理论力学教学材料第十一章

,第11章达朗伯原理(动静法),引言,引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题达朗伯原理（动静法）。,达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。,达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束反力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。,工程实际问题,11.1惯性力,是小球给绳子的反力，即是惯性力,力FT就是通常所说的向心力。小球将给绳子以反作用力,反作用力就是小球的惯性力，通常所说的离心力。,质点惯性力的大小等于质点与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，它不作用于质点本身而作用于施力物体上。,FN约束力；,F主动力；,11.2达朗伯原理(动静法),根据牛顿定律,maF+FN,F+FNma0,Fgma,F+FNFg0,Fg质点的惯性力。,非自由质点的达朗伯原理,作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。,一.质点达朗伯原理,Fgma,F+FNFg0,应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法,达朗伯原理(动静法),1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。,非自由质点达朗贝尔原理的投影形式,方向如图示。应用质点达朗伯原理，列出两投影方程：,如把重锤C简化为一质点，它在杆AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出,以F1值代入前两式，可解出,由此式可知，调速器两臂的张角与主轴转动角速度有关。利用这个结果可以选择m1，m2，l等参数，使在某一转速下，角为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置进行调速。,取上式在自然轴上的投影式，有：,解：,以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，如图所示。,根据达朗伯原理，这三力在形式上组成平衡力系，即,解得：,二.质点系的达朗伯原理,质点系的主动力系,质点系的约束力系,质点系的惯性力系,对质点系应用达朗伯原理，得到,解：取AB杆为研究对象,分析AB杆的运动，计算惯性力,解：取上半部分轮缘为研究对象,刚体惯性力系特点,刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。,Fgimiai,对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。,对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间任意力系。,11.3刚体惯性力系的简化,惯性力系的主矢,惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。,惯性力系的主矩惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。,1、刚体作平动,刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。,2、刚体绕定轴转动(具有质量对称面),向转轴简化,惯性力系主矢,惯性力系主矩,当刚体具有质量对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系向转轴简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。,向转轴简化,若将刚体惯性力系向质心C简化，则可以将向转轴O简化的主矢向质心平移，同时加上相应的附加力偶。主矢的大小方向不变，作用在质心，即,主矩则为MgO与的代数和，即,3、刚体作平面运动(具有质量对称面),具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作向质心简化。,解：取AB杆为研究对象,其中：,其中：,解：取货箱为研究对象,货物不滑的条件：FfFN，afg,货物不翻的条件：db/2，abg/h,为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。,解：取AB杆为研究对象,（1）分析运动，向转轴简化，惯性力的主矢和主矩分别为：,由达朗伯原理，有,（2）将惯性力系向质心C简化，其主矢主矩分别为：,由达朗伯原理，有,练习已知,均质圆盘,均质杆,纯滚动.,求:F多大,能使杆B端刚好离开地面?纯滚动的条件?,解得,得,解:刚好离开地面时,地面约束力为零.,得,解得,由,解：（1）取A物体与轮C为研究对象,其中：,其中：,（2）取BC杆为研究对象,解:(1)取系统为研究对象,其中,由加速度基点法有,所以,代入,(2)取AB杆为研究对象,B,A,(3)取系统为研究对象,解:(1)取系统为研究对象，由动能定理得：,(2)取OA杆为研究对象,(3)取AB杆为研究对象,(4)对AB杆进行运动分析,取A点为基点，研究B点,取A点为基点，研究C点,(2)取OA杆为研究对象,(3)取AB杆为研究对象,解得：,11.4静平衡与动平衡的概念,Fg1Fg2,Fg1Fg2,由惯性力引起的轴承约束反力FRA、FRB都不等于零，他们称之为附加动反力。,11-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力,解得,即:,必有,通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴,因此,避免出现轴承动约束力的条件是:刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.,动约束力为零的条件为:,结论与讨论,引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题达朗伯原理(动静法)。,达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。,达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。,质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即,质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有,质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在形式上组成平衡力系，有,Fgma,F+FNFg0,Fi+FNiFgi0(i=1,2,n),刚体的惯性力系简化结果,1、刚体作平动,质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力Fg。,FgmaC,2、刚体绕定轴转动,如果刚体具有对称平