建筑与数学(一)PPT课件

建筑与数学（一）数的概念,2010年春季学期我给中央美术学院建筑学专业开设了试验性课程建筑数学。采用讲座的形式，介绍数学的一些基本概念和知识，与建筑学的关系，对建筑设计和建筑创作的启迪，以期引起美院学生对数学的兴趣，认识到“数学是受过高等教育者的一种文化修养”。在清华建筑学院讨论教学计划的会上，我谈起在中央美院讲建筑数学。朱文一院长和单军副院长说，你不能只到中央美院去讲，还要给我们清华自己的学生讲。我说，可以啊。但清华建筑招来的学生和美院招的学生高中数学的底子不一样，而且清华有高等数学课，建筑学专业的学生大一上过微积分课。课程的教学对象不同，内容组织和方法也要不同。这学期在两个年轻教师合作下，在清华也开了这门课。,但多年来，中国建筑学专业的学生都不喜欢学数学。我看，一是高年级同学和部分教师散布的“高数无用论”的影响。在清华建筑系教学计划讨论会上，好几个老教师说“高等数学学了没有用，都忘光了，我还不是一样教设计，做设计！”二是，数学课教得不好。在清华我作为学院领导去听过一次微积分的课，数学教研室的一位老师给外语系和建筑学的学生合班上课。这堂课讲的是不定积分的解法，看得出来上堂课也是讲的不定积分的解法，下堂课还要讲。教师在上面，满黑板地用粉笔写求解的具体方法。下面许多学生有打瞌睡的、看其他课书的。这种教法你叫学生怎么感兴趣！这两个方面的问题，归结为一点，就是数学教学的目的过于功利化，强调“应用”（专业），而不是“教化”（育人）。,.,4,联合国科教文组织的世界数学教育的新动向中指出：“在人类社会的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计算、逻辑推导和数学化模型。在传统的物理学和工程学以外，生物科学、社会科学、经营管理学、人文科学和日常生活都要以各数学分支及它们的相互结合为工具，加之统计的和计算机的模型化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课题。”“第九届数学教育国际会议”2000年7月在东京举行，来自世界各地共3400余名代表参加了会议。美国总统克林顿发来贺电。克林顿在贺电中说：“世界正以惊人的速度向前发展，科学技术的进步是建立在数学的原理之上的，数学的理论创造了新的工作方式、生活方式和思维方式”。“数学教育是世界普通教育的核心，我们不仅要培养数学家和科学家，并且还要提高我们所有的人的数学素质。数学已成为人类文化的核心部分，这是因为数学的应用遍及自然科学和社会科学。数学在推理证明的过程中显示的力量和美，也大大地丰富了人们的精神文化领域。”,.,5,科学的数学化,康德说：在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。马克思认为：科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地位。英国数学家、哲学家A.N.Whitehead在1939年所作的数学与善的讲演中说：“在人类思想领域里具有压倒性的新情况将是数学地理解问题占统治地位。”在看到数学对科学发展的巨大作用的同时，也应该看到科学对数学发展的反作用。如果说在过去一些科学中数学的应用几乎为零，这一方面说明它们利用数学的条件还不完备，另一方面则是进入这些科学的数学也不完备。现代科学的数学化不是把现成的数学理论简单地搬用到某门科学中去，而是要创造性地使之适应这门科学的需要，或者为这门科学创立数学理论。,.,6,今天，一方面建筑学已由传统的含义发展为现代的“广义建筑学”。建筑学的范围从建筑设计扩展到建筑群设计、室内外空间和环境设计、景观规划与设计、城市设计、城市规划、村镇规划、区域规划等等；现代建筑学面对着一个高速发展却又问题丛生的世界，环境、生态、人口、社会、经济、能源、信息等都是建筑师（包括规划师）需要了解和处理的问题；相关的知识领域也从传统的建筑学领域大大扩展，并和社会科学、自然科学的许多学科领域交叉融合，形成如建筑美学、建筑史学、建筑心理学、环境行为学、城市社会学、建筑经济学、城市人口和经济、建筑生态学、建筑气候学、城市地理学、建筑物理学、建筑节能与太阳能利用、建筑防灾、城市管理和立法、建筑设计方法论、计算机辅助建筑设计、建筑和城市信息系统等现代建筑学的分支科学；建筑活动日益成为内容庞大、因素众多、结构复杂的巨系统（largescalesystem）；巨大的资金、技术、人才和物力的投入，引起对建筑活动的经济效益和社会、环境效益的高度重视。以上种种表明，建筑学对数学的需要和运用日益具备了条件。