初三中考复习二次函数最值问题.pdf

. . 二次函数之最值问题 基本解题步骤： 1审题读懂问题. 分析问题各个量之间的关系； 2列数学表达式用数学方法表示它们之间的关系. 即写出变量与常量之间的二次函数关系式； 3求值利用二次函数关系式的顶点坐标公式 2 4 , 24 bacb aa 或配方法求得最值； 配方法：将二次函数 2 yaxbxc 转化为 2 ()ya xhk 的形式 . 顶点坐标为, h k. 对称轴为 xh 当0a时.y有最小值 . 即当 xh 时.=yk 最小值 ；当0a时.y有最大值 . 即当 xh 时.=yk 最大值 4检验检验结果的合理性（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围） 解题策略 转化数学检验 解答 实际问题数学问题解问题答案 关 键 在 如 何 将 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 利润最值问题：此类问题一般先是运用=“总利润总售价 - 总成本 ”或 =“总利润每件商品的利润销售数量 ” 建立利润与价格之间的函数关系式. 再 求出这个函数关系式的顶点坐标. 顶点的纵坐标即为最大利润特殊地 . 这里要 考虑实际问题中自变量的取值范围. 数形结合求最值 例 1 例 2 线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和 两点之间线段最短确定最短距离. 这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公 式求解 特殊地 . 也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题 最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴. 作一个已知点的对称点. 连结另 一个已知点和对称点的线段. 与对称轴交于一点. 这一点即为所求点线段长即 为最短距离和 口诀：“大”同“小”异求最值 “大”同： 求差的最大值 . 把点移动到直线的同侧 “小”异： 求和的最小值 . 把点移动到直线的两侧（几何最值较多） 例 3 例 4 例 5 线段长最值问题： 根据 两点间距离公式 12 xx把线段长用二次函数关系式表示 出来求最值 几何面积最值问题： 此类问题一般是先运用三角形相似. 对应线段成比例等性质 或者用 “割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形 的面积y与边长x之间的二次函数关系. 其顶点的纵坐标即为面积最值 例 6 例 7 例 8 动点产生的最值问题：数形结合求解. 把路程和转化成时间和. 当三点共线时有 最值 例 9 例 10 . . 利润最值问题 例 1、一玩具厂去年生产某种玩具. 成本为 10 元/ 件. 出厂价为 12 元/ 件. 年销售量为2 万件今年计划通过 适当增加成本来提高产品的档次. 以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍 . 今年这 种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍. 则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本 题中 01x） （1）用含 x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_元. 今年生产的这种玩具每件的出厂 价为 _元 （2）求今年这种玩具每件的利润y 元与 x 之间的函数关系式； （3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元 . 求当 x 为何值时 . 今年的年销售利润最大？最大年销售利润是 多少万元？ 注：年销售利润=（每件玩具的出厂价每件玩具的成本）年销售量 解 ： （ 1） 10+7x ； 12+6x ； （ 2） y= （ 12+6x ） - （ 10+7x ） . y=2 -x （ 0 x 11）； （ 3） w=2 （ 1+x ） ? y =2（ 1+x ） （ 2-x ） =-2x 2 +2x+4. w=-2 （ x-0.5） 2+4.5 -2 0.0 x 11 . w 有 最 大 值 . 当 x=0.5时 .w 最大=4.5 （ 万 元 ） 答 ： 当 x 为 0.5 时 . 今 年 的 年 销 售 利 润 最 大 . 最 大 年 销 售 利 润 是 4.5万 元 . . 例 2、 新星电子科技公司积极应对2008 年世界金融危机. 及时调整投资方向. 瞄准光伏产业. 建成了太阳能光 伏电池生产线由于新产品开发初期成本高. 且市场占有率不高等因素的影响. 产品投产上市一年来.公司经 历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次） 公司累积获得 的利润 y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与 x 之间的关系）对 应的点都在如下图所示的图象上该图象从左至右.依次是线段OA 、曲线 AB和曲线 BC.其中曲线AB为抛物 线的一部分 . 