《初等函数》PPT课件

数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，辩证法进入了数学，微分和积分也就立刻成为必要的了。,第一章极限与连续,恩格斯,设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射.,我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象,（一）映射的定义,1.1初等函数,注意：,(1)映射的三要素:集合A,B和对应法则f,(2)映射是有方向的:A到B的映射和B到A的映射是不同的,(3)映射的实质:A中任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应（任一对唯一）,映射只能是一对一或多对一的对应,不能是一对多的对应,(B中元素有三种可能性：A中有一个、多个、没有元素和它对应。),(4)A，B可以是数集也可以是点集、图形集、物体集等等,(5)映射不要求集合B中的元素都有原象或唯一,例1：下列各图表示的对应是不是集合A到B的映射？为什么？,a,b,c,12,123,ab,12,abc,abc,12,A,A,A,A,B,B,B,B,(1),(2),(3),(4),f,f,f,f,设X,Y是两非空集,若按照对应规则f,使xX,都有唯一的yY与之对应,则称f是x的函数.记作y=f(x).,集合X称为函数f的定义域，记,为函数f的值域，记作,x为自变量，y为因变量.,（二）函数的定义,思考:映射和函数有什么区别和联系?,联系：都是从A到B的单值对应；,区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集合可以是其它集合；,（三）函数的单值性与多值性,对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数.,例如，,（四）反函数的定义,反函数的定义:,设函数,是单射,则它存在,若函数f(x)在D上是单调函数,则f-1也是f(D)上的单调函数.,直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.,（五）初等函数和复合函数,1、基本初等函数,以上六类函数称为基本初等函数.,A.常函数,B.幂函数,B.幂函数,C.指数函数,D.对数函数,E.三角函数,E.三角函数,E.三角函数,F.反三角函数,F.反三角函数,2、复合函数,定义:设函数y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有,称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,函数g与函数f构成的复合函数通常记为,注:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,复合函数的求解难点：合成与分解,对于复合函数的合成与分解注意以下几点：,如:,1、对复合函数的分解一定要彻底2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的四则运算3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的子集，否则不能构成复合函数,3、初等函数,例如：,是初等函数.,由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数.,注意,有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数.,分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数,分段函数是初等函数吗？,问题,（六）分段函数,(1)符号函数,（七）几个特殊的函数,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,（2）取整函数