线性代数 对角化

上课,手机关了吗？,第五章矩阵的特征值与特征向量,2,1.为A的特征值,复习：,对应的特征向量：,2.特征值和特征向量的性质：,定义,计算,Ann有特征值,则,A可逆时,A1有特征值;,A*有特征值,有特征值,第五章矩阵的特征值与特征向量,3,X1、X2是A的属于的特征向量，,则非零线性组合k1X1k2X2也是A的属于的特征向量,A的互不相同的特征值对应的特征向量,线性无关.,推论：一个特征向量不可能属于不同的特征值.,(即同一个矩阵不同的特征值所对应的特征向量不同),A的k重特征值所对应的线性无关特征向量至多有k个.,即:代数重数为k的特征根几何维数至多为k,注：由矩阵A各特征值对应的线性无关特征向量构成的向量组线性无关(P125：定理4-11),4.3矩阵相似对角化,一、相似矩阵,引例,求P1AP,=B,1.定义设Ann,Bnn,若存在可逆阵P,使P-1APB,则称A相似于B，记AB.,2.性质,1)矩阵的相似关系是一种等价关系,反身性(AA)、,(因为E1AEA),(由P1APB得:,(由P1APB,Q1BQC得:,传递性.,Q1(P1AP)Q(PQ)1APQC),，具有,对称性(ABBA)、,(AB,BCAC),APBP1,(P1)1BP1),2)相似矩阵的行列式相等,3)相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时逆阵也相似,(P1APB两边求逆矩阵得：P1A1PB1),4)相似矩阵的幂仍相似,(P1APB得:,一般地,若AB，则f(A)f(B),5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值,6)相似矩阵有相同的迹,(因为迹等于特征值之和),7)相似矩阵有相同的秩,Bk(P1AP)(P1AP)(P1AP),P-1AkP),P1APB,P127例410,二、矩阵可对角化条件,相似矩阵有许多共同性质。对Ann，任给可逆阵P，有P1APBA，故与A相似的矩阵很多，从其中找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表,(是什么？怎么求？相应的P?),与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己。,(P1(aE)PaE),仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否相似于一个对角矩阵(称A可对角化)？,定理1,A有n个线性无关的特征向量,A有n个线性无关的特征向量,记,线性无关,=,A有n个线性无关的特征向量,P可逆,(P可逆),定理2.,Ann有n个不同特征值,(充分不必要),定理3.,A的每一个ki重特征值对应ki个线性无关的特征向量,Ann相似于对角矩阵,由定理1,矩阵A是否与一对角矩阵相似,只需考察A是否有n个线性无关的特征向量；,若求出A的n个线性无关特征向量,令,就能使为对角阵,对角阵主对角线上的元素依次为所属的特征值,即每个特征值的代数重数等于其几何维数,1.,X1=(1,-1,0)T,X2=(1,-1,1)T,X3=(0,1,-1)T,2.,X1=(1,1,2)T,X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T,上次课例13：,3.,代数重数2，几何维数1.,X1=(0,0,1)T,X2=(1,2,-1)T,A只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若当形矩阵相似,注:设,由APPJ求出a,b,c，确定P.,?,第五章矩阵的特征值与特征向量,12,解:由已知，B的特征值为1-3+1=-18-6+1=327-9+1=19,第五章矩阵的特征值与特征向量,13,解:由于特征向量是3维向量,可知A是3阶方阵,而A有3个不同的特征值,所以A可对角化,即存在可逆矩阵P,使得,求方阵A,第五章矩阵的特征值与特征向量,14,第五章矩阵的特征值与特征向量,15,解:,第五章矩阵的特征值与特征向量,16,第五章矩阵的特征值与特征向量,17,例7(00考研)若4阶矩阵A与B相似，A的特征值为,