可用数学归纳法

数学归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,万百千的笑话,犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。,万百千在学习上犯了什么错误?,多米诺骨牌和台球的游戏,骨牌倒下用不用一块一块人工推倒？,课题探究,第一，必须推倒第一块，第二,假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。,想一想,要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？,人群中的多米诺,像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。,1、在等差数列中，已知首项为，公差为d，,2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？,（完全归纳法）,结论：盒内粉笔都是白色的,（不完全归纳法）,（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。,（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。,例：,说明：,由两种归纳法得出的结论一定正确吗？,想一想：,这种证明方法叫做,（一）、数学归纳法的定义（原理）,数学归纳法。,（1）第一块骨牌倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）假设第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。,利用相似性,规范二步骤,分析：,综(1)(2)知命题成立。,即,（2）假设当时命题成立，,即成立吗？,那么当时命题成立吗？,（1）当时，成立吗？,根据(1)(2)知当对任意的命题成立。,（1）当时，左边，右边，,证明：,命题成立。,（2）假设当时命题成立，即,那么当时，,即当时命题成立。,（依据）,（结论）,（二）、数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的时命题成立。,注：,（1）证明当取第一个值或时结论正确,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。,（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。,（1）,（2）,（三）数学归纳法的应用举例,135（2n1）,例1、用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,练习：用数学归纳法证明,3、,1、,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法。,数学归纳法的原理与科学性：