多维随机变量及其分布.ppt

第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布,第三章多维随机变量及其分布,第一节二维随机变量,二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量小结,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.,它是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)（X，Y）来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等.,设,是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照.,如果对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量的分布函数,定义1,一、二维随机变量的分布函数,将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,随机点落在矩形域,内的概率为,或随机变量X和Y的联合分布律.,k=1,2,X的分布律,k=1,2,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量的分布律,二、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量的分布律具有性质,也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.,例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),PX=0,Y=3,PX=1,Y=1,PX=2,Y=1,PX=3,Y=0,=3/8,=3/8,X的概率密度函数,定义3,三、二维连续型随机变量,（X,Y）的概率密度的性质,在f(x,y)的连续点,例2设(X,Y)的概率密度是,(1)求分布函数,(2)求概率.,积分区域,区域,解(1),当时,故,当时,(2),四、小结,在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.,第二节边缘分布,边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度小结,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?,这一节里,我们就来探求这个问题.,二维随机变量(X,Y)作为一个整体,分别记为,一、边缘分布函数,一般地，对离散型r.v(X,Y)，,则(X,Y)关于X的边缘分布律为,X和Y的联合分布律为,二、离散型随机变量的边缘分布律,(X,Y)关于Y的边缘分布律为,例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.,解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),PX=0,Y=3,PX=1,Y=1,PX=2,Y=1,PX=3,Y=0,=3/8,=3/8,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3,=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3,=3/8,PX=2,Y=1+PX=2,Y=3,PX=3,Y=1+PX=3,Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对连续型r.v(X,Y)，,X和Y的联合概率密度为,则(X,Y)关于X的边缘概率密度为,事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度,(X,Y)关于Y的边缘概率密度为,例2设(X,Y)的概率密度是,求(1)c的值；（2）两个边缘密度。,=5c/24,c=24/5.,解(1),故,例2设(X,Y)的概率密度是,解,求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,(2),当时,当时,暂时固定,注意取值范围,综上,当时,例2设(X,Y)的概率密度是,解(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,暂时固定,综上,注意取值范围,在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.,下面我们介绍两个常见的二维分布.,1、设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.,2、若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.,记作（X,Y）N().,例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,则有,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布.,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,2.请注意联合分布和边缘分布的关系:,四、小结,随机变量相互独立的定义例题选讲正态随机变量的独立性一般n维随机变量的一些概念和结果小结,第四节相互独立的随机变量,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,一、随机变量相互独立的定义,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,几乎处处成立，则称X和Y相互独立.,对任意的x,y,有,若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：,分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.,若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有,解,x0,y0,二、例题,即,可见对一切x,y,均有：,故X,Y独立.,解,0x1,0z),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例7设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为,其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.,解,(i)串联的情况,由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为,因为X的概率密度为,所以X的分布函数为,当x0时,当x0时,故,类似地,可求得Y的分布函数为,于是的分布函数为,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii)并联的情况,由