第二章 极限与连续(3)

第五节极限存在准则、两个重要极限,二.夹逼定理,一.单调收敛准则,三.两个重要极限,一.单调收敛准则,(证明略),看懂后,用精确的语言描述它.,二.夹逼定理,函数极限的夹逼定理,定理,证,解,夹逼定理,三.重要极限,再看看在计算机上,进行的数值计算结果：,运用夹逼定理,关键在于建立不等式.,x,O,1,D,B,A,x,y,从图中可看出:,证,由sinx与cosx的奇偶性可知：,一般地,其中,a0为常数.,求,解,求,解,xa时,(x)=xa0,求,故,解,解,求,求,故,解,注意：变量代换也是一种很有用的方法.,(2),求(1),请自己动手做一下,(1),解,(2),解,2.重要极限,特别重要啊！,变量代换,如果可行,则可以利用极限运算性质,得到所需的结论吗？,证:利用二项式展开公式,有,第一步：证明,大,大,正,又,比较可知,根据准则2可知数列,即,有极限.,又,这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数,其值用e=2.7182818284)来表示.,(另一种放缩),第二步：证明,因为x+,故不妨设x0.,由实数知识,总可取nN,使nx0,sgnx|x=0=sgn0=0,故符号函数y=sgnx在点x=0处不连续.,0,x=0,1,x1,但由于,解,4.函数在区间上的连续性,设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若x0(a,b),f(x)在点x0处连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,b).,定义,若f(x)C(a,b),且f(x)在x=a处,右连续,在端点x=b处左连续,则称函数,f(x)在闭区间a,b上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数f(x)在区间I,上连续,则记为f(x)C(I).,二.函数的间断点,通常，将函数的不连续点叫做函数的间断点.,函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个,则称函数f(x),在点x0处间断,点x0称为函数f(x)的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点,注意到：这种间断点称为跳跃间断点.,G,跳跃间断点,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,无穷间断点,：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,震荡间断点,2.函数间断点的分类,函数的间断点,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,设函数,试确定常数a及b.,三.连续函数的运算法则,回忆函数极限的四则运算,则,回忆函数极限的四则运算,则,现在怎么说?,(连续函数的四则运算),设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,则,即,性质1,有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即,(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即,(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即,讨论复合函数的连续性,如果y=f(u)在u0处连续,则,当|uu0|时,有|f(u)f(u0)|,再假设u=(x),且在x0处连续,即,亦即,|uu0|=|(x)(x0)|,故对上面的,当|xx0|时,有,则,当|xx0|时,|uu0|=|(x)(x0)|,且有（假设可以构成复合函数）,|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|,有上面的推导,你想到了什么？,是关于复合函数的连续性定理？,怎么写出以上推导的结论?,自己想一想,动手写一下.,设函数u=(x)在点x0处连续,且,这个条件有必要吗？,性质2,(复合函数连续性定理),u=cosx1是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D=x|x=2k,kZ,每一点均不连续.,在性质2的条件下,在性质2的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序.,性质2,求,解,设函数u=(x)的极限存在：,函数y=f(u)在点u=a处连续.,复合函数f(x)当xx0时的极限存在,且,若复合函数f(x)在,内有定义,则,性质3,注：性质2是性质3的特殊情况.,变量代换u=(x)的理论依据,求,y=lnu在其定义域内连续,故,（y=lnu在u=1处连续）,解,(反函数的连续性),从而,单调性、连续性保持.,的图形只是的图形绕直线y=x翻转180而成,故单调性、连续性仍保持.,性质4,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,比如,单调递增,四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,实际上定义区间指的是在定义域内的区间,首先是区间,其次才可以说连续.,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,解一:,原式,说明:若,则有,思考：,1.讨论函数,x=2是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,答案:x=1是第一类可去间断点,续?,反例:,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,提示:,“反之”不成立.,2.,五.闭区间上连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,1.最大值和最小值定理,(最大值和最小值定理),若f(x)C(a,b),则它在该闭区间,上,至少取到它的最大值和最小值各一次.,定理,若f(x)C(a,b),则f(x)在a,b上有界.,看图就知道如何证明了,推论,证:,证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,2.介值定理,a,x,y,y=f(x),f(a),b,f(b),O,f(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点(a,b),使得f()0.,设f(x)C(a,b),且f(a)f(b)0,定理,(介值定理),设f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且AB,则对于A,B之间的任意一个数C,至少存在一点(a,b),使得f()=C.,推论1,最大、最小值定理,介值定理,？,引入,证,由零点定理,设f(x)C(a,b),证明:至少存在一点x1,xn,使得,ax1x2xnb,证,由介值定理,至少存在一点(x1,xn),使,证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有