勾股定理复习.ppt

,SA+SB=SC,a2+b2=c2,a,b,c,SA,SB,SC,勾股定理复习,1.直角三角形边、角有什么关系?,2.如何判断一个三角形是直角三角形?,回顾与思考,直角三角形,a2b2c2,（形）,（数）,b,c,a,A+B=C=90。,（形）,（数）,A+B=C=90。,满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数,1,1,1,2,常见的直角三角形,3.如何求直角三角形的面积?,b,c,a,C,B,A,D,SABC=ACBC=ABCD,等面积公式,比一比看看谁算得快！,1、求下列直角三角形中未知边的长:,可用勾股定理建立方程.,方法小结:,8,x,17,16,20,x,12,5,x,勾股定理应用一：已知两边求第三边,2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.,81,144,x,y,z,若ab=34，c=10，则a=_，b=_,若a=15，c=25，则b=_；,3.在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；,若c=61，b=60，则a=_；,6,8,勾股定理应用二：面积、周长、高,1.已知直角三角形ABC中,(1)若AC=8,AB=10,则周长=_.(2)同上题，=_2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它的周长为_,A,B,C,24,24,15,24,4.已知直角三角形ABC中,(1)若AC=8,AB=10,则=_.(2)若=30,且BC=5,则AB=_(3)若=24,且BC=6,则AB边上的高为_,24,13,4.8,勾股定理在特殊三角形中的应用,1.如图:一工厂的房顶为等腰,AB=AC,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.,2、已知：等边ABC的边长是6cm(1)求高AD的长.(2)求SABC.,解：,（1）ABC是等边三角形，AD是高，,在RtABC中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，AD2=AB2-BD2,（三线和一）,3、等腰ABC中，ABAC13cm，BC=10cm,求ABC的面积和AC边上的高。,A,B,C,D,13,13,10,H,1已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25,勾股定理应用三：分类思想,2.若有两条线段分别为5，12，第三条线段为_时，才能组成一个直角三角形,3.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC,D,10,17,8,17,10,8,规律,分类思想,1.直角三角形中，已知两边长,求第三边时,应分类讨论。,2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。,1下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（）A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=5,2.下列不是一组勾股数的是（）A、5、12、13B、C、12、16、20D、7、24、253.下面有几组数可以作为直角三角形的边长？()(1)9,12,15(2)12,35,36(3)15,3639(4)12,18,32(5)5,12,13(6)7,24,25A.2B.3C.4D.5,B,C,4、有四个三角形，分别满足下列条件：一个内角等于另两个内角之和；三个角之比为:;三边长分别为、三边之比为5:12:13其中直角三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、4个,C,5下列命题中，假命题是()(A)三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1:2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1:2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为:2的三角形是直角三角形,B,7、如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，你能说明AFE是直角吗？,变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且你能说明AFE是直角吗？,1若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。,2如果ABC的三边分别为a、b、c且满足a2b2c2506a8b10c，请判定ABC的形状.,、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于的整数，a=2m，b=m2-1,c=m2+1,那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？,3已知：am2n2，b2mn，cm2n2(m、n为正整数，mn).试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形,5.ABC的三边分别为a、b、c,若a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状，并说明理由。,等腰或直角三角形,1.在RtABC中，C900，CDAB，若BC=15，AC=20，则AB_，CD，AD，BD。,A,B,C,D,15,20,25,12,16,9,勾股定理与逆定理的综合运用,2、如图6，在ABC中，ADBC，AB=15，AD=12，AC=13，求ABC的周长和面积。,C,B,A,15,13,12,9,5,3、已知，如图ABC中CDAB于D，AC=4、BC=3、DB=9/5,（1）求DC的长（2）求AD的长（3）求证ABC是直角三角形,D,C,B,A,4.如图：ADCD，ACBC,AB=13，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)求BC长5.如图,ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)ACB的度数。,6.如图,ACBC，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4。求：(1)求AC长(2)求的面积。,7、小区里有一块四边形的绿化带，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,你能求出绿化带的面积吗?,变式训练,勾股定理的实际应用,1.如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？,解在直角三角形ABC中，AC160米，BC128米，根据勾股定理可得=96（米）答：从点A穿过湖到点B有96米.,例2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？,A,4000米,5000米,20秒后,B,C,3.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小方在B处,请求出AB的距离.,4、如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_米.,10,5、某市规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h，如图一辆小汽车在城市街道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的C点，过了2s后，小汽车与车速检测仪间距离为50m的B处，这辆小汽车超速了吗？,小汽车B,C小汽车,A观测点,注意单位,6.如图4，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？,7、甲乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10：00时，甲乙两人相距多远？,北,南,西,东,解：甲走的路程：,乙走的路程：,甲、乙两人之间的距离：,6(10-8)=12(千米),5(10-9)=5(千米),8、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了500m到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点（1）求A、C两点之间的距离（2）确定目的地C在营地A的什么方向.,9、如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米,C,10、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？,A,B,8,2,3,6,1,C,解：过B点向南作垂线，连结AB，可得RtABC,由题意可知：AC=6千米，BC=8千米,根据勾股定理AB2=AC2BC26282100,AB=10千米,11、如图，B=C=D=E=90，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。,A,B,C,D,E,F,3,3,4,2,2,3,2,4,2,10,C,12、如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。,A,P,B,D,E,1,2,4,1,1,4,5,13、一个牧童在河西的A处放牛，傍晚他要到河边给牛喝水，然后回到河西的家B处。若A、B两地离河的垂直距离分别为AC=500m,BD=1000m,A、B两地的水平距离CD=2000m,求牧童放完牧回家的最短路程。,A,B,C,D,P,E,变式训练,问题二：如图，已知正方体的棱长为2cm（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。（2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的距离。（3）如果蚂蚁从A点到CG边中点M，求蚂蚁爬行的距离。,问题一：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。（2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距离。,知识点2：勾股定理在立体图形中的应用,变式三：将变式二中的长方体放置如图墙角位置，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。