辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试 数学（理）试题（扫描版）

1 2 3 4 5 6 7 2019 年大连市高三双基测试年大连市高三双基测试 数学（理科）参考答案与评分标准数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一选择题 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B 12.A 二填空题 13.24 14. 8 15.0 16.yx= 三解答题 17. 解： （） 因为 1 1 ,1 ,1 n nn S n a SSn = = ， 所以 + 22 4,14,1 26(N ) 5(1)5(1),126,1 n nn ann nnnnnnn = = + 4 分 （）因为 1 3 22 n nn an + =， 所以 121 2143 2222 n nn nn T =+ 231 12143 22222 n nn nn T + =+ 两式作差得： 121 12113 22222 n nn n T + =+8 分 化简得 1 111 222 n n n T + = ， 所以 1 1 2 n n n T = .12 分 8 18. （）选取方案二更合适,理由如下： (1)题中介绍了， 随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从 2014 年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019 年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的 增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据. (2) 相关系数|r越接近 1，线性相关性越强,因为根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0.2430.666,我们没有理由认为y与t具有线性相关关系；而后 5 年的数据得到的相关系数的绝对 值0.9840.959,所以有99%的把握认为y与t具有线性相关关系. 6 分 （仅用（1）解释得 3 分，仅用（2）解释或者用（1） （2）解释得 6 分） ()从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为 3 5 ，只购买纸质书的概率为 2 5 ，8 分 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3 人购买电子书，2 人购买电子书一人只购买纸 质书. 概率为： 3322 33 33281 ( )( ) 555125 CC+=.12 分 19. 解： （）由题可知圆O只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即 22 2ab=， 2 分 又点 1 ( ,)b a 在椭圆C上，所以 2 222 1 1 b aa b +=，解得 22 2,1ab=， 即椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y+=.4 分 （）圆O的方程为 22 1xy+=，当直线l不存在斜率时，解得|2MN =，不符合题意； 5 分 当直线l存在斜率时，设其方程为ykxm=+，因为直线l与圆O相切，所以 2 | 1 1 m k = + ，即 22 1mk= +.6 分 将直线l与椭圆C的方程联立，得： 222 (12)4220kxkmxm+=，判别式 222 88 1680mkk = + +=，即0k ， 9 7 分 设 1122 ( ,),(,)M x yN xy， 所以 2 2222 121212 2 84 |()()1|1 1 23 k MNxxyykxxk k =+=+=+= + ， 解得1k = ，11 分 所以直线l的倾斜角为 4 或 3 4 .12 分 20. 