点 A为该抛物线的顶点. 曲线 BC为另一抛物线 2 52051230yxx的一部分 . 且点 A.B.C 的横 坐标分别为4.10.12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式； （2）直接写出第x 个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前 12 个月中 .第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 解 ： （ 1） 设 直 线 OA的 解 析 式 为 y=kx. 点 O（ 0.0 ） .A （ 4.-40） 在 该 直 线 上 . -40=4k. 解 得 k=-10. y= -10 x ； 点 B 在 抛 物 线 y=-5x 2+205x-1230 上 . 设 B（ 10.m ） . 则 m=320 点 B 的 坐 标 为 （ 10.320 ） 点 A 为 抛 物 线 的 顶 点 . 设 曲 线 AB 所 在 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a （ x-4 ） 2-40. 320=a（ 10-4 ） 2 -40. 解 得 a=10. 即 y=10 （ x-4 ） 2 -40=10 x 2-80 x+120 11 4 C B x( 月) y( 万元 ) 40 O A . . （2）利 用 第 x 个 月 的 利 润 应 该 是 前 x 个 月 的 利 润 之 和 减 去 前 x-1个 月 的 利 润 之 和 ： （ 3） 由 （ 2） 知 当 x=1.2.3.4时 .s 的 值 均 为 -10. 当 x=5.6.7.8.9时 .s=20 x-90. 即 当 x=9 时 s 有 最 大 值 90. 而 在 x=10.11.12时 .s=-10 x+210. 当 x=10 时 .s 有 最 大 值 110. 因 此 第 10 月 公 司 所 获 利 润 最 大 . 它 是 110 万 元 试一试： 1、某水果批发商销售每箱进价为40 元的的苹果 . 物价部门规定每箱售价不得高于55 元. 市场调查发现 . 若 每箱以 50 元的价格销售. 平均每天销售90 箱. 价格每提高1 元. 平均每天少销售3 箱 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元 / 箱）之间的函数关系式 （2）求该批发商平均每天销售利润w（元）与销售价x（元 / 箱）之间的函数关系式 （3）当每箱苹果的售价为多少元时. 可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 ： （ 1） 设 y=kx+b. 把 已 知 （ 45.105 ） . （ 50.90 ） 代 入 得 . 故 平 均 每 天 销 售 量 y（ 箱 ） 与 销 售 价 x（ 元 / 箱 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=-3x+240； . . （ 2） 水 果 批 发 商 销 售 每 箱 进 价 为 40 元 的 苹 果 . 销 售 价 x 元 / 箱 . 该 批 发 商 平 均 每 天 的 销 售 利 润 w（ 元 ） 与 销 售 价 x（ 元 / 箱 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： W= （ x-40 ） （ -3x+240 ） =-3x 2+360 x-9600 （ 3） W=-3x 2 +360 x-9600=-3（ x-60 ） 2 +1200. a=-3 0. 抛 物 线 开 口 向 下 又 对 称 轴 为 x=60. 当 x 60.W 随 x 的 增 大 而 增 大 . 由 于 50 x 55. 当 x=55 时 .W 的 最 大 值 为 1125 元 当 每 箱 苹 果 的 销 售 价 为 55 元 时 . 可 以 获 得 最 大 利 润 . 为 1125 元 2、我市某镇的一种特产由于运输原因. 长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投 入 x 万元 .可获得利润 21 6041 () 100 Px万元当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的 销售 . 其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100 万元的销售投资. 在实施规划5 年的前两年 中. 每年都从100 万元中拨出50 万元用于修建一条公路.两年修成 . 通车前该特产只能在当地销售；公路通 车后的 3 年中 . 该特产既在本地销售. 也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x 万元 . 可获利润 299294 100100160 1005 Qxx（万元） （1）若不进行开发. 求 5 年所获利润的最大值是多少？ （2）若按规划实施. 求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3）根据（ 1）. （2）. 该方案是否具有实施价值？ 