,变式一：将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为4cm，宽2cm，高2cm，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。,变式二：将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为4cm，宽2cm，高3cm，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。,如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？,10,20,考考你,10,20,F,E,A,E,C,B,20,15,10,5,为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。,27,45,454=180,1.几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。,2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。,展开思想,规律,练习1：有一个直径为50dm的圆形洞口，想用一个正方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？,变式一：有一个直径为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？,变式二：有一个长为40cm，宽为30cm的长方形洞口，想用一个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？,一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过,1米,2.2米,门框能横着或竖着通过吗,木板的宽2.2米大于1米横着不能从门框通过,木板的宽2.2米大于2米竖着也不能从门框通过,一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过,1米,2.2米,那么斜着能否通过?大家试试看,小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。,买最长的吧！,快点回家，好用它凉衣服。,糟糕，太长了，放不进去。,如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？,x,X2=1.52+1.52=4.5,AB2=2.22+X2=9.34,AB3米,如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽高分别为8cm、6cm、和cm的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？,A,B,C,D,E,8,6,25,10,20,5,已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm，则RtABC的面积是（）A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2,a,b,c,a+b=14,c=10,a2+b2=102=100,(a+b)2=142=196,2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,A,2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、32,A,B,C,D,8,x,x,16-x,x2+82=(16-x)2,x=6,BC=2x=12,B,3、如图所示，在ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD.,解：设BD=x,则CD=14-x.132-x2=152-(14-x)2解得：x=5进而求得AD=12,4、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，使得C，D两村到E站的距离相等，,（3）使得C，D两村到E站的距离最短,（2）DE与CE的位置关系,（1）E站建在离A站多少km处？,5、在波平如镜的湖面上,有一朵美丽的水莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,水莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道水莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?,6、有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树多高。,D,B,C,A,10,20,x,30-x,解：设BD=xm,由题意可知，BC+CA=BD+DA,DA=30-x,在RtADC中，,解得x=5,树高CD=BC+BD=10+5=15(m),7、某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路的某车站D的距离为5000米，现在要在公路边建一小商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站D的距离。,3000,5000,4000,x,4000-x,x,3125,1、如图，在长方形ABCD中DC=5cm，,在DC上存在一点E,沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，求折叠AED的面积,二、利用方程解决翻折问题,解：AB=DC=5cm，由ABC的面积=30可求出BF=12由勾股定理可求得AF=13，由折叠性质得AD=13所以BC=13，FC=1设DC=x,则EC=5-x,EF=ED=x,在ECF中，由勾股定理得：X2=12+（5-x)2解得：x=2.6求出ADE的面积为16.9cm2,5,12,13,13,x,x,1,5-x,2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？,C,解：连结BE,由已知可知：DE是AB的中垂线，AE=BE,在RtABC中，根据勾股定理：,设AE=xcm，则EC=(10x)cm,BE2=BC2+EC2,x2=62(10x)2,解得x=6.8,EC=106.8=3.2cm,3、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。,解：由已知AF=FC,设AF=x，则FB=9x,在RtABC中，根据勾股定理FC2=FB2BC2,则有x2=(9x)232,解得x=5,同理可得DE=4,GF=1,以EF为边的正方形的面积=EG2GF2=3212=10,4、如图，把长方形的纸片折叠，使BC边与对角线BD重合，点C落到点F处，折痕为BE，已知CD边长4cm,BC边长3cm，你能求出CE的长吗？,5、如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A处，求重叠部分BFD的面积。,4,8,x,8-x,8-x,42+x2=(8-x)2,X=3,SBFD=542=10,8-X=5,3,5,方程思想,直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。,规律,1、直角ABC三边a,b,c为边向外作正三角形，等腰直角三角形，以三边为直径作半圆，S1，S2，S3有什么关系？,S1+S2=S3,第1题,1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积(1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积,则A=_个单位面积.(2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积,则C=_个单位面积.,625,144,基础训练,2、已知：如图c13，a5，求阴影总分面积,观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5的面积之和为多少？,S2+S3+S4+S5=,S1,例:在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=.,4,如图，RtABC的面积为20cm2，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为.,寻找规律性问题一1如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去（1）记正方形ABCD的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。,寻找规律性问题二教参157页13题:细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+S102的值。,已知ABC是直角边为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE,，以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边是,2010.辽宁丹东,探索规律题,如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，OE、EF、FG、GH、HM、MN都是垂线，若AMN的面积等于1cm2，那么，正方形ABCD的边长等于。,如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推，若正方形的边长为64，则正方形7的边长为。,8,1、（1）如图为44的正方形网格,以格点与格点为端点,你能画出几条长为无理数的线段?,数学活动,C,A.13B.19C.25D.169,2.数学家赵爽的勾股圆方图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a,较长直角边为b,那么（a+b)2的值为（）,a,b,（2003山东烟台）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.,小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x0).依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得矩形对角线的长.于是，画出图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形.,图1,图,参考小东同学的做法，解决如下问题