函数与导数的综合问题测试题

1 函数与导数的综合问题测试题函数与导数的综合问题测试题 A A组组 一选择题一选择题 1设，若，则 ( )lnf xxx 0 ()2fx 0 x A. B. C. D. 2 eln2 ln2 2 e 2下列同时满足条件是奇函数；在上是增函数；在上最小值为 0 的函数是0,10,1 A. . . . 5 5yxxsin2yxx 12 12 x x y 1yx 3 设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范P 3 2 3 3 yxxP 围是 A B C D 2 , ) 3 5 (, 2 6 5 0,), ) 26 2 0,), ) 23 4已知 f(x)=ax-2， (a0 且 a1)，若 f(4)g(-4)0，则 y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系( )log | a g xx 内的大致图象是 5若，则与的关系是dxxa 2 2 sin dxxb 1 0 cosab A B C Dba ba ba 0ba 6.已知定义域为 R 的函数 2,f x在 为增函数，且函数 2yf x 为偶函数，则下列结论不 成立的是 (A) 01ff (B) 02ff (C) 13ff (D) 12ff 二填空题二填空题 7 设函数 14 2 cos 3 sin3 23 xxxxf，其中 6 5 0，则导数 1 f 的取值范围 是 8已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数 x x xf 3 log )( 2 )0( )0( x x x0)(axxf 的范围是 a 三解答题三解答题 2 9已知函数，满足)( 2 1 )1ln()( 2 Rmxxmxf . 1 )0( f （1）求函数的单调区间；)(xf （2）若关于的方程在0，2恰有两个不同的实根，求实数的取值范围。xcxxxf 2 4 3 )(c 10已知函数在点（1，）处的切线方程为.),(3)( 23 Rbaxbxaxxf) 1 (f02 y （1）求函数的解析式；)(xf （2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数2 , 2 1 x 2 x| )()(| 21 xfxfc 的最小值。c （3）如果点（2）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。), 2(mMm)(xfy m B 组组 1已知函数，其导函数图象如图所示，则函数的极小值是cbxaxxf 23 )()(xf ABcbacba 48 CDba23 c 2已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围 21,1, log,1. a axx f x xx f x, a 为 A B C D 1,22,32,32, 3.由曲线和直线所围成的面积为 2 3xyxy2 A B C D 3 86 3 32 3 16 3 14 4已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：( )21 x f x 12 02xx 12 ,x x （1）；（2）；（3）； 2121 ()()()0 xxf xf x 2112 ()()x f xx f x 2121 ()()f xf xxx （4），其中正确结论的序号是 1212 ()() () 22 f xf xxx f A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4) 5已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图( )sin() 3 f xx ( ) yfx( )yf x 象 （A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位 2 3 2 3 3 （C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 2 2 6过原点的直线与函数的图像交于两点，过作轴的垂线交于函数的图像于 x y2BA,By x y4 点，若直线平行于轴，则点的坐标是CACyA A B C D)2 , 1 ()4 , 2()2, 2 1 () 1 , 0( 二填空题二填空题 7若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数 k 的 2 ( )2lnf xxx(1,1)kk 取值范围是 8.已知. 则的最大值为 2 ( )1 logf xx (14)x)()( 2 xfxg 三解答题三解答题 9已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在 32 f xxaxbxc ,00,1 f x 上有三个零点，且 1 是其中一个零点R （1）求的值； b （2）求的取值范围； 2f （3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由1yx yf x 10已知，函数，（其中为自然对数的底数） aR( )ln1 a f xx x ( )ln1 x g xxexe （1）求函数在区间上的最小值；( )f x0,e （2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求 0 0,xe( )yg x 0 xxy 出的值；若不存在，请说明理由 0 x C组组 1要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图） ，设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底 面半径相等，都为米. 