2011课例研究--抛物线及其标准方程

课例研究：抛物线及其标准方程郭志红2011.12抛物线及其标准方程 一、教材分析：一本节课在圆锥曲线中的地位：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，课本上本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用代数方法研究抛物线的几何性质打下基础，本节起到一个承上启下的作用。二教学目标1、知识目标：掌握抛物线的定义及与椭圆、双曲线第二定义的联系；掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。2、能力目标：培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。 3、德育目标：培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。教学重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线； （2）利用坐标法选择适当坐标系求出抛物线的四种标准方程； （3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。教学难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分； （2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。（3）正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化。二、教学方法和手段：一教学方法：针对所带学生具体情况及课堂教学的教师主导，学生主体思想，贯彻启发性教学原则，我以多媒体课件为依托，采用实验探索、类比法、图表法等手段。1、实验探索：通过实验、演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线，再用坐标法探求方程。2、类比法：由椭圆、双曲线的定义、标准方程、性质的求法，类比出抛物线的定义、标准方程、性质。类比法使学生对教材容易接受，可减轻学生负担。3、图表法：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。二教学手段：利用多媒体课件辅助教学。三采用这些方法的理论根据：课件的介入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点。本课程课件主体用powerpoint制作，其中链接几何画板课件，在美观、动静结合中完成教学任务，可以达到较高的教学效果、学习效果；通过实验探索、类比法、图表法能较好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性，总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 课堂小结由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。讨论四种位置上的抛物线标准方程表格对比异同通过实验观察得到图象和定义坐标法求抛物线的标准方程导入阶段例题变式训练作业设计教学程序流程图三、教学过程设计：教学过程设 计 意 图新课导入提问：1、与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数的动点的轨迹，当01时是 ；当1时它又是什么曲线呢？2、生活中又有哪些抛物线实例呢？【课件演示图片】以问题为出发点，创设情境，探索性问题可以提高学生的求知欲，要鼓励学生积极参与，积极思考，发挥学生的学习主体作用，激发学习兴趣。新课教学1、【折纸演示】【实验演示】【几何画板演示】通过演示，观察 两条线段长度的变化； 观察追踪动点M得到的轨迹形状；探索出当1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线定义。2、求抛物线的标准方程：复习求曲线方程的步骤（建系、设点、列方程）对于已经画出的抛物线，建立适当的直角坐标系，设抛物线上任意一点M的坐标为（x，y），定点F到定直线的距离为p，由已知动点M（x，y）到定点F的距离|MF|与动点M（x，y）到直线的距离d之比为1，转化出关于x、y的等式，化简即得到抛物线的标准方程。若焦点F和准线的距离为（）怎样建立坐标系？由学生思考：可能出现的结果： F （1）（以准线为y轴） F（2） （以焦点为原点）F（3） （以顶点为原点）由学生自己总结归纳：由于（1）和（2）中的方程都含有常数项，而（3）具有较简洁的形式，因而把叫做抛物线的标准方程。其中是焦点到准线的距离。强调： p的几何意义； 已知抛物线的标准方程（p0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；反之亦会。3、讨论四种位置上的抛物线标准方程。学生分组分别求解抛物的四种位置上的标准方程；师生协作，填充抛物线分类讨论表格；观察、归纳，寻找异同。相同点不同点1、顶点为原点；2、对称轴为坐标轴；3、顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为。1、一次项变量x（y），则对称轴为x（y）轴；2、焦点在x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下），通过课件演示，在美观、动静结合中展现抛物线图象使学生对抛物线有较深刻的认识，化解教学难点。通过分组讨论建系方案并推导方程。教师巡视，抽出具有代表性的方案，课件展示并加以整理归纳，引导学生比较选择最佳建系方案，可以有效解决教学重点。给出四种位置下的抛物线图象及所建的坐标系，师生协作填充表格，并观察、归纳，寻找异同。让学生能全面掌握本节的重点内容。例题例1：已知抛物线的标准方程是 （1） （2） 分别求出它们的焦点坐标和准线方程。分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是确定方程属于四种中的哪一类和参数的值。例2已知抛物线的焦点坐标是（0，-2），求它的标准方程。例3点M是抛物线上的一点，且点M的横坐标为5，则M到焦点的距离是多少？分析：利用定义，M 到焦点的距离等于到准线的距离。在讲例题注意清思路和方法，及时对解题方法进行归纳，有利于发展学生的思维能力。变式训练1、据下列条件写出抛物线的标准方程：焦点F（4，0）； 焦点F（0，4）；准线方程为； 准线方程为；焦点到准线的距离为；焦点在直线上2、求下列抛物线的焦点和准线方程：， 适当对题目进行引申，使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果，更好地巩固本课的主要内容。课堂小结图形标准方程y22px（p0）y2-2px（p0）x22py（p0）x22py（p0）焦点坐标（，0）（，0）（0，）（0，）准线方程xxyy对知识性内容列表小结，方便学生比较记忆，可把知识尽快化为学生的素质；对数学思想方法的小结，可使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和作用。作业设计1、根据下列条件写出抛物线的标准方程：焦点F（3，0）；准线方程； 焦点到准线的距离是2；焦点在直线y2x+1上。2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：； ； ； ； 。 3、已知以A点坐标（2，1）、F为抛物线的焦点，在抛物线上的找一点P使得最小。针对学生素质的差异进行分层训练（加号可不做），使大多学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和减负的目的。五、反思：学生在初中学习二次函数时知道二次函数的图象是一个抛物线，在物理的学习中也接触过抛物线（物体的运动轨迹），因而学生学起来会轻松。但是要注意的是，现在所学的抛物线是方程的曲线而不是函数的图象。本节内容是在学习了椭圆和双曲线的基础上，利用圆锥曲线的第二定义统一进行展开的，因而对于抛物线的系统学习具有双重的目标性。抛物线作为点的轨迹，其标准方程的推导过程充满了辨证法，处处是数与形之间的对照和相互转化。必须建立适当的坐标系，依据焦点和准线的相互位置关系推导抛物线标准方程，是培养辨证唯物主义观点的好素材。利用圆锥曲线第二定义通过类比方法，引导学生观察和对比，启发学生猜想与概括，利用建立坐标系求出抛物线的四种标准方程，让每一个学生都能动手，动口，动脑参与教学过程，真正贯彻“教师为主导，学生为主体”的教学思想。对于标准方程中的参数及其几何意义，焦点坐标和准线方程与的关系是本节课的重点内容，必须让学生掌握如何根据标准方程求、焦点坐标、准线方程或根据后三者求抛物线的标准方程。特别对于一些有关距离的问题，要能灵活运用抛物线的定义给予解决。本课教学过程的设计，遵循“从具体到抽象”、“从感性到理性”的认知规律,发挥学科与信息技术整合优势，重视创设问题