第一讲消去问题

第一讲消去问题教学目标：通过这节课的学习，使学生理解“已知两个或两个以上的未知数量间的关系， 要求出这些未知的数量”的这类问题，用“消去法”解决。 教学时间：三课时教学过程：一、创设情境，初步感知 师：一年一度的学生运动会即将举行，体育王老师为学校购买体育用品。 （出示）1、买 1 个排球和 1 个足球共 180 元，买同样的 5 个排球和 5 个足球共多少元？ 生试算。 评价。提问：这里为什么只要用 180 乘以一个 5 就行了？ （出示） 生：把一个排球和一个足球看作一组，那 5 个排球和 5 个足球可以看作这样的 5 组，就是 5 个 180 元。 （电脑演示画圈） （出示）2.买 3 个排球和 3 个足球共 540 元，1 个排球和 1 个足球共多少元？ 生试算。 评价。提问：5403 表示什么意思？ （出示） 3、买 4 个排球和 4 个足球共 720 元，那么，买同样的 7 个排球和 7 个足球共多少元？ 生试算。 评价。提问：7204 表示什么意思？再乘以 7 呢？ 4、买 5 个排球和 2 个足球共 600 元。每个足球 100 元，每个排球多少元？ 二、自主探索，解决问题 1、教学例 1 （出示）例 1：王老师第一次买 5 个排球和 3 个足球共 700 元，第二次买同样的 2 个排球和 3 个足球共 460 元。排球和足球的单价各是多少元？ A、师：与复习题 4 比一比，都是讲的有关买排球和足球的事，在已知条件和未知数量上有 什么不同？（都有 2 种数量，但复习题只有一个是未知的，而例 1 有两个未知数量） B、师：这题的条件比较复杂，我们先用写数量关系的方法整理条件。 板书：5 个排球的价钱+3 个足球的价钱=700 元 2 个排球的价钱+3 个足球的价钱=460 元 C、师：比较一下这两个数量关系式，你有什么发现？ （电脑演示） 师：从图上我们可以看到，第一次和第二次都买了同样多的 2 个排球和 3 个足球，两次相差 240 元是因为第一次多买了 3 个排球的缘故，所以，这多花的 240 元就是多买的 3 个排球的 价钱。 （板书：3 个排球的价钱=240 元） 师：比较这个数量关系与前面的两个数量关系，原来的 2 个未知数量，现在只剩下 1 个未知 数量了。 生试算。 评价。追问：700460=240（元）表示什么意思？ 想一想： （1）在求出了一个排球的价钱后，还可以怎样求出 1 个足球的价钱？ （2）这道题还可以怎样检验答案是否正确？ 练一练： 1、食堂第一次运来 6 袋大米和 4 袋面粉，一共重 400 千克；第二次又运来 9 袋大米和 4 袋面 粉，一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？ 2、买 10 千克茶叶和 5 千克糖，一共用去 420 元，买同样的 10 千克茶叶和 3 千克糖，一共用 去 384 元。每千克茶叶比每千克糖贵多少元？ 小结：这类有两个未知数量的应用题，我们在解题时，先通过比较条件，分析对应的未知数 量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把数量关系比较复杂的两个未知数量转 化成一个未知数量，我们把这种解题方法叫做消去法。 2、师：通过例 1，我们已经掌握了把两个未知数量转化成一个未知数量的方法，就是分析对 应的未知数量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量。现在我们就要用刚学的技巧来解 决新的问题。 1、如果买 1 本练习本和 2 枝铅笔一共用去 12 元，那么买同样的 3 本练习本和 6 枝铅笔一共 要准备（ （出示） ）元。 2、 如果买 3 块橡皮和 9 枝钢笔一共用去 69 元， 那么买同样的 1 块橡皮和 3 枝钢笔要准备 （ 元。 ） 例 2：王老师第一次买 8 个排球和 3 个足球共 940 元，第二次买同样的 2 个排球和 6 个足球 共 760 元。排球和足球的单价各是多少元？ 生试算。可能出现 2 种情况： （一）9402=1880（元） 1880760=1120（元） 排球的价钱 （二）7604=3040（元） 个足球的价钱 评价。追问：9402=1880（元）表示什么意思？为什么要这样算？ 括号里为什么要用 82-2 来表示？ 追问：在运用“消去法”解题的时候，这两种解法有什么共同点？ 小结：有两个或两个以上未知量的应用题，我们都用消去法来解决。我们可以根据题目的条 件，通过运算进行转化，设法使其中的一个数量相同，然后消去这个数量。在解题时，要认 真审题，考虑好用什么方法才能使其中的一个数量相同，还要注意在消去一个数量后剩下的 是哪一个数量，这样才能把题目做对。 练一练： 3 头牛和 6 只羊一天共吃草 93 千克，6 头牛和 5 只羊一天共吃草 130 千克。每头牛和每只羊 每天各吃草多少千克？ 三、练习巩固，反馈提高 学生练习第三页习题。