第6章定积分的应用3物理应用.ppt

第三节,一、变力沿直线所作的功,二、液体的侧压力,三、引力问题,定积分在物理学上的应用,一、变力沿直线所作的功,设物体,力的方向,求力所做的功.,的功元素为,因此,所作的功为,的作用下,从a,在力F,1.力F是常数，,则常力所做的功,2.力F(x)是变量，,移动到,与运动方向平行,沿x轴,从a,移动到,变力F(x),从,移动到,例1.,一个单,求电场力所作的功.,解:,当单位正电荷,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,说明:,位正电荷沿直线,在一个带+q电荷,所产生的电场作用下,从距离点电荷,a处,b处,(ab),移动到,距离原点r时,例2.,求移动过程中,解:,由于气体的膨胀,移动到,所作的功.,建立坐标系如图.,由波义耳,压强p,功元素为,故作用在活塞上的压力为,所求功为,在底面积为S,盛有一定量的气体,把容器中,点b处(如图),即,从点a处,的圆柱形容器中,面积为S的活塞,气体压力,与体积V成反比,马略特定律知,例3.,试问要把桶中的水,解:,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外,故所求功为,(KJ),设水的密度为,(KN),一蓄满水,的圆柱形水桶,高为5m,底圆半径为3m,全部吸出需作多少功?,所作的功为,建立坐标系如图.,练习,解:作x轴如图.,为清除井底污泥,提出井口,缆绳每米重50N,在提升过程中污泥,以20N/s的速度,现将抓起污泥的抓斗,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问,克服重力需作多少功?,已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥,抓起污泥后,x提升dx,用缆绳,从抓斗缝隙中漏掉,提升到井口,提升抓斗中的污泥,克服缆绳重,抓斗升至x处所需时间:,克服抓斗自重,的抓斗由,的功元素,的功元素,的功元素,将抓斗,放入井底,面积为A的平板,二、液体侧压力,设液体密度为,深为h处的压强:,当平板,当平板,平板一侧,与水面平行时,所受的压力,与水面不平行时,平板一侧,所受的压力,就需用积分解决.,小条上各点的压强,例4.,的液体,解:,半圆的,小条的面积,端面所受侧压力,方程为,一水平横放,内有半桶密度为,求桶的一个端面,侧压力元素,的半径为R,的圆桶,所受的侧压力.,建立坐标系如图.,锐角,练习题,斜边为定长,解:,设斜边长为l,并使一直角边,则,问斜边与水面交成的,垂直放置于水中,的直角三角形薄板,薄板所受,取多大时,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在,即,与水面相齐,选取坐标系如图.,的压力P最大.,压力元素,压力,三、引力问题,质量分别为,的质点,两质点间的引力:,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体,则需用积分解决.,对质点的引力,相距r,例5.,设有一长度为l,其中垂线上,该棒对质点的引力.,解:建立坐标系.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故垂直分力元素为,在,计算,线密度为的均匀细直棒,距a单位处,有一质量为m,棒对质点的引力,的垂直分力为,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,的质点M,练习设星形线,上每一点处线密度,的大小,解:如图.,在原点处有一单位,质点,求星形线