2015-2016学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷

.2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2011海安县模拟）已知全集U=R，集合，则UM=2（4分）（2011海安县模拟）设z1=1i，z2=a+2ai（aR），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a=3（4分）（2015秋上海校级期中）经过圆（x1）2+y2=1的圆心M，且与直线xy=0垂直的直线方程是4（4分）（2015秋上海校级期中）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则A=5（4分）（2015秋上海校级期中）已知数列an是等差数列，且a1+a7+a13=2，则tan（a2+a12）6（4分）（2011湖南模拟）若命题“xR，使得x2+（a1）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是7（4分）（2015秋上海校级期中）对任意非零实数a、b，定义一种运算：ab，其结果y=ab的值由如图确定，则=8（4分）（2015秋上海校级期中）（理科）极坐标系中两点，则线段AB的长等于9（2013自贡一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于10（4分）（2015秋上海校级期中）若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是11（4分）（2012长宁区二模）从集合A=1，1，2中随机选取一个数记为k，从集合B=2，1，2中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为12（4分）（2015新郑市校级一模）不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR成立，则实数a的取值范围为13（4分）（2015秋上海校级期中）如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为14（4分）（2015秋上海校级期中）在平面直角坐标系中，定义（nN*为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换已知P1（0，1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是经过点变换得到的一列点设an=|PnPn+1|，数列an的前n项和为Sn，那么的值为=15（4分）（2015青岛一模）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合X上的一个拓扑已知集合X=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的拓扑的集合的序号是二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16（4分）（2015秋上海校级期中）A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则A，B两点间的球面距离为（）AB2CD17（4分）（2015秋上海校级期中）已知函数，则“f（2）f（3）”是“f（x）在区间（2，+）上单调递增”的什么条件（）A“充要”B“充分不必要”C“必要不充分”D“既不充分也不必要”18（4分）（2010武汉校级模拟）设直线系M：xcos+（y2）sin=1（02），则下列命题中是真命题的个数是（）存在一个圆与所有直线相交；存在一个圆与所有直线不相交；存在一个圆与所有直线相切；M中所有直线均经过一个定点；不存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等A3B4C5D619（2015秋上海校级期中）在约束条件下，若3S5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A6，8B6，15C7，8D7，1520（4分）（2010大观区校级三模）长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）AxBCDx1三、解答题21（12分）（2010上海模拟）关于x的不等式0的解集为（1，b）（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cos+isin，且z1z2为纯虚数，求的值22（16分）（2013福建）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k0）（1）求证：CD平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式（直接写出答案，不必说明理由）23（16分）（2014南昌模拟）如图，ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（，C，内切圆圆心I（1，t）设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由24（16分）（2013盐城二模）设Sn是各项均为非零实数的数列an的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：an是等差数列；命题q：等式对任意n（nN*）恒成立，其中k，b是常数（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n1）和正数M，数列an满足条件，试求Sn的最大值25（18分）（2015秋上海校级期中）已知f（x）=（1）求f（f（x）；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+|=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2011海安县模拟）已知全集U=R，集合，则UM=x|x1【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可【解答】解：因为集合M=x|x10=x|x1，全集U=R，CUM=x|x1故答案为：x|x1【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题2（4分）（2011海安县模拟）设z1=1i，z2=a+2ai（aR），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2 是纯虚数，则a=1【考点】复数的基本概念菁优网版权所有【专题】计算题【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0，解出结果【解答】解：z1=1i，z2=a+2ai，z1+z2=a+1+（2a1）i，复数z1+z2 是纯虚数，a+1=0，2a10，a=1，故答案为：1【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于03（4分）（2015秋上海校级期中）经过圆（x1）2+y2=1的圆心M，且与直线xy=0垂直的直线方程是x+y1=0【考点】圆的切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：圆（x1）2+y2=1的圆心M为（1，0），又直线xy=0的斜率为1，由垂直关系可得要求直线的斜率为1，直线方程为y0=（x1），即x+y1=0故答案为：x+y1=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题4（4分）（2015秋上海校级期中）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则A=45【考点】正弦定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由a小于b，利用三角形中大边对大角得到A小于B，确定出A的范围，进而由sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：a=，b=，B=60，由正弦定理=得：sinA=，又，即ab，AB，则A=45故答案为：45【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5（4分）（2015秋上海校级期中）已知数列an是等差数列，且a1+a7+a13=2，则tan（a2+a12）【