第二讲 消去问题（二）教学目的：通过这节课的学习，使学生进一步理解“已知两个或两个以上的未知数量间的关系， 要求出这些未知的数量”的这类问题，用“消去法”解决。教学时间：三课时教学过程：一、导入新课。通过上一节的学习我们知道有两个未知数量的应用题，我们在解题时，先通过比较条件，分析对应的未知数 量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把数量关系比较复杂的两个未知数量转 化成一个未知数量，我们把这种解题方法叫做消去法。揭题板书：消去问题。二、教学新课。1、教学例题1。揭示例题。例1 7 袋大米和 3 袋面粉共重 425 千克同样的 3 袋大米和 7 袋面粉共重 325 千 3 克。求每袋大米和每袋面粉的重量。让学生读题，找一找数量关系。讨论：可以从哪儿入手？逐步讨论引导学生解决。2、教学例题2三、练习提高。 1、学生练习4-5页练习题。 2、集体交流。第三讲 一般应用题教学目标：使学生进一步掌握解答应用题的一般步骤，会借助线段图分析数量关系，提高学生分析问题和解决问题的能力。教学时间：三课时教学过程：一、谈话导入。1、谈话：在小学里，通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。 “典型 应用题” 有基本的数量关系、解题模式，较复杂的问题可以通过“转化” ，向基本的问题靠拢。我 们已经学过的“和差问题” 、和“倍差问题”等等，都是“典型应用题”“一般应用题|”没有基本的数量关系，也没有可以用来解题的解题模式。解题时要具体问题具体分析，在认真审题，理解题意的基础上，理清已知条件与所求问题之间的数量关系，从而确定解题的方法。2、揭题板书：一般应用题。二、教学例题。 1、分段出示例题。 例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重 4 千克，鱼头的重量等于 鱼尾的重量加身一般的重量，而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条 鱼重多少千克？例 2、一所小学的五年级有四个班，其中五（1）班和五（2）班共有 81 人，五（2）班和五 （3）班共有 83 人五（3）班和五（4）班共有 86 人，五（1）班比五（4）班多 2 人。 学校五年级四个班各有多少人？ 例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼，甲钓了 5 条，乙钓了 3 条，吃鱼时，来了一位 客人和甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了 8 角钱作为餐费。问：甲、乙两为渔夫 各应得这 8 角钱中的几角？ 例 4、一个工地用两台挖土机挖土，小挖土机工作 6 小时，大挖土机工作 8 小时， 一共挖土 312 方。已知小挖土机 5 小时的挖土量等于大挖土机 2 小时的完土量，两种挖 土机每小时各挖土多少方？ 例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时，甲和丙都比乙多拿西瓜 7。 5 千克。结果甲和丙各给乙 1.5 元钱。每千克西瓜多少元|？ 例 6、小红有 一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个。而按 钱数算，5 分币比 2 分币多 4 角。已知这些硬币中有 36 个 1 分币。问：小红的储蓄筒里 共存了多少钱？ 分析方法：1、读题。2、找出数量关系（或借助图式或借助线段图）3、列出算式。4、检验。2、课堂小结： 这节课我们学习了什么内容？ 解答应用题的一般步骤是怎样？三、巩固应用。作业：第7页第四讲 定义新运算教学目标：了解什么是新运算，会用“ #”“*”“”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行运算。教学时间：3课时教学过程：一、导入话题：同学们，我们一直学习加、减、乘、除四则运算，是不是觉得有些单调呢？今天我们一起来学点儿新鲜的运算，它们很特别，既不叫加，也不叫减，更不叫乘、除，它们是什么呢？二、学习新知1、例如：已知：，按此规则计算：（1）32；（2）53；求x。同学们，你们做过这样的运算吗？是不是很新鲜呢？定义新运算问题是一类新出现的运算问题。它是给出新定义的运算符号，规定了新的运算顺序，按照新定义，用新的运算方法进行运算的一种运算问题。解决这类问题一定要认真观察、分析新规定的条件，充分理解新定义，并严格按新定义式中的式子代入数值，进而使这类问题转化成我们所熟悉的四则运算。知道了什么是定义新运算，上面的例子就不难了，让我们一起来做：分析与解观察两个已知的等式可知，在本题中“”定义的是连加计算，“”前边的数是第一个加数，且后一个加数都比前一个加数多一个数位，每个加数各个数位上的数字都相同，都是“”前边的那个数，而“”后边的数恰好是加数的个数。