市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米元，圆锥侧面用料单价分别是圆ra 柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度） ，总费用为 （元）.y （1）写出的取值范围； （2）将表示成的函数关系式；y （3）当为何值时，总费用最小?y 2 如图为函数轴和直线分别交于点ylltftMxxxf与处的切线为其在点的图象,)(,(,) 10()(1y 4 P、Q，点 N（0，1） ，设PQN 的面积为).(tgS （）求的表达式；)(tg （）若在区间上单调递增，求 n 的最大值；)(tg),(nm （）若PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个，求 b 的取值范围. 答案答案 A 组答案组答案 一选择题一选择题 1D； 点拨：，解得：。 00 ()ln12fxx 0 xe 2B； 点拨：D 不是奇函数，淘汰；C 中函数可化为显然是减函数，不满足，淘汰； 2 1 12x y 对于 A 中的函数当时，显然不满足，淘汰。1x 5 50yxx 3D； 点拨：点处的切线的斜率且存在，即且存在，结合正P 2 333kx tan3 切函数的图象可知：。 2 0,), ) 23 4B； 点拨：是偶函数，故 f(4)g(4)0，即两个函数图象上当时的函数值是异号的， g x4x 淘汰 C、D；当时，是增函数，这时在 y 轴右侧也应该是增函数，淘汰 A。选 B。1a f x g x 5A；点拨：， 2 2 21 coscoscos2cos2cos, cos0, 2232 ax ，。 1 0 23 sinsin1 sin0sin1sin,sin, 4322 bx ba 6 6C C； 点拨：点拨：由为偶函数可知其对称轴是 y 轴可知：的对称轴是。2yf x yf x2x 又在上为增函数，画出草图如右图，易知 A、B、D 都正确，故 C 不 f x2, 13ff 正确。选 C。 二填空题二填空题 763，；点拨：， 2 3sincos4fxxx ，又 6 5 0， 13sincos42sin4 6 f ，故 1 f 的取值范围是63， 21 ,sin,1 66362 5 8；点拨：数形结合。画出函数的图象，把关于的方程有且只有），（1 f xx0)(axxf 一个实根，等价转化为函数和的图象有且只有一个公共点易求。 f xyxa 三解答题三解答题 9解：（1）， ，( ) 1 m fxx x (0)1 f 1m 2 1 ( ) 1 xx fx x 令（舍去） 。 1515 ( )0 22 fxxx 得或 当时，在上是增函数； 15 x1 2 （- ，）( )0fx( )f x 15 1 2 （- ，） 当时，在上是减函数 15 x 2 （，+ ）( )0fx( )f x 15 2 （，+ ） （2）方程即为方程 2 3 ( ) 4 f xxxc 22 13 ln(1) 24 xxxxc 即为方程， 2 1 ln(1)0 4 xxxc 设， 2 1 ( )ln(1) 4 xxxxc 11 ( )1 12 xx x 2 2(1 xx x ) 当时，则在上单调递增；( 1,0)x ( )0 x( )x( 1,0) 当时，则在上单调递减；0,1x （）( )0 x( )x(0,1) 当时，则在上单调递增；(1,)x( )0 x( )x(1,) 而，(0)c 3 (1)ln2 4 c(2)ln3 1 c 在恰有两个不同的实根等价于 2 3 ( ) 4 f xxxc 0,2 (0)0 3 (1)ln20 4 (2)ln3 10. c c c ， ， 实数的取值范围 c 3 ln20 4 c 10解： 2 323fxaxbx 根据题意，得即解得 12, 10, f f 32, 3230, ab ab 1 0 a b 6 所以 3 3f xxx 令，即得 0fx 2 330 x 1x x 2（，21 ） -1（- 1，1） 1（1，2 ） 2 ( )fx +-+ ( )f x -2增极大值减极小值增2 因为，所以当时， 12f 12f 2,2x max2f x min2f x 则对于区间上任意两个自变量的值，都有2,2 12 ,x x ，所以 12 maxmin 4f xf xf xf x4c 所以 c 的最小值为 4 因为点不在曲线上，所以可设切点为2,2Mmm yf x 00 ,xy 则 3 000 3yxx 因为，所以切线的斜率为则=， 2 00 33fxx 2 0 33x 2 0 33x 3 00 0 3 2 xxm x 即 32 00 2660 xxm 因为过点可作曲线的三条切线，2,2Mmm yf x 所以方程有三个不同的实数解 32 00 2660 xxm 所以函数有三个不同的零点 32 266g xxxm 则令，则或 2 612gxxx 0gx0 x 2x x（-，0）0（0，2）2（2，+） ( )g x +- ( )g x 增极大值减极小值增 则，即，解得 00 22 g g 60 20 m m 62m B 组答案组答案 7 一选择题答案一选择题答案 1D；点拨：由图可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调 f x,00,22, 递减，所以函数的极小值为。 