有理分式函数,是二级极点,是一级极点.,由此也得：,20,的Laurent展开式中含有,的负幂项为有,限项.,在点的某去心邻域内,其中在的邻域内解析,且,由定义判别：,由定义的等价形式判别：,由极限判别：,判断.,21,例如是函数的二级极点，这里,22,解,注意:不能以函数的表面形式作出结论.,解析且,23,3本性奇点,则孤立奇点,称为,的本性奇点.,若Laurent级数中含有无穷多个,的负幂项,例如，,含有无穷多个z的负幂项,同时,不存在.,24,例,为f(z)的孤立奇点.,综上，当z0为f(z)的孤立奇点时，可用极限值存在有限、为、不存在，来区分奇点是可去奇点、极点还是本性奇点。,25,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为有限值,无负幂项,含无穷多个负幂项,不存在,26,三、用函数的零点判断极点的类型,27,1、函数的零点,例,定义,若函数,在点解析，并且,，则称,为函数,的零点,28,29,m级零点的判别方法,零点的充要条件是：,定理1如果,在,解析,那末,为,的,级,证明：对于在点解析函数来说，它在该点的邻域内的Taylor级数展开式的系数是唯一的，并且有，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有,30,定理2,其中,在点,解析，且,为,的,m级零点的充要条件为,另外，我们有,我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。,31,证明：如果是函数的m级零点，则,此处展开式的前m项系数都为零。,若记,则有,其中：在处解析，并且,32,推论1点为的级极点的充要条件为是的级零点。,推论2若点为函数的级零点，则z0为函数的级零点；当时，z0为函数的级极点。,33,推论3(LHospital法则)设函数不恒为零，若为函数和的零点(极点)，则当时，函数的极限一定存在或为，且有,注意：若函数在点解析，则当为函数的级零点或级极点时，也分别是函数的级零点或级极点。,34,练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数.,答案,35,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,36,解,这些奇点是,孤立奇点.,推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,37,例3求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数（2）解：显然和是函数的孤立奇点，分别取和,则可见和分别是的二级极点和三级极点。,38,（4）解：点为的一级零点;函数的零点为，且在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数的一级零点。由定理2的推论2，为函数的二级零点，又由推论1及其注意，它为的二级极点，而为的简单极点。,39,四、解析函数在无穷远点的性质,定义如果函数在区域内解析，则称无穷远点为的孤立奇点。在内，的罗伦展开式为作变换，则在内的解析函数的罗朗展开式为：,40,定义如果是函数的可去奇点，极点或者本性奇点，则分别称是的可去奇点，极点或者本性奇点.因此（1）如果当时，,那么称为函数的可去奇点；（2）如果只有有限（至少有一个）正整数，使得，那么称是函数的极点。,（3）如果有无穷多个正整数，使得，那么称是函数的本性奇点。,41,当是函数的极点时.设对于正整数，当时，此时称是函数的级极点。特别地，时，称是函数的单极点,