解 ： （ 1） 每 投 入 x 万 元 . 可 获 得 利 润 当 x=60 时 . 所 获 利 润 最 大 . 最 大 值 为 41 万 元 . 若 不 进 行 开 发 .5 年 所 获 利 润 的 最 大 值 是 ： 415=205（万 元 ） ； （ 2） 前 两 年 ： 0 x 50. 此 时 因 为 P 随 x 的 增 大 而 增 大 . 所 以 x=50 时 .P 值 最 大 . 即 这 两 年 的 获 利 最 大 为 后 三 年 ： 设 每 年 获 利 y. 设 当 地 投 资 额 为 a. 则 外 地 投 资 额 为 100-a. 当 a=30 时 .y 最 大 且 为 1065. 这 三 年 的 获 利 最 大 为 10653=3195（万 元 ） . 5 年 所 获 利 润 （ 扣 除 修 路 后 ） 的 最 大 值 是 ： 80+3195- 502=3175（万 元 ） . . 线段和（或三角形周长）最值问题 复习： 如图 .正方形 ABCD 的边长为 4. 点 P在 DC边上且 DP=1.点 Q是 AC上一动点 . 则 DQ+PQ 的最小值为 例 1、已知二次函数 2 yxbxc 的图象过点3,0A和点1,0B. 且与y轴交于点C.D点在抛物线上且横 坐标是2 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P.求出PAPD的最小值 . . 例 2、如图 . 在平面直角坐标系xOy 中. 直线 3 2 3 yx分别交 x 轴、 y 轴于 C、A两点将射线AM绕着点 A顺时针旋转45得到射线AN.点 D为 AM上的动点 . 点 B为 AN上的动点 . 点 C在 MAN 的内部 （1）求线段AC的长； （2）当 AM x 轴. 且四边形 ABCD 为梯形时 . 求 BCD的面积； （3）求 BCD周长的最小值； （4）当 BCD的周长取得最小值. 且 5 2 3 BD时. BCD的面积为 _. . . . . 例 3、已知 .如图 . 二次函数 2 230yaxaxa a图像的顶点为H.与 x 轴交于 A、B两点（B在 A点右侧） . 点 H.B 关于直线l ： 3 3 3 yx对称 （1）求 A 、B两点坐标 . 并证明点A在直线 l 上； （2）求二次函数解析式； （3）过点 B作直线 BKAH交直线 l 于 K点.M、N分别为直线AH和直线 l 上的两个动点. 连接 HN.NM.MK. 求 HNNMMK 和的最小值 y A x O B H K . . . . 试一试： 1、已知抛物线 2 1yaxbx经过点1,3A和点2,1B （1）求此抛物线解析式； （2）点 C 、D分别是 x 轴和 y 轴上的动点 . 求四边形 ABCD周长的最小值； （3）过点 B作 x 轴的垂线 .垂足为 E点点 P从抛物线的顶点出发. 先沿抛物线的对称轴到达F 点. 再沿 FE 到达 E点. 若 P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2 倍.试确定点F 的位置 . 使得点 P按 照上述要求到达E点所用的时间最短 （要求：简述确定F点位置的方法. 但不要求证明） . . 二次函数中字母替换 例 1、如图 .已知 A （ a.m） 、B （ 2a.n ）是反比例函数)0(k x k y与一次函数bxy 3 4 图像上的两个不 同的交点 .分别过 A、B两点作 x 轴的垂线 . 垂足分别为C、D。连结 OA 、OB.若已知 21a . 则求 OAB S 的取 值范围。 . . 例 2、已知点(1, )Ac和点(3,)Bd是直线 1yk xb和双曲线 2 2 0 k yk x 的交点 （1）过点A做AMx轴. 垂足为M, 连接BM, 若AM BM . 求点B的坐标 （2）若点P在线段AB上. 过点P做PEx轴. 垂直为E, 并交双曲线 2 2 0 k yk x 于点N, 当 PN NE 取 最大值时 .有 1 2 PN, 求此时双曲线的解析式。 . . 作业： 1、 （ 2010 眉山市 26,12 分）如图 .Rt ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.O为 坐标原点 .A、B两点的坐标分别为3,0 、 0,4. 抛物线 22 3 yxbxc 经过B点. 且顶点在直线 5 2 x上 （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的. 当四边形ABCD是菱形时 . 试判断点C和点D是否在该抛物 线上 . 并说明理由； （3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点. 过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横 坐标为t.MN的长度为l求l与t之间的函数关系式. 并求l取最大值时 . 点M的坐标 _ y C E D O A N B M x y . . E N M D C B AO y x 解： （1）由题意 . 可设所求抛物线对应的函数关系式为 225 () 32 yxm（ 1 分） 225 4() 32 m 1 6 m（3 分） 所求函数关系式为： 22251210 ()4 32633 yxxx（ 4分） （ 2）在RtABO中.OA=3.O