二次根式总复习典型题加练习汇总.ppt

初中数学九年级上册,二次根式总复习,（2）3的算术平方根是_,（3）有意义吗？为什么？,（4）一个非负数a的算术平方根应表示为_,（1）3的平方根是_,温故知新,算术平方根的性质正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。,这些代数式有什么共同的特点？,像，这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。,为了方便起见，我们把一个数的算术平方根（如，）也叫二次根式。,如：这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而这类代数式，应把这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。,注意,1、判断：下列各式中那些是二次根式？,二次根式根号内字母的取值范围必须满足:被开方数大于或等于零,例1求下列二次根式中字母的取值范围：,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数大于或等于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,(5),口答,要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？,变式,若二次根式的值为3，求x的值。,例2.当x=4时，求二次根式的值。,延伸与提高,求出下列二次根式中字母a的取值范围：,切入点：,从字母的取值范围入手。,1.已知，你能求出的值吗？,3.已知，你能求出的取值范围吗？,2.已知与互为相反数，求、的值.,切入点：,从代数式的非负性入手。,4.已知为一个非负整数，试求非负整数的值,切入点：,分类讨论思想。,探索交流,讨论:求式子有意义时x的取值范围。,解:由题意得,若a.b为实数,且,求的值。,解:,拓展延伸,3.分类讨论思想,一个概念：二次根式两类题型：1.求代数式所含字母的取值范围2.求二次根式的值三点注意：1.二次根式的双重非负性2.分母不能为0,形如的代数式,列不等式（组）,小结与质疑,一般地,二次根式有下面的性质:,5,3,试试你的反应,填空,请比较左右两边的式子,想一想:1、与有什么关系?2、当时,当时,2,2,5,5,0,0,一般地，二次根式又有下面的性质:,大家抢答,合作探究:,比较分析和,先开方,后平方,先平方,后开方,a0,a取全体实数,a,a,根号a的平方,根号下a平方,计算：(1)(2),例1,计算：,例2,练习,计算：,例3,化简：(2)(a0,b0)(a1),拓展提高,二次根式的性质及它们的应用:,（1）（2）,一般地,两个非负数的算术平方根的积等于它们积的算术平方根,例1：计算:,试一试,由,反过来得:,利用这个等式可以化简一些二次根式,结论：,例2：化简:,方法:将被开方数中的平方数因数先分解再开方,结果:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,1.,2.化简,注意:结果被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,计算,推广,1.计算,若,则x的取值范围是_,动动脑筋,反过来得:,小结,1.,2.,两个非负数的算术平方根的积等于它们积的算术平方根,反过来得:,知识回顾,二次根式的乘法运算公式,积的算术平方根的性质,尝试化简：,注意结果:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,例1.计算：,2.计算：,反过来就是,把下列各式中根号外的正因式移进根号内,(1),(2),(3),(4),根号外的负因式不能移进根号内,在移进根号内之前一定要先判断是否为非负因式.,例2：,1.将下列各式中根号外的非负因式移进根号内:,(1),(2),（3）,（4）,2.比较下列两数的大小:,(1),(2),(3),=,=,=,=,（2）3,（1）2,=,验证：2,=,=,=,1探究过程：观察下列各式及其验证过程,思维拓展,验证：3,=,=,=,=,=,=,=,同理可得：4,5,，,通过上述探究你能猜测出：a,自主学习,1想一想:是用什么样的方法引出的？是用什么样的方法引出的？2思考：（a0，b0）,？,(1)比较上述各式,你有什么发现?,(2)你能再举出一些这样的例子吗？,(3)你能用字母表示这种关系吗？,此式成立的条件是什么？,条件是：，,二次根式的除法法则,算术平方根的商等于商的算术平方根,计算:,(2),(1),(3),(4),计算:,(2),(3),(4,(5),(a，)反过来,成立吗?,条件是：，,化简:,(1),(3),化简:,此式成立的条件_.,此式成立的条件_.,1.判断,(),(),(),(),3.计算:,4已知，求的值,小结,二次根式的除法法则,用可以化简一些二次根式,自主学习,1.想一想:2.小组讨论如何去掉中被开方数中的分母呢?,一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应同样二次根式运算的结果中，被开方数中不含分母、,例如:不能有象,例如:不能有象,分母中不含有根号.,不含能开得尽方的因数或因式.,思考与探索,1.怎样化去被开方数中的分母?,由此你能的得到一般结论吗?,当a0,b0时,怎样化去中的分母?,化去根号中的分母：,解:(1),(2),(3),化去根号中的分母：,思考与探索,定义：两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式.,练习：写出下列代数式的有理化因式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,思考与探索,由此你能化去分母中的根号吗?,2.怎样化去分母中的根号呢?,当a0,b0时,化去分母中的根号:,解:(1),(2),(3),化去分母中的根号:,化去分母中的根号:,化去分母中的根号：,解：当m0时,化简二次根式实际上就是使二次根式满足:,(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;,(2)被开方数中不含分母;,(3)分母中不含有根号.,象不能作为二次根式的最后化简结果.,小结:,小结,怎样化去被开方数中的分母,怎样化去分母中的根号,二次根式的最后结果应满足：,(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;,(2)被开方数中不含分母;,(3)分母中不含有根号.,若一个三角形的三边长分别为a、b、c,设则这个三角形的面积(海伦-秦九韶公式)当a=4、b=5、c=6时,求S的值.,1、满足哪些条件的二次根式，叫做最简二次根式？,（1）被开方数不含分母；,也就是被开方数是整数或整式；,最简二次根式的概念,（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.,化简二次根式的一般步骤：,化去根号下的分母，并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面，化简时，依照二次根式的有关性质进行。,你可要细心吆!,2.化简下列二次根式,几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.,判断同类二次根式的关键是什么？,化成最简二次根式，被开方数相同,根指数相同(都等于2).,先把这些式子化为最简二次根式，由于它们的被开方数相同，所以它们是同类二次根式注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次式前面的因式及符号无关,如何判断一组式子是否为同类二次根式,例1:下列各式中,哪些是同类二次根式?,例题解析,同类二次根式也可以合并,方法与合并同类项类似把根号外系数或字母相加减,根指数和被开方数不变,因此我们可以说:几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并,注意:不是同类二次根式的二次根式(如与)不能合并,合并同类根式,1、计算:,=(2+3),=5,例题：,2、计算,例题：,3、计算:,例题：,下列解答是否正确？为什么？,错在没有按照二次根式加减混算从左向右依次进行的运算顺序计算。,运算不完全，能合并的没有合并。,计算:,练一练:,巩固练习,计算:,拓展与延伸：,（3）合并同类二次根式。,一化,二找,三合并,二次根式加减法的步骤：,（1）将每个二次根式化为最简二次根式；,（2）找出其中的同类二次根式；,交流归纳,1同类二次根式是相对于一组二次根式而言的判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式就是同类二次根式2同类二次根式不一定是最简二次根式如:，等.,3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.,要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？,(1)说出的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式.,(3)下列各式中哪些是同类二次根式?,同类二次根式,复习：,下列计算哪些正确，哪些不正确？,（不正确）,（不正确）,（不正确）,（正确）,（不正确）,判断：,B,计算,1、注意运算顺序2、运用运算律,整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.,练习,5.计算:,练一练2:计算:,例5计算:,解：,（1）原式,（2）原式,观察题目的特点是否能应用乘法公式,练习3,计算(1)(2),(3),比较根式的大小.,提高题,解:,提高题,探究:,拓