随机数的产生、数据的统计描述

概率论与数理统计实验,实验2随机数的产生数据的统计描述,实验目的,实验内容,学习随机数的产生方法直观了解统计描述的基本内容。,2、统计的基本概念。,5、实验作业。,4、计算实例。,3、计算统计描述的命令。,1、随机数的产生,在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用分布的随机数，命令如下：,一、随机数的产生,10常用分布随机数的产生,定义：设随机变量XF(x),则称随机变量X的抽样序列Xi为分布F(x)的随机数,调用格式：,1、y=random(name,A1,A2,A3,m,n),其中：name为相应分布的名称，A1,A2,A3为分布参数，m为产生随机数的行数，n为列数。,2、直接调用。如：y=binornd(n,p,1,10)产生参数为n，p的1行10列的二项分布随机数,当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。,调用格式如下：R=unifrnd(a,b)：产生一个均匀分布随机数R=unifrnd(a,b,mm,nn)产生mm行nn列的均匀分布随机数,（1）产生m*n阶a，b均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd(a,b,m,n)产生一个a，b均匀分布的随机数:unifrnd(a,b),例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数。,命令：(1)y1=unifrnd(2,8)(2)y2=unifrnd(2,8,1,10)(3)y3=unifrnd(2,8,2,5),排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。,例顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布,指数分布的均值为1/0.1=10。指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。,4、二项分布随机数,(1)R=binornd(n,p)：产生一个二项分布随机数(2)R=binornd(n,p,mm,nn)产生mm行nn列的二项分布随机数,例4、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数，3行6列的随机数。,命令(1)y1=binornd(10,0.8)(2)y2=binornd(10,0.8,1,15)(3)y3=binornd(10,0.8,3,6),20、其他分布随机数的产生方法,定理设X的分布函数为F(x)，连续且严格单调上升，它的反函数存在，且记为F-1(x)，随机变量U服从0,1上的均匀分布，则F(x)U(0,1)F-1(U)的分布函数为F(x)。,（一）直接抽样法（反函数法）,（1）连续分布的直接抽样法,设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，,则产生随机数的方法步骤为：,产生均匀随机数R，即RU(0,1)则X=F-1(R),即为所要的随机数,设分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,.，其分布函数为F(x),（2）离散分布的直接抽样法,产生均匀随机数R，即RU(0,1),则XF(x),（二）变换抽样法,（三）值序抽样法,（四）舍选抽样法,（五）复合抽样法（合成法）,（六）近似抽样法,详见：高惠璇北京大学出版社统计计算,例5、设X分布函数为F(X),如：,生成n=20的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线频率直方图。,命令：U=unifrnd(0,1,1,10000);Y=1-(1-U).(1/20);cdfplot(Y);,例5生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);xRandnum=cos(Randnum);yRandnum=sin(Randnum);plot(xRandnum,yRandnum);plot(xRandnum,yRandnum,.);,例6频率的稳定性,1、事件的频率在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。频率f=m/n,2.频率的稳定性,在重复试验中，事件A的频率总在一个定值附近摆动，而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度越来越小，呈现出一定的稳定性.,掷一枚硬币，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。,(1)模拟产生n个0-1分布随机数randnum(n),(2)对模拟产生的随机数，xrandnum(i)表示第i次试验的结果，1表示正面向上，0表示反面向上。,(3)统计前i次试验中正面向上的次数，并计算频率,（4）作图(关于频率和试验次数的图像）,p为正面向上的概率，n为试验次数,在Matlab中编辑.m文件输入以下命令：,functionbinomoni(p,n)pro=zeros(1,n);%频率向量randnum=binornd(1,p,1,n);产生二项分布随机数a=0;fori=1:na=a+randnum(1,i);%频数pro(i)=a/i;%频率endpro=pro;num=1:n;plot(num,pro,num,p),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,1000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,10000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.3,1000),例7、Buffon试验,1777年法国数学家蒲丰用随机掷针的实验方法计算,假设平面上有很多条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为l的针(l1)则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离x均匀的分布在区间0,0.5上，针与平行线的夹角(不管相交与否）均匀分布在区间0,上。,因此，针与线相交的充要条件是,从而针线相交的概率为,根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率p从而得到的估计值。