0fc 2C； 点拨： 20 1 21 1log 1 a a a a 23a 3B； 点拨：易求两条曲线的交点为（1，2）和（-3，-6） ，如图，阴影部分的面积是 1 2321 3 3 1132 32329 333 Sxx dxxxx 4C；点拨：画出函数在上的图象，对照图象( )21 x f x 0,2 结合 4 个结论判断：在上， （1）是说明函数是增函数，正确；（4）是说明函数是上凹的，正0,2 确；当时（2） 、 （3）都不成立，故（2） 、 （3）不正确。 12 0,1xx 5C； 点拨：，( )sin()sin 33 f xxx ，故向左平移个单位得到的。( )cos()cossin 3323 fxxxx 2 6A； 点拨：由题意设，则，又 C 在函数的图像上，故 12 12 ,2,2 xx A xB x 2 1,2 x C x x y4 ，所以，解得：； 1 1,4 x C x 21 24 xx 21 2xx 设直线方程为，则，即，二式结合可知：，故ykx 1 21 2 1 2 1 2 2 22 2 x xx x kx x x kx 21 1xx 1 1x A。)2 , 1 ( 二填空题二填空题 7 ；点拨：因为定义域为，又，由，得. 3 1,) 2 ( )f x(0,) 1 ( )4fxx x ( )0fx 1 2 x 据题意，解得 1 11 2 10 kk k 3 1. 2 k 8 83 3；点拨：，且， 22 2 ( )()1 logg xf xx 2 14x 8 ，即，即，故的最大值是 3。 2 222 log 1loglog 4x 2 2 1 1 log3x 13g x( )g x 三解答题三解答题 9 （1）解：解：， 32 f xxaxbxc 2 32fxxaxb 在上是减函数，在上是增函数， f x,00,1 当时，取到极小值，即 0 x f x 00 f 0b （2）解：解：由（1）知， 32 f xxaxc 1 是函数的一个零点，即， f x 10f1ca 的两个根分别为， 2 320fxxax 1 0 x 2 2 3 a x 在上是增函数，且函数在上有三个零点，即 f x0,1 f xR 2 2 1 3 a x 3 2 a 故的取值范围为 5 284137 2 faaa 2f 5 , 2 （3）解：解：由（2）知，且 32 1f xxaxa 3 2 a 要讨论直线与函数图像的交点个数情况，1yx yf x 即求方程组解的个数情况 32 1, 1 yx yxaxa 由，得 32 11xaxax 32 1110 xa xx 即 2 111110 xxxa xxx 即 2 1120 xxa xa 或 1x 2 120 xa xa 由方程， （*） 2 120 xa xa 得， 2 2 14 227aaaa 3 2 a 若，即，解得此时方程（*）无实数解 0 2 270aa 3 2 21 2 a 若，即，解得此时方程（*）有一个实数解0 2 270aa2 21a 21x 若，即，解得此时方程（*）有两个实数解，分别为0 2 270aa2 21a 9 ， 2 1 127 2 aaa x 2 2 127 2 aaa x 且当时， 2a 1 0 x 2 1x 综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点 3 2 21 2 a1yx yf x 当或时，直线与函数的图像有二个交点2 21a 2a 1yx yf x 当且时，直线与函数的图像有三个交点2 21a 2a 1yx yf x 10 （1）解：）解：，( )ln1 a f xx x 22 1 ( ) axa fx xxx 令，得 ( )0fxxa 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 a0( )0fx f x0,e( )f x 若，当时，函数在区间上单调递减，0ae0,xa( )0fx f x0,a 当时，函数在区间上单调递增，,xa e( )0fx f x, a e 所以当时，函数取得最小值 xa( )f xlna 若，则，函数在区间上单调递减，ae( )0fx f x0,e 所以当时，函数取得最小值 xe( )f x a e 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；a0 f x0,e 当时，函数在区间上的最小值为；0ae f x0,elna 当时，函数在区间上的最小值为ae f x0,e a e （2）解：解：，( )ln1 x g xxex0,xe ( )ln1ln11 xx g xxexe 1 ln11ln11 x xx e xexe xx 由（1）可知，当时，1a 1 ( )ln1f xx x 此时在区间上的最小值为，即( )f x0,eln10 1 ln1 0 x x 10 当， 0 0,xe 0 0 x e 0 0 1 ln1 0 x x 0 00 0 1 ()ln11 10 x g xxe x 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 ( )yg x 0 xxy 0 ()0g x 而，即方程无实数解 0 0gx 0 ()0g x 故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直 0 0,xe( )yg x 0 xxy C 组答案组答案 1解：设圆锥的高为米，母线长为 米,圆柱的高为米；圆柱的侧面用料单价为每平方米 2元， 1 hl 2 ha 圆锥的侧面用料单价为每平方米 4元. a （1）(0,). 4 （2）圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为, 4a rl 2 2a rh 2 2a r 则 2 2 422ya