因此：（1）32=3+33=36（2）53=5+55+555=615同学们，你们找到解答定义新运算问题的窍门了吗？2、学习例题。例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B表示 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？例3：规定 求21010的值。例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N计算（14 *10）*6例5：如果任何数A和B有AB=AB-（A+B）求（1）107 （2）（53）4（3）假设2X=1求X3、课堂小结：关键的一条是抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值。还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。三、巩固练习。第9-10页第五讲 流水问题教学目标：使学生理解流水问题数量关系，会运用这一数量关系解决实际问题。教学时间：三课时教学过程：一、了解基本数量关系；船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。二、 讲解例题例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。解：轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时），顺流航行的时间：（355）2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。答：机帆船往返两港要64小时。下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果两船逆向追赶时，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速.解：路程差船速=追及时间24=0.5（小时）。答：他们二人追回水壶需用0.5小时。三、巩固练习：P11-12第六讲 等差数列教学目标:使学生了解等差数列并会进行简单的计算。教学时间：三课时教学过程：一、故事导入：德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。二、介绍等差数列。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。三、 讲解例题例1 1231999？分析与解：这串加数1，2，3，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=（11999）19992。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11121331？分析与解：这串加数11，12，13，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11121（项）。原式=（11+31）212=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例3 371199？分析与解：3，7，11，99是公差为4的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为（13515）12（115）8212768（厘米2）。（2）火柴棍的数目为369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。综合列式为：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）。四、 巩固练习 P13-14第七讲周期问题（一）教学目标：使学生了解许多事物的变化都有周期性，掌握事物变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题教学时间：三课时一、 教学过导语有些数学问题涉及周期问题及进位制的问题。解决周期问题的关键有两点：一是找出规律，确定它的周期；二是按周期的具体情况，找出对应关系，从而解决问题。进位制问题是指与各种技术法有关的数学问题。新授二、周期问题例1 将化成循环小数，小数点后第2000位上的数字是几？例2 1997 年元旦是星期三，那么，同年 12 月 1 日是星期几？ 例3 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿 21 灯各一盏。那么，第 80 盏灯应是什么颜色的？ 例4 1998 个 7 连乘，它的结果末位上的数字是几？ 例5 下面是一个 11 位数，每 3 个相邻数字之和都是 17，你知道“？”表示的 数字是几吗三、 练习。