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质易得a7=，进而可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2，a7=，tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题6（4分）（2011湖南模拟）若命题“xR，使得x2+（a1）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是（，1）（3，+）【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“xR，使得x2+（a1）x+10”，则相应二次方程有不等的实根【解答】解：“xR，使得x2+（a1）x+10x2+（a1）x+1=0有两个不等实根=（a1）240a1或a3故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面7（4分）（2015秋上海校级期中）对任意非零实数a、b，定义一种运算：ab，其结果y=ab的值由如图确定，则=1【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图【分析】通过程序框图判断出新运算S=ab的解析式，化简 ，再利用新运算法则求出值【解答】解：由程序框图知 S=ab=，=34=1故答案为：1【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则利用运算法则求值，属于基础题8（4分）（2015秋上海校级期中）（理科）极坐标系中两点，则线段AB的长等于【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可【解答】解：极坐标系中，线段AB的长为|AB|=故答案为：【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目9（2013自贡一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2原几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力属简单题10（4分）（2015秋上海校级期中）若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是（，1）（1，+）【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去y得（m21）x=m（m1），当m10时（m21）x=m（m1）至多有一组解，从而求出m的范围【解答】解：关于x，y的二元一次方程组即二元一次方程组m得（m21）x=m（m1）当m10时（m21）x=m（m1）至多有一组解m1故答案为：（，1）（1，+）【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题11（4分）（2012长宁区二模）从集合A=1，1，2中随机选取一个数记为k，从集合B=2，1，2中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】计算题；概率与统计【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件kA=1，1，2，bB=2，1，2，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（1，2）；（1，1）；（1，2）；（1，2）；（1，1）；（1，2）；（2，2）；（2，1）；（2，2）共9种结果而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，直线不过第四象限的概率P=，故答案为 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题12（4分）（2015新郑市校级一模）不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR成立，则实数a的取值范围为a1或a2【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案【解答】解；不等式等价于1cos2x+acosx+a21cosx0，恒成立，整理得cos2x+（a1）cosx+a20，设cosx=t，则1t1，g（t）=t2+（a1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a1或a2，故答案为：a1或a2【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质注重了对数形结合思想的运用和问题的分析13（4分）（2015秋上海校级期中）如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积【解答】解：取AB的中点E连接DE，由题意知DEAB，DECD以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）MN=x2+y2+z2=4OP2=1即OP=1点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分又BAD=60ADC=120点P的轨迹是球的几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可属中档题14（4分）（2015秋上海校级期中）在平面直角坐标系中，定义（nN*为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换已知P1（0，1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是经过点变换得到的一列点设an=|PnPn+1|，数列an的前n项和为Sn，那么的值为=2+【考点】数列的极限菁优网版权所有【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】由题设知a1=|（0，1）（1，1）|=1，a2=|（1，1）（0，2）|=，a3=|（0，2）（2，2）|=2，a4=|（2，2）（0，4）|=2，an=（）n1，Sn=a1+a2+a3+an=由此可求出的值【解答】解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，且当n2时，an2=|PnPn+1|2=（xn+1xn）2（yn+1yn）2=（ynxn）xn2+（yn+xn）yn2=5xn24xnyn+yn2 an12=|Pn1Pn|2=（xnxn1）2（ynyn1）2由定义（nN），得，代入计算化简得an12=|Pn1Pn|2=（）2+（）2=（5xn24xnyn+yn2）=an2=（n2），数列an是以为公比的等比数列，且首项a1=1，an=（）n1，Sn=a1+a2+a3+an=，则=2+故答案为：【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用，属于中档题15（4分）（2015青岛一模）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合X上的一个拓扑已知集合X=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的拓扑的集合的序号是【考点】集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，因此是，从而得到答案【解答】解：=，a，c，a，b，c；而ac=a，c，故不是集合X上的拓扑的集合；=，b，c，b，c，a，b，c，满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合X上的拓扑的集合；=，a，a，b，a，c；而a，ba，c=a，b，c，故不是集合X上的拓扑的集合；=，a，c，b，c，c，a，b，c满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合X上的拓扑的集合；故答案为【点评】此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16（4分）（2015秋上海校级期中）A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则A，B两点间的球面距离为（）AB2CD【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出AOB的大小，再求球面距离弧AB【