变系数线性微分方程的求解

本科毕业论文 题 目：变系数线性微分方程的求解问 题 院 （部）： 理学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 信计 081 姓 名： 张倩 学 号： 指导教师： 庞常词 完成日期： 2012 年 6 月 1 日 山东建筑大学毕业论文 I 目 录 摘 要 ABSTRACT. 1 前 言 1.1 微分方程的发展和应用.1 1.2 二阶变系数线性常微分方程的重要性.2 1.3 本文的研究内容及意义.2 2 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1 基本概念.3 2.2 二阶变系数线性微分方程的求解定理.3 2.3 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系.5 3 微分方程的恰当方程解法 3.1 恰当方程的概念.8 3.2 恰当微分方程解法.10 4 微分方程的积分因子解法 4.1 积分因子的概念.14 4.2 积分因子解法.14 5 二阶变系数微分方程可积的条件 结 论.22 谢 辞.23 参考文献.24 山东建筑大学毕业论文 II 摘 要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。 在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总 是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二 阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程 在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性 微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子 山东建筑大学毕业论文 III Solve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equations solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation 山东建筑大学毕业论文 1 1 前 言 1.1 微分方程的发展和应用 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。 但是在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律量与量之间的 关系往往不能直接写出来，却比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式。这种 联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称为微分方程。微分方程是研究 自变量、未知函数及它的导数之间的关系的数学科学。它是伴随着微积分的产生和发展 而形成的一门历史悠久的学科，至今已有 300 多年的历史了。 微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律， 能动的解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。常微分方程是研究自然科学和社 会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法。牛顿在研 究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨 迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。此后，法国天文学家勒维烈利用微分 方程计算出海王星的位置，这些都是表面微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着 广泛的应用。 在常微分方程发展的初期，人们主要是针对各种实际问题列出方程，用积分得方法 求其准确的解析表达式，也就是初等积分法。这种方法一直沿用到十九世纪中期，直到 法国数学家刘维尔与 1841 年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分 法求解，由此促使人们放弃这种方法。从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研 究阶段。 随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用， 例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社 会科学的领域也存在着微分方程问题。 此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互 相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发 展产生了深刻的影响。反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他 数学分支 的发展。 