解（） 法一： 如图， 在平面 11 ACC A内过 1 A作 1 AOAC与AC交于 点O， 因为平面 11 ACC A 平面ABC，且平面 11 ACC A平面 ABCAC=， 1 AO 平面 11 ACC A， 所以 1 AO 平面ABC，所以 1 A AC为 1 AA与平面ABC所成角， 1 分 由公式 11 coscoscosBAAA ACBAC=，解得 1 2 cos 2 A AC=，3 分 所以 1 45A AC=， 11sin45 1AOAA= =， 又ABC的面积为 12 221 22 =，所以三棱柱 111 ABCABC的体积为1 1 1 =.4 分 法二： 如图， 在平面 11 ACC A和平面ABC内， 分别过A作AC 的垂线， 由面面垂直性质， 可以以这两条垂线以及AC为坐标 轴建立空间直角坐标系，2 分 则可得(0,0,0), (1,1,0)AB，(0,2,0)C，设 1(0, , ) Ab c，则 1 (1,1,0),(0, , ),ABAAb c=由 1 60 ,BAA=得 22 1 2 2() b bc = + ，又 22 2bc+=，解得1bc=，即三棱柱的高为1，又ABC的面积为 O B C A1 C1 B1 A E 10 12 221 22 =，所以三棱柱 111 ABCABC的体积为1 1 1 =.4 分 （） 接（）法一： 由（）得在ABC中，O为AC中点，连接OB， 由余弦定理得 222 2cos452BCABACAB AC=+=，解得 2BC =， 所以ABBCBOAC=， （或者利用余弦定理求OB） 以O为坐标原点，以 1 OBOCOA，分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 5 分 则 1 (0, 1,0), (1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)ABAC， 所以 11=(0,1,1), AABB=C=( 1,1,0),B 设 1=(0, , ), BEBB =0,1，设平面 11 BCC B的法向量为( , , )nx y z=， 则 1 0 0 n BB n BC = = ，即 0 0 yz xy += + = ，不妨令1x =,则1,1yz= ，即(1,1, 1)n =. 111 (1, ,1)AEABBB =+=，7 分 又因为 1 AE与平面 11 BCC B所成角的余弦值为 7 7 ， 所以 1 22 |11|42 |cos,| 7 31(1) AE n + = + ， 解得 1 3 =或 2 3 =，11 分 又因为 1 BEB E，所以 2 2 3 BE =. 12 分 21. 解： （） 2 121 ( )21(0) axx fxaxx xx + =+ =，设 2 ( )21(0)g xaxxx=+ 11 (1) 当 1 0 8 a时 ，( )g x在 11 811 8 (0,)(,) 44 aa aa + +上 大 于 零 ， 在 11 811 8 () 44 aa aa + ，上小于零，所以( )f x在 11 811 8 (0,),(,) 44 aa aa + +上单调递增， 在 11 811 8 () 44 aa aa + ，单调递减；1 分 (2) 当 1 8 a 时，( )0g x (当且仅当 1 ,2 8 ax=时( )0g x =)，所以( )f x在(0,)+上单调递 增；2 分 (3) 当0a =时，( )g x在(0,1)上大于零，在(1)+，上小于零，所以( )f x在(0,1)上单调递增，在 (1)+，单调递减；3 分 (4)当0a 时，( )g x在 11 8 (0,) 4 a a 上大于零，在 11 8 (,) 4 a a +上小于零，所以( )f x在 11 8 (0,) 4 a a 上单调递增，在 11 8 (,) 4 a a +上单调递减. 4 分 （）曲线( )yf x=在点( ,( )t f t处的切线方程为 2 1 (21)()lnyatxttatt t =+，切线方程 和( )yf x=联立可得： 22 1 ln(2)ln10 xaxat xtat t + =，现讨论该方程根的个数： 设 22 1 ( )ln(2)ln1(0)h xxaxat xtatx t =+， 所以( )0h t =. 法一： 11()(21) ( )2(2) xtatx h xaxat xtxt =+=， (1) 当0a 时，( )h x在(0, ) t上大于零，在( ,)t +上小于零，所以( )h x在(0, ) t上单调递增，在 ( ,)t +上单调递减. 又( )0h t =，所以( )h x只有唯一的零点t，由t的任意性，所以不符合题意； 6 分 (2) 当0a 时， 当 2 2 a t a =时，可得( )0h x ，所以( )h x在(0,)+上单调递增，所以其只有唯一的零点 2 2 a a ； 7 分 12 当 2 2 a t a 时，( )h x在(0, ) t和 1 (,) 2at +上大于零，在 1 ( ,) 2 t at 上小于零，所以( )h x在(0, ) t和 1 (,) 2at +上单调递增，在 1 ( ,) 2 t at 上单调递减，所以( )h x在 1 (0,) 2at 上小于或等于零，且有唯一的 零点t. 