,步骤：设针的长度为l,模拟试验次数为n.,(1)模拟产生n个0，0.5上的均匀分布随机数xrandnum，0，上的均匀分布随机数sita,(3)计算针与线相交的频率，作为概率，计算,buffon(.6,1000)piguji=3.1662buffon(.6,10000)piguji=3.1072buffon(.6,100000)piguji=3.1522buffon(.6,1000000)piguji=3.1386buffon(.6,1000000)piguji=3.1451buffon(.6,1000000)piguji=3.1418buffon(.6,1000000)piguji=3.1448buffon(.6,1000000)piguji=3.1405buffon(.6,1000000)piguji=3.1394,1、表示位置的统计量平均值和中位数,平均值（或均值，数学期望）：,中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.,二、常用统计量,2、表示变异（离散）程度的统计量方差、标准差、极差,样本方差：,它是各个数据与均值偏离程度的度量,标准差：是方差的开方,极差：样本中最大值与最小值之差.,3.表示分布形状的统计量偏度和峰度,偏度：,峰度,偏度反映分布的对称性，g10称为右偏态，此时数据位于均值，右边的比位于左边的多；g10称为左偏态，情况相反；而g1接近0则可认为分布是对称的.,峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若g2比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一,三、分布函数的近似求法（直方图）,1、经验分布函数（累计频率直方图）EmpiricalCumulativeDistributionFunction,则经验分布函数为：,总体分布函数的近似,2、频率直方图近似概率密度函数,下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法,1、整理资料：把样本值x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得,2、求出各组的频数和频率：,3、作图：,统计工具箱中的基本统计命令,1.数据的录入、保存和调用,2.基本统计量,3.常见概率分布的函数,4.直方图的描绘,5.综合实例,一、数据的录入、保存和调用,例9上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下,统计工具箱中的基本统计命令,方法1,1、年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入。命令格式：x=a:h:bt=78:87,2、分别以x和y代表变量职工工资总额和商品零售总额x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。savedatatxy,4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数据。loaddata,t=78:87;x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0;savedatatxy,1、输入矩阵：data=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,2、将矩阵data的数据保存在文件data1中：savedata1data,方法2,3、数据的调用：命令：loaddata1用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y：t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令：data(:,j),data=78798081828384858687;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0;savedata1data;,loaddata1,t=data(1,:)；x=data(2,:)；y=data(3,:)；,若要调用矩阵data的第j列的数据，可用命令：data(:,j),二、基本统计量,对样本x，计算其基本统计量的命令如下：均值：mean(x)中位数：median(x)标准差：std(x)方差：var(x)极差：range(x)偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x),例10对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量。,clear;loaddata1x=data(2,:)mean1=mean(x)median1=median(x)std1=std(x)var1=var(x)rang1=range(x)skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x),mean1=41.7200median1=34.3000std1=16.4544var1=270.7462range1=49.6000skewness1=0.8590kurtosis1=2.4037,三、常见概率分布的函数,常见的几种分布的命令字符为:,Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值与方差：stat随机数生成：rnd,（当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）,1、描绘数组data的频数直方图的命令为：hist(data,k),四、频数直方图的描绘,2、描绘附加带有正态密度曲线的直方图命令为：histfit(data,k),五、经验分布函数（累计频率直方图）作图,描绘数组data的经验分布函数的命令为：cdfplot(data),例11一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：作频数直方图及经验分布函数图,459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851,解1、数据输入,x1=459362624542509584433748815505;x2=612452434982640742565706593680;x3=9266531644877346084281153593844;x4=527552513781474388824538862659;x5=77585975549697515628954771609;x6=402960885610292837473677358638;x7=699634555570844166061062484120;x8=447654564339280246687539790581;x9=621724531512577496468499544645;x10=76455837876566