山东建筑大学毕业论文 2 1.2 二级变系数线性常微分方程的重要性 常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重 视，很多专家 发表相关著作和论文，从而使微分方程的理论发展的了比较完善的程度。 众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分 方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法，但是幂级数解法计算了大， 而且不能得到解析解，不便于理论上的分析。因此，变系数二阶线性微分方程的求解在 微分方程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。 1.3 本文的研究内容及意义 变系数二阶线性微分方程的求解基本理论已发展到了一定程度，很多学者也提出了 很多不同的特殊方法解决一些具体某种特点的变系数方程，特别是在利用积分因子及恰 当方程的方法领域取得了显著成就。但是大家对于如何判断方程是否可积及如何确定积 分因子和恰当方程仍然存在疑惑，感觉无从下手。 论文正是在这种情况下通过对有关变系数二阶微分方程的教材和文献的研究，总结 了前人的成果，从本质上阐述了确定积分因子和恰当方程的思想和方法，同时给出了判 断方程是否可积的条件。通过积分一种法和恰当方程法，进一步从整体上阐述了变系数 二阶线性微分方程的基本思想和步骤。 山东建筑大学毕业论文 3 2 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1 基本概念 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种方程为常微分方程。 若、为连续非常数的函数，方程( )p x( )q x ( ) ( )( )yp x yq x yf x 则称为二阶变系数线性微分方程。其中、及都是某区间上的连续( )p x( )q x( )f x 函数。如果恒等于零，那么该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果( )f x 非恒等于零，那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。( )f x 我们把含有 2 个独立的任意常数的解 称为二阶方程 12 ,c c 12 ( ,)yx c c 的通解。为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个 2 2 ( , ,) dx d x d x F x y dy d y d y 解所必须的条件这就是所谓的定解条件，常见的定解的条件是初值条件和边值条件。所 谓二阶微分方程的初值条件通常是指以下两个条件： 当时，这里是给定的 3 个常数。 0 xx 00 , dy yyy dx 001 ,xyy 2.2 二阶变系数线性微分方程的求解定理 已知 变系数二阶常微分方程，在相对应 Riccati 方程( ) ( )( )ya x yb x yf x 可知一个特解的情况下，给出了方程 2 ( )( )zza x zb x (2.1)( ) ( )( )ya x yb x yf x 求解的积分公式。 引理引理 1 设及是连续函数，且是 Riccati 方程( ), ( )a x b x( )f x ( )z x 2 ( )( )zza x z b x 的一个特解，则方程(2.1)的通解积分公式为 。 ( )(2 ( )( )( ( )( ) 12 ( ) f x dxb xa xdxa xz xdx yeef x edxc dxc 引理引理 2 设及是连续函数，且（常数）( ), ( )a xb x( )f x 2 11 ( )( )( ) 24 b xa xaxc 山东建筑大学毕业论文 4 ，则方程(2.1)的通解可求出。 定理定理 2.1 若（常数） ，则方程(2.1)相对应的 Riccati 方 2 11 ( )( )( ) 24 b xa xaxc 程的特解是： （i）当 时， ；0c 11 ( ) 2 za x x （ii）当时， ；0c 1 ( )tan 2 za xccx （iii）当时， 。0c 2 2 1(1) ( ) 21 cx cx ec za x e 推论推论 2.1.1 设及是连续函数，且( ), ( )a x b x( )f x （常数） ，则方程（2.1）对应其次方程 ( 2 11 ( )( )( ) 24 b xa xaxc 的通解是：( ) ( )0ya x yb x y （i）当时， ；0c 1 ( ) 2 21 () a x dx yec xc （ii）当时， ；0c 1 ( ) 1 2 2 (sincos) a x dx c yecxccx c （iii）二阶变系数线性微分方程(2.1)能化为常系数线性微分方程的 ( ( )0)p x 充要条件是：（为常数） 。 22 4 ( )2 ( )4pq xp xkl, k l 定理定理 2.2 设方程(2.1)满足条件(常数)。其中 3 2 ( )2 ( ) ( ) ( ) q xp x q x c q x c 则方程(2.1)可化为 1( )0 1 ( )0 q x q x 。 2 ( ) 2 ( ) 2( ) x x t d yc dyf x y dtdtq x 推论推论 2.3.1 若存在常数 使得 ，则方程(2.1)的通解为：r 2 ( )( )0rrp xq x 山东建筑大学毕业论文 5 。 