14条件概率和乘法公式

1.4条件概率,例：有一批产品100件，其中95件合格品，5件不合格品，在不合格品中，有2件次品，3件废品。求：（1）所选出的一件产品是废品的概率。（2）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品是废品的概率。,解：（1）3/100.（2）3/5.,若事件A、B是古典概型样本空间中的两个事件，其中含有N个样本点，A含有M1个样本点,B含有M2个样本点，AB含有M个样本点，则,go,设，为同一个随机试验中的两个随机事件,且（A），则,为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率,一.条件概率的定义,条件概率ConditionalProbability,相应地，p(B)称为无条件概率,Samplespace,ReducedsamplespacegiveneventB,条件概率P(A|B)的样本空间,二.条件概率的性质,性质,设A是一事件,且P(A)0,则,1.,对任一事件B,2.,3.,则,此外,前面所证概率的性质都试用于条件概率.,条件概率的计算方法：,(1),用定义计算;,(2),根据加入条件后改变了的情况来计算.,一袋中装有10个球,先后两次从袋中各取一球(不放回).,其中3个黑球,7个白,(1),(2),已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍,是黑球的概率;,已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也,是黑球的概率.,解,(1),下,即第一次取到的是黑球的条件,第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球,9个球中任取一个,根据古典概率计算,球,共,即有,解,(2),即第二次取到的是黑球的,条件下,求第一次取到黑球的概率.,发生在第二次取球之前,但第一次取球,故问题的结构不像(1)那,么直观.,由,Go,袋中有5个球,从袋中不放回地连取两个,其中3个红球2个白球,现,已知第一次取得红球,求第二次取得白球的概率.,解法1,表示“第,二次取得白球”,依题意要求,即第一次取得红,球的取法为,其中,第二次取得白球的取法,有,种,所以,时,袋中有5个球,从袋中不放回地连取两个,其中3个红球2个白球,现,已知第一次取得红球,求第二次取得白球的概率.,解法1,时,也可以直接用公式(1)计算,因为第一次取走了一,袋中只剩下4个球,个红球,其中有两个白球,从中任取一个,再,取得白球的概率为2/4,所以,解法2,表示“第,二次取得白球”,求,在5个球中不放回连取两球的取法,其中,第一次取得红球的取法,第一次取得,红球第二次取得白球的取法,所以,由定义得,已知,试求,解,由乘法公式,因此,又因为,所以,从而,解,又因为,所以,从而,解,又因为,所以,从而,练习,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4,问现年20年的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?,解,能活25年以上,所求为,依题意,有,三.乘法公式,推广,乘法公式：,一袋中装有10个球,球,其中3个黑球、7个白,求两次,取到的均为黑球的概率.,解,由题,设知,于是根据乘法公式,有,注:,对本例,我们曾用古典概型方法计算过,先后两次从中随意各取一球(不放回),事件“两次取到的均为黑球”.,解,一批灯泡共100只,其中10只是次品,其,余为正品.,作不放回抽取,每次取一只,求第三次,才取到正品的概率.,第,三次才取到正品,则,于是,所以,第三次才取到正品的概率为0.0083.,解,四、全概率公式,一个袋子中有7只白球、3只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到黑球的概率,例,A=“第一次取到黑球”B=“第二次取到黑球”,四、全概率公式,全概率公式,证明：,设A1，A2，.，An是一组完备事件组，且(Ai)0，i1，2，.，n，则对任一随机事件B，有全概率公式：,全概率公式,人们为了解一只股票,变化,往往会去分析,如利率的变化.,比,现假设人们经分析估计,的概率为60%,利率不变的概率为40%.,根据经,验,人们估计,价格上涨的概率为80%,该支股票,而在利率不变的情况下,在利率下调的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的,概率.,解,不变”,依题设知,未来一定时期内价格的,影响股票价格的基本因素,利率下调,解,不变”,依题设知,于是,有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有,3红1黑共4个球，3号装有2红2黑共4个球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。,解：,设球取自i号罐子，i=1，2，3；,取得红球,由题意，可得,故根据全概率公式，可得,定理,任一事件,则对,有,贝叶斯公式,贝叶斯公式,接P22例6，若现在任选一罐，再从罐中任取一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,全概率公式,注:,公式中,贝叶斯公式,注:,公式中,是在没有进一步信息(不知道事件,B是否发生)的情况下诸事件发生的概率.,在获得新,的信息(知道B发生)后,人们对诸事件发生的概率,就有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻,画了这种变化.,特别地,若取n=2,并记,则,于是公式成为,一袋中有10个球,其中3个黑球,7个白球,从中先后随意各取一球(不放回),假设已知二次取,求“第一次取到的也是黑球”的概率.,到的球为黑球,解,设“第一次取到的是黑球”这一事件为,则问题归结为,求条件概率,根据贝叶斯公式,有,二次取到的是黑球”这一事件为,“第,据题涉及例7的结果易知,从而,例,根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验,具有如下的效果:,性”,则有,现在对自然人群,进行普查,即,试求,解,由题设,有,由贝叶斯公式,解：求,由题设,有,由贝叶斯公式,得,例有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”；A2