D15函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则-h

,主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如：,函数的极限,第三节,第一章,本节内容：定义与性质,一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.,描述性定义（粗略地）：设函数在附近（去心）有定义：当无限接近于时的值无限接近于一个常数，称为当时的极限。,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,几何解释:,例1.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,例2.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,例3.证明,证:,（分析：欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,即）,不妨令，要使得,只要即可，,练习.证明:当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证.,必有,2.保号性定理,定理1.若,且A0,证:已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0,一切满足,的x,总有,称函数,当,时为无穷大。,，使对,类似可定义,(正数X),总存在,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!（P42.Ex6）,例如,函数,但,不是无穷大!,例.证明,证:略。见P40,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,Th1,3.无穷小与无穷大的关系,Th2,练习,P42ex1,5,P42题*3提示:,作业P424(1);8,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时,有,一、无穷小运算法则,定理1.,证:由定义得,设则,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,例如，,(P56题4(2)；P49题1（12）见课件,注：Th11.有限个无穷小的和还是无穷小.2.无限个无穷小之和不一定是无穷小!,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有.,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有.,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,练习.P31Ex5,推论2说明：无限个无穷小的乘积未必是无穷小.,例1.求P48.例8,解:,利用定理2可知,说明:y=0是,的渐近线.,二、极限的四则运算法则,则有,证:因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理1可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立.,定理3-1.若,推论:若,且,则,(P46定理5保号性),利用保号性定理证明.,说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.,提示:令,为无穷小,定理3-2若,且B0,则有,证:因,有,其中,设,由极限与无穷小关系定理,结论可得。,因此为无穷小,定理3-2.若,则有,说明:定理3-2可推广到有限个函数相乘的情形.,推论1.,(C为常数),推论2.,(n为正整数),例2.设n次多项式,试证,证:,定理3-3若,且B0,则有,证:略见P44；或者见本课件最后一页。,定理4若,则有,提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由,定理3,4,5直接得出结论.（已经在第二节讲过）,例3.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:,1.不能直接用商的运算法则，如例4、例5要先化简，或者通过求倒数的极限。,若,例5.求,解:,x=1时,分母=0,分子0,例4.,x=3时分母为0!,例6.求,解:,分子分母同除以,则,“抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数),(如P47例5),(如P47例6),(如P47例7),三、复合函数的极限运算法则,定理5.设,且x满足,时,又,则有,证:略,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理5.设,且x满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,例7.求,解:方法1,则,令,原式,方法2,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(要求分母不为0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3-1,Th3-2,Th3-3,Th5,练习题,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3.求,解法1（分子有理化）,原式=,解法2（换元）,令,则,原式=,作业,P491(3)，(5)，(7)，(9),(14)2(2)3(2)5,思考题1.设,解:,利