2( )( ) 21 ( ) rxp x dxrxp x dx rx yeef x edxc dxc 推论推论 2.3.2 ，则方程(2.1)的通解为： 2 ( )( )1q xxp xx 。 2( )( ) 21 ( ) xdxxp xdxp xx dx yeef x edxc dxc 推论推论 2.3.3 若 ，则方程(2.1)的通解为：( )( )p xrq x 。 ( )( ) 21 2 1 ( ) p x dxp x dx yxexf x edxc dxc x 推论推论 2.3.4 若是关于的连续函数，且 ，则( ), ( )p x q xx( )( )(1) 1 x p xq x ce 方程的解为。 ( ) ( )0yp x yq x y ( ) ( ) q x dx p x ye 当时， 。0c 1 ( ) 1 2 2 () a x dx cxcx c yeec e c 2.3 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 约定约定 1）对所讨论问题的特解均约定其常系数部分为 1（否则视为同一解） ； 2）均假定系数满足进行运算所需要的分析性质，必要时假定满足一些其他性质， 但行文时不会另指出； 3）在一个问题上已达成共识：对一般的方程而言，其两线性无关特解一般不能由 其系数唯一决定； 4）以下不再验证特解之线性无关性，且文中的等式皆是对论域中的任意自变量成 立。 讨论方程 ( 2.2)( ) ( )0 xa t xb t x 假定、是其二特解。 1 x 2 x 命题命题 2.1 设，若，( )0b t ( )2 ( ) ( )b ta t b t 则方程(2.2)两特解为、 。 ( )b t dtdt e ( )b t dtdt e 反之，若方程有、两解满足，则(2.2)式成立。 1 x 2 x 12 1x x 山东建筑大学毕业论文 6 命题命题 2.2 若 ， 2 11 ( )( )( ) 24 a ta tb t 则方程(2.2)两特解为、 ， 1 ( ) 2 a t dt e 1 ( ) 2 a t dt te 反之，若，是原方程的解，且 ，则(2.2)式成立。 1 x 2 x 12 xtx 命题命题 2.3 若 ， 2222 11 (1)( )( )(1)( ) 24 kta tatktb t 则方程(2.2)两特解为 、 ， 1 1 (1)( ) 2 kta tdt e 1 1 (1)( ) 2 kta tdt k t e 反之，若，是原方程的解，且，则(2.2)式成立。 1 x 2 x 12 k xx t 命题命题 2.4 若 ， 2 111 ( )( )( ) 244 a tatb t 则方程(2.2)两特解为、， 1 ( ) 1 2 a tdt e 1 ( ) 1 2 a tdt t e 反之，若，则(2.2)式成立。 12 t xe x 命题命题 2.6 若 ， 222 2 2 11(2)2 ( )( )( ) 424(1) kktk ata tb t kt 则方程(2.2)两特解为、， 1(2) ( ) 21 k kt a tdt k e 1(2) ( ) 21 k kt a tdt kt kt t e 反之，若，则(2.2)式成立。 12 kt xt ex 命题命题 2.7 方程(2.2)有特解。( )( )0a tb t 命题命题 2.8 方程(2.2)有特解(为常数。) 2 (1)( )( )0k ktkta tb tt k tk 命题命题 2.9 方程(2.2)有特解。1( )( )0a tb t t e 命题命题 2.10 方(2.2)程有特解。(2)(1) ( )( )0kktkt a tb tt kt t e 例例 2.1 求方程 的一个特解，并求此方程 (1) 2(21)0 xyyxy 的通解。 山东建筑大学毕业论文 7 解解 方程可改写为 ， 12(21) 0 11 x yyy xx 其中 。 12(21) ( ), ( ) 11 x p xq x xx 设 。 2 12(21) 0 11 x rry xx 满足上式，所以方程有一个特解。该方程通解为2r 2x ye 1 1 22 12 4 1 edx x xx x yC eC edx e 224 12 (1) xxx C eC eexdx 。 22 2 1 (45) 16 xx C C exe 山东建筑大学毕业论文 8 3 微分方程的恰当方程解法 3.1 恰当方程的概念 考虑方程(3.1)、(3.2) (3.1) ( ) ( ) ( )( ),( )0.P x yQ x yR x yf x P x (3.2) ( ) ( ) ( ) ( )( ),( )0P x yQ x yR x yl x yf x P x 定义定义 3.1 若存在 2 个可微函数，使得( ),( )xx ， ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) d x yx yP x yQ x yR x yf x d x 成立，则称方程(3.1)为恰当方程。 定义定义 3.2 若存在两个具有二阶连续导数的函数使得下式成立( ),( )xx ， 2 2 ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( )( ) d x yx yP x yQ x yR x yl x yf x dx 则称方程(3.1)为恰当方程。 