函数 22 1 (2)1yaxat xat t =+的两个零点为t和 1 t at +，所以 11 ()ln()ln0h ttt atat +=+， 所以函数( )h x在区间 11 (,) 2 t atat +上存在零点，综上( )h x的零点不唯一； （或者这么说明：当x +时，ln x +且 22 1 (2)ln1axat xtat t + +，所以 ( )h x +，所以( )h x在 1 (,) 2at +上存在零点，酌情给分） 9 分 当 2 2 a t a 时，( )h x在 1 (0,) 2at 和( ,)t +上大于零， 在 1 () 2 t at ，上小于零， 所以( )h x在 1 (0,) 2at 和( ,)t +上单调递增，在 1 () 2 t at ，上单调递减，所以( )h x在 1 (,) 2at +上大于或等于零，且有唯 一的零点t. 函数 22 1 (2)1yaxat xat t =+在区间0, t上最大值为 2 1at +，当 2 1 0 at xte + 时，( )0h x ， 所以在区间 1 (0,) 2at 上，( )h x存在零点，综上( )h x的零点不唯一. （或者这么说明：当0 x 时，ln x 且 222 1 (2)ln1ln1axat xtattat t + +，是 个常数，所以( )h x ，所以( )h x在 1 (0,) 2at 上存在零点，酌情给分） 11 分 综上，当a(0,)+时，曲线( )yf x=上存在唯一的点 22 (,() 22 aa Mf aa ，使得曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点M.12 分 法二： 11 ( )2(2)h xaxat xt =+，设( )( )h xp x=，则 2 2 21 ( ) ax p x x =. (1)当0a 时，( )0p x ，所以( )h x在(0,)+上单调递减， 又( )0h t =，所以( )h x在(0, ) t上大于零，在( ,)t +上小于零，所以( )h x在(0, ) t上单调递增，在 13 ( ,)t +上单调递减， 又( )0h t =，所以( )h x只有唯一的零点t，由t的任意性，所以不符合题意； 6 分 (2) 当0a 时，( )p x在 2 (0,) 2 a a 上小于零，在 2 (,) 2 a a +上大于零，所以( )h x在 2 (0,) 2 a a 上 单调递减，在 2 (,) 2 a a +上单调递增， 当 2 2 a t a 时，( )h x在(0, ) t上大于零，在 2 ( ,) 2 a t a 上小于零，所以( )h x在(0, ) t上单调递增， 在 2 ( ,) 2 a t a 上单调递减，所以( )h x在 2 (0,) 2 a a 上小于或等于零，且有唯一的零点t. 函数 22 1 (2)ln1yaxat xtat t =+开口向上，若其判别式不大于零，则对任意 0 1x ，有 0 ()0h x；若其判别式大于零，设其右侧的零点为m，则对任意的 0 max ,1xm，有 0 ()0h x， 所以在区间 2 (,) 2 a a +上，存在零点，综上( )h x的零点不唯一； （或者这么说明：当x +时，ln x +且 22 1 (2)ln1axat xtat t + +，所以 ( )h x +，所以( )h x在 2 (,) 2 a a +上存在零点，酌情给分） 8 分 当 2 2 a t a =时，可得( )( )0h xh t=，所以( )h x在(0,)+上单调递增，所以其只有唯一的零点 2 2 a a ；9 分 当 2 2 a t a 时，( )h x在( ,)t +上大于零，在 2 (, ) 2 a t a 上小于零，所以( )h x在( ,)t +上单调递 14 增，在 2 (, ) 2 a t a 上单调递减，所以( )h x在 2 (,) 2 a a +上大于或等于零，且有唯一的零点t. 函数 22 1 (2)ln1yaxat xtat t =+在区间0,1上一定存在最大值，设为n，若0n ，则( )h x 在(0,1)上小于零.若0n ，当 0 0 n xe时， 0 ()0h x，所以在区间 0 2 (,) 2 a x a 上，( )h x存在零 点，综上( )h x的零点不唯一. （或者这么说明：当0 x 时，ln x 且 222 1 (2)ln1ln1axat xtattat t + +，是 个常数，所以( )h x ，所以( )h x在 2 (0,) 2 a a 上存在零点，酌情给分） 11 分 综上，当a(0,)+时，曲线( )yf x=上存在唯一的点 22 (,() 22 aa Mf aa ，使得曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点M.12 分 22. 解()联立曲线 34 ,C C的极坐标方程 1 cos ,(0,) 2 cos1 = + = 得: 2 10 =， 解得 15 2 + =, 即交点到极点的距离为1 5 2 + .4 分 ()曲线 1