P15第八讲周期问题（二）教学目标：进一步掌握周期问题解决的方法教学时间:三课时教学过程：一、学习例题例1他们呢依次围成圆做游戏。 现在 有 13 名小朋友编成 1 到 13 号， 22 从 1 号开始，每数到第 3 个人发一粒糖（每人只拿一次糖） 。那么，最后一个拿到 糖的小朋友是几号？ 例2 紧接着 1998 后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘 积的各个位数。例如，9 X 8 =72 。在 8 后面写 1，8，X 2 = 16，在 2 后面写 6，得到一串数：这串数字从 1 开始往右数，第 1998 个数字是几？ 例3在一根长 100 厘米的木棍上， 23 至左每隔厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度是 1 厘米的短木棍有多少根？二、 巩固练习：P16第九、十讲 平均数问题（一）（二）教学目标：1、掌握较复杂的求平均数应用题的结构特征及解答方法。2、培养学生观察、分析和逻辑推理能力。教学时间:六课时教学过程：一、谈话导入平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。例如，为了比较五（1）班和五 （2）班在期中考试中，哪个班考得更好一些，我们可以计算出每个班的平均分数， 平均分数高的班通常就被认为考得好些。揭示课题并板书：平均数二、例题精讲第一组：例1五（1）班第一小组 7 个同学测量身高，有两个同学的身高都是 153 厘 米，有一个同学的身高是 152 厘米，有两个同学的身高是 149 厘米，还有两个同学 54 和身高是 147 厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米？ 例 2小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是 93 分，后三 次的平均分数是 88 分。小红这五次测试的平均分数是多少？ 例 3小明前五次数学测试的平均成绩是 88 分。为了使平均成绩达到 92.5 分， 小明要连续考多少次满分？（每次测验的满分是 100 分） 例 4 小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛， 那四名同学的成绩分别为 78 分、 91 分、82 分、79 分，小芳的成绩比五人的平均成绩高 6 分。小芳的成绩排在五人 中的第几位？ 例 5下面一串数是一个等差数列： 3，7，11，643。 这串数的平均数是多少？ 第二组：例 1甲、乙两地相距 60 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 20 千米。 到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行 30 千米。这辆汽车往返甲、乙 两地的平均速度是多少？例 2五（2）班女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是 41 千克， 女同学的平均体重是 35 千克。全班同学的平均体重是多少千克？ 例 3A，B，C，D 四个自然数，两两相配可配成不同的六对。分别求出每对数 的和，这六个和从小到大排列是 24，26，30，34，38，40。A，B，C，D 四个数的 平均数是多少？三、课后作业：第一组：P18-19第二组：P19-20第十一、十二讲 巧算（一）（二）教学目标：理解掌握巧算教学时间：六课时教学过程：一、导语培养计算能力是小学数学教学的目标之一。计算形式：口算、笔算、估算及用计算器计算等。计算的准确性、合理性、灵活性反映了计算能力的高低，提高计算能力，一方面要使学生正确理解和运用计算法则进行计算，另一方面要使学生灵活运用运算定律和性质，根据数据特点，采用适当的技巧，准确而迅速地求的计算结果。二、精讲利用凑整巧算第一组：例 1计算（1+3+5+1999）-（2+4+6+1998）例 2计算 9999977778+3333366666 25 例 3计算 - 例 59=33，16=44，这里“9”和“16”都叫做“完全平方数” 。在前 300 个 自然数中， “完全平方数”的和是多少？第二组：上一讲我们学习了整数的巧算，这一讲我们学习小数的巧算。例 1计算 578.47-4.62-78.47-3.38 例 2计算 0.99991.3-0.11112.7 例 3计算 3.631.4+43.96.4 例 47.3712.50.1516 例 5计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99 例 6计算（44332-443.32）（88664-886.64） 三、巩固第一组：p22第二组：p23第十三讲 数的整除特征 教学目标：熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。