推论推论 3.1 若方程(3.1)和(3.2)为恰当方程，则它们一定可积。 仅就方程(3.1)证明。 证证 因为方程(3.1)为恰当方程，则存在使得：( ),( )xx ， ( ( ) ( ) )( ) ( ) d x yx yf x d x 又连续，所以 。这是一阶线性非齐次方程，它( )f x 0 ( ) ( )( )x yx yf x dxC 是可积，故方程(3.1)可积。 结论结论 3.1 若方程(3.1)的系数具有二阶连续导数，则方程(3.1)为恰当方程的充要条 件为： 。( )( )( )0PxQ xR x 证证 充分性。 取，则有( )( ), ( )( )( )xP xxQ xP x ， ( ( ) ( ) )( ( ) ( )( )( ) ( ) ( ( )( ) ( ) d x yx yx yx yx yP x yQ x yQ xP x y d x 山东建筑大学毕业论文 9 由已知 可得：( )( )( )0PxQ xR x ， ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) d x yx yP x yQ x yR xf x d x 故方程(3.1)为恰当方程。 必要性。 若方程(3.1)是恰当方程，由定义 3.1 知，存在可微函数使得：( ),( )xx 。 ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) d x yx yP x yQ x yR x y d x 即对所有 x 成立，因为具有( )( ),( )( ),( )( )( )xP xxR xxxQ x( ),( ), ( )P x Q x R x 二阶连续导数，故具有二阶连续导数，从而有：( ),( )xx ，即 。( )( )( )xxQ x( )( )( )0PxR xQ x 结论成立。 结论结论 3.2 若方程(3.1)的系数具有三阶连续导数，则方程(3.1)为恰当方程的充要条件 为： 同时成立。2( )3 ( )( ),2( )( )( )Q xPxR xPxl xQx 证证 充分性。取定义 3.2 中的，则有：( )( ),( )( )2 ( )xP xxQ xP x 2 2 ( ( ) ( ) )( ) 2 ( )( )( )2( )( ) ( ) ( ) (2( )3 ( ) ( )2 ( ) d x yx yx yxxyxxyx y dx P x yQ x yQ xPxyQxPxy 由已知条件 得2( )3 ( )( ),2( )( )( )Q xPxR xPxl xQx ， 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) d x yx yP x yQ x yR x yl x yf x dx 所以方程(3.1)为恰当方程。 必要性 若方程(3.1)为恰当方程，则存在具有二阶导数的函数使得下式( ),( )xx 恒成立。 。 2 2 ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) d x yx yP x yQ x yR x yl x y dx 将上式左端展开并整理得： 山东建筑大学毕业论文 10 。 2 2 ( ) ( )( ) 2( )( )( )2( )( ) d x yx yx yxxyxxyx y dx 从而有( )( ),2( )( )( ),( )2( )( ),( )( )xP xxxQ xxxR xxl x 恒成立，即有 同时成立。2( )3 ( )( ),( )2 ( )( )Q xPxQ x QxPxl x 推论推论 3.2 若结论 3.1 成立，定义 3.1 中的取，取。( )x( )P x( )x( )( )Q xP x 推论推论 3.3 若结论 3.2 成立，定义 3.2 中的取，取。( )x( )P x( )x( )2( )Q xP x 用上述结论很容易求出恰当方程的通解 例例 3.1 已知方程 2222 4arctan4 2 2 (4)arctan(4) arctan 22 x yyy xx xx 取，则有。 2 2 ( )1,( ) (4)arctan 2 xx x x 2 2 ( )0 (4)arctan 2 d yy x dx x 2 100 1 arctanln(1) 24 arctan 2 xx yCC xC x 其中为任意常数。 01 ,C C 下面讨论如何将非恰当方程化为恰当方程。 定义定义 3.3 若存在一个使得：( )M x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )M x P x yM x Q x yM x R x yM x f x 为恰当方程，则称为方程(3.1)的恰当因子。( )M x 同样可定义方程(3.2)的恰当因子，恰当因子的选取，对于一般方程来讲比较困难， 但对某些特殊情况比较容易找到。 3.2 恰当微分方程解法 例例 3.2 考虑方程 (3.3)( ) ( )( )yp x yq x yf x 山东建筑大学毕业论文 11 (1)当满足时，为方程(3.3)的恰当因子。( ), ( )p x q x( )( )( ) 1q xp xp x x e 例例 3.3 求的通解。 2 11 xx yyyx xx 解解 此方程不是恰当方程，但满足，方程两边同乘以得：( )( )( ) 1q xp xp x x e ， 。 