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第2课时函数的最大(小)值1函数f(x)=2x+1在0,1上的最大值是a,最小值是b,则a+b=.解析:函数f(x)=2x+1在0,1上是增函数,a=f(1)=3,b=f(0)=1,则a+b=3+1=4.答案:42函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是.解析:y=2,x1,2x,-1x1,-2,x-1,画出该函数的图象,如图所示.观察知,函数图象最高点的纵坐标为2,则该函数的最大值为2.答案:23函数y=-(x+a)2+1的最大值为.解析:-(x+a)20,y=-(x+a)2+11.答案:14把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为12-4x4=(3-x)(cm),两个正方形的面积和为S cm2,0x3.则S=x2+(3-x)2=2(x-32)2+92.当x=32时,S取最小值92,即这两个正方形面积之和的最小值为92 cm2.5已知函数f(x)=-2x-1,(1)求证:函数f(x)在2,3上是增函数;(2)求f(x)在2,3上的最大值和最小值.(1)证明:设x1,x2是区间2,3上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-2x1-1-2x2-1=-21x1-1-1x2-1=-2(x2-1)-(x1-1)(x1-1)(x2-1)=-2x2-x1(x1-1)(x2-1).2x10,x1-10,x2-10.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数f(x)=-2x-1在2,3上是增函数.(2)解:由(1)得f(x)在2,3上的最大值是f(3)=-1,最小值是f(2)=-2.1定义在R上的函数f(x)满足f(x)5,则f(x)的最大值是().A.5B.f(5)C.4.9D.不能确定答案:D2定义在区间0,3上的函数y=f(x)是减函数,则它的最大值是().A.f(0)B.f(3)C.0D.3答案:A3函数f(x)(-2x2)的图象如图所示,则函数的最大值和最小值分别为().A.f(2),f(-2)B.f12,f(-1)C.f12,f-32D.f12,f(0)解析:由图象可知最大值为f12,最小值为f-32.答案:C4函数f(x)=x2-4x+3,x1,4,则f(x)的最大值为().A.-1B.0C.3D.-2解析:f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数,又f(1)=0,f(4)=3,f(x)的最大值是3.答案:C5f(x)=2x,0x1,2,1x2,3,x2的最大值是().A.0B.1C.2D.3解析:当0x1时,f(x)的最大值是f(1)=2,又当1x1)上的最小值是14,则b=.解析:f(x)在1,b上是减函数,f(x)在1,b上的最小值为f(b)=1b=14,b=4.答案:47函数f(x)=x2+bx+1的最小值是0,则实数b=.解析:f(x)是二次函数,二次项系数10,则最小值为f-b2=b24-b22+1=0,解得b=2.答案:28(能力拔高题)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在-3,-1上的最大值是.解析:由f(a)-f(b)a-b0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在-3,-1上的最大值是f(-1)=b.答案:b9已知函数f(x)=2xx+1,x-3,-2,求函数的最大值和最小值.解:设x1,x2是区间-3,-2上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1x1+1-2x2x2+1=2x1(x2+1)-2x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)=2(x1-x2)(x1+1)(x2+1).由于-3x1x2-2,则x1-x20,x1+10,x2+10.所以f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).所以函数y=2xx+1,x-3,-2是增函数.又因为f(-2)=4,f(-3)=3,所以函数的最大值是4,最小值是3.10某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,最大月产量是400台.已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2,其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润y(元)表示为月产量x(台)的函数.(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少?(总收益=总成本+利润)解:(1)设月产量为x台时,利润为y元,则总成本为20 000+100x,所以y=R(x)-(20 000+100x)=400x-12x2-20 000-100x=-12x2+30