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：球的半径为R=2，且以线段AB为直径的小圆周长为2，小圆直径为AB=2；在三角形AOB中，AO=AB=BO=2，AOB=，A，B两点间的球面距离为：l=R=故选：D【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目17（4分）（2015秋上海校级期中）已知函数，则“f（2）f（3）”是“f（x）在区间（2，+）上单调递增”的什么条件（）A“充要”B“充分不必要”C“必要不充分”D“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（2，+）上单调递增”的充要条件，从而得到答案【解答】解：f（x）=，如f（x）在区间（2，+）上单调递增，则2a10，解得：a，由f（2）f（3），得：，解得：a，故f（2）f（3）”是“f（x）在区间（2，+）上单调递增”的充要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题18（4分）（2010武汉校级模拟）设直线系M：xcos+（y2）sin=1（02），则下列命题中是真命题的个数是（）存在一个圆与所有直线相交；存在一个圆与所有直线不相交；存在一个圆与所有直线相切；M中所有直线均经过一个定点；不存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n（n3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等A3B4C5D6【考点】直线的斜截式方程菁优网版权所有【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以对；显然对；错；错，存在可取一点（0，2）即可验证；可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以都正确可以举反例【解答】解：根据直线系M：xcos+（y2）sin=1（02）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，1得到正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知错误；故正确，错，所以真命题的个数为4个故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域19（2015秋上海校级期中）在约束条件下，若3S5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A6，8B6，15C7，8D7，15【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最大，最大值为7当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD，当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为8，故当3S5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是7，8故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键20（4分）（2010大观区校级三模）长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）AxBCDx1【考点】棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0），【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题三、解答题21（12分）（2010上海模拟）关于x的不等式0的解集为（1，b）（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cos+isin，且z1z2为纯虚数，求的值【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）将原不等式转化为（x+a）x20，即x2+ax20，根据解集为（1，b）得到1，b是方程x2+ax2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于的条件式并解得：tan=，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tan的代数式即可求解【解答】解：（1）原不等式等价于（x+a）x20， 即x2+ax20由题意得，解得a=1，b=2（2）z1=1+2i，z1z2=（cos2sin）+i（2cossin）若z1z2为纯虚数，则，解得=【点评】本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题22（16分）（2013福建）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k0）（1）求证：CD平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式（直接写出答案，不必说明理由）【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】压轴题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BECD，即CDAD，又侧棱AA1底面ABCD，可得AA1DC，利用线面垂直的判定定理即可证明（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，ABED，AB=ED=3k，四边形ABED是平行四边形，BEAD，且BE=AD=4k，BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，BEC=90，BECD，又BEAD，CDAD侧棱AA1底面ABCD，AA1CD，AA1AD=A，CD平面ADD1A1（2）解：以D为坐标原点，、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=6k，x=3设AA1与平面AB1C所成角为，则=，解得k=1，故所求k=1（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力23（16分）（2014南昌模拟）如图，ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（，C，内切圆圆心I（1，t）设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得MQC=NQC，下面分类讨论：当MNx，当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q【解答】解：（1）由题意|AD|=|AF|BD|=|BE|，|CE|=|CF|AB|AC|=|BD|CF|=|BE|CE|=|BO|+|OE|（|OC|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|AC|=2x2y2=1（x1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）MQC=NQC（6分）于是：当MNx，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：MQC=NQC成立，（8分）当MN不垂直x时，设直线由得：则：，要使MQC=NQC成立，只要tanMQC=tanNQC：x2y1x0y1+x1y2x0y2=0即=当时，能够使：对任意的直线m成立（15分）【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题24（16分）（2013盐城二模）设Sn是各项均为非零实数的数列an的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：an是等差数列；命题q：等式对任意n（nN*）恒成立，其中k，b是常数（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n1）和正数M，数列an满足条件，试求Sn的最大值【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和菁优网版权所有【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（1）设an的公差为d，利用裂项法原等式可化为