2 11 xxxx xx e yeyeye x xx () x xx de e yye x dxx 两边对积分得： 。 x 1 x xxx e e yyxeeC x 解此方程得 ， 32 21 111 ( )(1) 32 x y xCxxC ex x 其中为任意常数，此解即为所求。 12 ,C C (2)当满足时，取其恰当因子为 x。( ), ( )p x q x 1 ( )( )( )q xp xp x x 例例 3.4 求的通解。 233 112 yyy xxx 解解 因为满足 。 23 11 ( ), ( )p xq x xx 1 ( )( )( )q xp xp x x 其中是的展开式中的系数，是的展开式的系数，显然 2 1 (1)t 3n t 3 1 (1)t 3n t ，或 1，或 1，从而有，故00034 7 ， 22 3 (4)(3) ( ) 1212 nn p n 即 ， 22 3 11 ( ) 123124 nn p n 由此得 ， 2 3 11 ( ) 1232 n p n 山东建筑大学毕业论文 12 由定义 3.2 ， 2 3( ) 12 n p n 用归纳法易证 。 2 1 2 244 n j jnn 利用上述引理可得以下重要结论。 定理定理 3.1 2 2 ( ) 1244 nnn T n 证 若 n 的 3 个部分分拆满足条件，则确定一个周长为 n 的整数( , , )a b cbca 边三角形；反之，任一符合条件的三角形都确定一个的上述分拆，为此只须求的nn 符合上述条件的 3 部分分拆。 现在考察的 3 部分分拆中，不满足条件的分拆的个数。 n bca 对任意正整数，及的 2 部分分拆，令,则 ， 2 n j j( , )b cnjabcjn 也即 ，且 。即对每一个及 j 的每bcnjq()abcnjbcn 2 n j 一个 2 部分分拆 ，对应一个的不能生成三角形的分拆 。( , )b c n( , , )a b c 反之，对的任意一个不能生成三角形的分拆 ，即 ，n( , , )a b cabcn ，令 。bcajbc 则是的一个 2 部分分拆。因为为整数，则 ，于是得到一个正整数( , )b cjj 2 n j 及的一个 2 部分分拆。 2 n j j( , )b c 例例 3.5 用“分项组合”法求的通解。 2223 (36)(64)0 xxydxx yy dy 解解 把方程重新“分项组合” ，得到 ， 2322 34660 x dxy dyxy dxx ydy 山东建筑大学毕业论文 13 即 ， 342222 330dxdyy dxx dy 或者写成 。 3422 (3)0d xyx y 于是，方程的通解为 ，其中为任意常数。 3422 3xyx ycc 例例 3.6 求解方程 。2 11 (cos)()0 x xdxdy yyy 解解 因为 ， ，故方程是恰当微分方程。把方程重新“分项 2 1M yy 2 1N xy 组合” ，得到 ， 2 11 cos()0 x xdxdydxdy yyy 即 ，2 sinln0 ydxxdy dxdy y 或者写成 。 (sinln)0 x dxy y 于是，方程的通解为 ， sinln x xyc y 这里是任意常数。 c 山东建筑大学毕业论文 14 4 微分方程的积分因子解法 4.1 积分因子的概念 如果存在连续可微的函数，使得( , )0 x y (4.1) ( , )( , )( , )( , )0 x y M x y dxx y N x y 为一恰当方程，即存在函数，使，则称为方程(4.1)MdxNdydv( , )x y 的积分因子，这时是该方程的通解。( , )x yc 同一方程可以有不同的积分因子，可以证明只要方程有解存在，则必有积分因子 存在，并且不是唯一的。因此，在具体过程中由于求出的积分因子不同，从而解有不同 的形式。 函数为方程的积分因子的充要条件( , )x y( , )( , )( , )M x y dxN x y dydu x y 是 即 ()()MN yx (4.2) () MN NM xyyx 例如 对于方程，如果只存在与有关的积分因( , )( , )( , )M x y dxN x y dydu x yx 子，则，这时方程（4.2）变成 ，即( )x 0 y () dMN N dxyx 。 MN dyx dx N 由此可知方程有只与 有关的积分因子的充要条件是 ，同理方程只有x( ) MN yx x N 与有关的积分因子的充要条件是 。 y ( ) MN yx y M 4.2 积分因子解法 例例 4.1 试用积分因子法解线性微分方程 。 ( )( ) dy P x yQ x dx 山东建筑大学毕业论文 15 解解 将方程改写成 (4.3) ( )( )0P x yQ x dxdy 这时，算得( )( ),1MP x yQ x N ， ( ) MN yx P x N 因而，线性方程有只与有关的积分因子。以乘以(4.3)得到x ( )P x dx e ( )P x dx e 山东建筑大学毕业论文 16 ( )( )( ) ( )( )0 P x dxP x dxP x dx P x eydxedyQ x edx ， 即 ， ( )( )( ) ( )0 P x dxP x dxP x dx ydeydxedyQ x edx 或者写成 。 ( )( ) ()( )0 P x dxP x dx d yeQ x edx 因此方程(4.3)的通解为 ， ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxc 或者改写为 。 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxc 积分因子一般是不容易求得的，我们可以先从求特殊形状的积分因子开始或者通过 观察法进行分项组合而求得积分因子。 例例 4.2 求解方程 。 2 1() dyxx dxyy (0)y 解解 方程可以写为 ， 22 xdxydyxy dx 或者 ， 2222 1 () 2 d xyxy dx 容易看出，此方程有积分因子 ，以乘之得 22 1 xy ， 22 22 () 2 d xy dx xy 故通解为 ， 22 xyxc 或者 。 2 (2 )yc cx 例例 4.3 求解方程 。 2 1() dyxx dxyy (0)y 解解 方程可以写成为 山东建筑大学毕业论文 17 22 xdxydyxy dx ， 或 ， 2222 1 () 2 d xyxy dx 容易看出，此方程有积分因子 ，以乘之得 ， 22 1 xy 22 22 () 2 d xy dx xy 故通解为 ， 22 xyxc 或者 。 2 (2 )yc cx 例例 4.4 求解方程 。 ()0ydxyx dy 解解 这里 ，方程不是恰当的。 ,1,1 MN My Nyx yx 因为 只与有关，故方程有只与有关的积分因子 2 MN yx My yy ， 2 () 2ln 2 1 dy y y ee y 以乘方程两边，得到 ，2 1 y 2 11 0 xdy dxdy yyy 因而，通解为 。 ln x yc y 山东建筑大学毕业论文 18 5 二阶变系数微分方程可积的条件 定义 5.1 一元二次方程 (5.1) 2 0pq 为方程 (5.2) 2 ( )( ) ( )( ( ) ( )( )( )ypu xv x yquxr u x v xu xyf x 的特征方程，它的两个根称为特征根。 12 , 定理 5.1 二阶变系数非齐线性方程(5.2)可积的一个充分条件是为特征方程 r (5.1)的根，不妨设，且方程(5.2)的通解为 1 r ， 1212 ( )()( )( )( )( ) 12 ( ) u x dxu x dxv x dxu xv x dx yeeef x edxc dxc 这里是特征根，为任意常数。 12 , 12 ,c c 推论 5.1 二阶变系数非齐线性方程 2 ( ) ( )( )( )ypu x yquxru x yf x 可积的一个充分条件是 为特征方程(5.1)的根，不妨设，且上式的通解为r 1 r 这里是特征根， 1212 ( )()( )( ) 12 ( ) u x dxu x dxu x dx yeef x edxc dxc 12 , 为任意常数。 12 ,c c 推论 5.2 二阶变系数齐线性方程 2 ( )( ) ( )( ( ) ( )( )0ypu xv x yquxr u x v xu xy 可积的一个充分条件是 为特征方程(5.1)的根，不妨设，且上式的通解为r 1 r ，这里是特征根，为任意 121 ( )()( )( ) 12 u x dxu x dxv x dx yeceedxc 12 , 12 ,c c 常数。 推论 5.3 变系数齐线性方程可积的一个 2 ( ) ( )( )0ypu x yquxru x y 充分条件是 为特征方程(5.1)的根，不妨设，且上式的通解为r 1 r ，这里是特征根，为任意常数。 121 ( )()( ) 12 u x dxu x dx yecedxc 1,2 12 ,c c 定理 5.4 二阶变系数非齐线性方程 山东建筑大学毕业论文 19 可积的一个 2 ( )( ) ( )( ( ) ( )( )( ) ( ) ypu xv x yquxr u x v xu xyf xyru x y 充分条件 是为特征方程(5.1)的根，不妨设，且上式的通解为：r 1 r 1212 1 ( )()( )( )(1) ( )( ) 1 12 (1)( ) u x dxu x dxv x dxnu xv x dx n yeeenf x edxcdxc ，这里是特征根，为常数，为任意常数。 1,2 0n 12 ,c c 推论 5.5 二阶变系数非齐线性方程 2 ( ) ( )( )( ) ( ) ypu x yquxru x yf xyru x y 可积的一个充分条件是为特征方程(5.1)的根，不妨设，且上式的通解为r 1 r 这里 1212 1 ( )()( )(1)( ) 1 12 (1)( ) u x dxu x dxnu x dx n yeenf x edxcdxc 是特征根，为常数，为任意常数。 1,2 0n 12 ,c c 定理 5.2 若二阶变系数线性微分方程 (5.3) ， 12 ypx ypx yq x 存在可微函数满足关系式 ( )x (5.4) ， 22 112 2 ( )( )4( )2 ( )pxpxp xxx 则方程(5.3)有通积分 11( ) 11 ( )( )( ) ( ) 22 12 ( ) x xpxdxpxdx x dx yeeq x edxc dxc 在(5.4)中若 ， 1 ( )( )xp x 则方程(5.3)的通积分为： 。 1 1( ) 1 ( )( ) ( ) 2 12 ( ) x pxxdx pdxx dx yeeq x edxc d