另一方面，现代数学的发展，现代数学向社会科学的渗入，电子计算机的飞速发展和广泛应用，使数学开始具备应用于建筑学的条件。,我在“建筑与技术”课中谈到，数学在建筑学中的应用：抽象-数学最重要的本质特点；用图形图像和数字表达观点和问题；模数和比例是按一定规则的数序；图形和空间的拓扑特性；误差理论与精度控制：制造业进入建筑业；概率和统计是社会调查研究的重要工具；运筹学、线性规划用于城市和交通规划；可行性研究、经济分析等需要数学；以射影几何为基础的画法几何和阴影透视的运用促成了近代建筑学的产生；数学以及在其基础上的力学促成了建筑结构的现代发展；“数学美”-勒柯布西埃：“数学的精确性与大胆的幻想结合起来，就是美”；“混沌”、“分形”等新数学概念已被引入最新的建筑理论；计算机技术和微分几何结合为建筑造型和空间构成提供了新的技术支持。,英国朴茨茅斯工大建筑学院院长勃罗德彭特的建筑设计与人文科学是80年代汪坦先生组织翻译的建筑理论译丛（10本）中的一本，对文革后中国建筑学学术界产生过很大影响。其中很多方面涉及数学。,比例科学哲学建筑一书的作者理查德帕多万在该书的前言中写道：“中学时代，对我而言，数学是一个噩梦。更为糟糕的是，我小时候就希望成为一个建筑师，而长辈们提醒我说，数学对建筑学至关重要。我在算术上的天生无能似乎将令我与自己选择的职业无缘。然而，鬼使神差我进入了建筑学专业，这里的许多事情有助于克服我的恐惧心理。首先，我发现许多同班同学的数学并不比我好（哎，现在仍然如此），这使我如释重负。更重要的是，我发现了以前的老师未曾提起过的：数和几何结构本身都是美丽的，它们是我们周围事物植物、动物、玻璃制品和建筑的美之源泉。,李晓东教授在前言中写道：“本书所关注的对象是中国古典建筑的形式逻辑。”“中国传统建筑的整体结构与形式都保持着高度的统一性。各地清晰的建筑制度鲜明地揭示出其早期的标准化特性。标准化指引了中国建筑逐渐理性化的进程，也随之激活了形式体系的生成过程。”“本书将涉及如宇宙哲学、数学以及玄学等领域的传统思想。”,张杰教授在后记中写道：,伯鲁乃列斯基与佛罗伦萨主教堂穹顶,佛罗伦萨主教堂1296年动工，1366年完成大部分工程，随后50多米高墙顶上的穹顶（底座八边形对径42m）却迟迟造不起来，耽搁了几十年，最后由伯鲁乃列斯基着手设计，1420年定案动工，1431穹顶建成。伯鲁乃列斯基不仅是一个雕塑家和建筑师，“他具有机械工程学、静力学、水力学、数学、以及其他科学和技术研究的天分。”“精巧独到和复杂的几何布局，非凡的石工技术及特殊设计的举重机械，都是伯鲁乃列斯基对穹顶的成功建造所做出的惊人贡献。”西方建筑史从远古到后现代，王贵祥等译,.,15,勒柯布西埃：装饰是“初级的满足”,“是多余的东西，是农民的爱好”，而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”，是“有修养的爱好”。“帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。“数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是美”。,.,16,古典建筑之美比例尺度对称均衡韵律对比,.,17,建筑结构之美数学与力学,.,18,工艺技术之美工业制造、精度控制,.,19,两个学过数学的建筑师扎哈哈迪德1950年出生于巴格达，在黎巴嫩就读过数学系，1972年进入伦敦的建筑联盟学院AA学习建筑学，1977年毕业获建筑学硕士学位。卡拉特拉瓦1951年生于西班牙，学过美术，先在巴伦西亚学习建筑，后去瑞士苏黎世联邦工学院攻读结构工程，1979年获博士学位。,.,20,徐志摩与相对论1920年10月罗素在南京中国科学社的演讲题目是“爱恩斯坦引力说”。赵元任做翻译。赵元任后来是清华国学研究院的四大导师之一。徐志摩说过：“二十四岁以前我对于诗的兴味远不如我对于相对论或民约论的兴味。”他原配妻子张幼仪的哥哥张奚若也曾回忆：当我1921年和他在伦敦重聚时，一见面就很得意地向我说他近来作了一篇文章，料我无论如何也猜不着他作的是什么题目原来他作了一篇关于爱因斯坦的相对论的文章!（张奚若：我所认识的志摩）这篇文章，就是发表在1921年4月15日出版的改造(梁启超主编)上的安斯坦相对主义。1920年，徐志摩路过巴黎，张君劢送他一本爱因斯坦自著的相对主义浅说，让他研究一下科学界的最新成果。到了英国，他请教了许多人，包括理工科的留学生在内，居然没人说得出来。因此，他就发狠苦读，钻研揣摩，“连吃奶的力气都使出来”，写下这篇通俗性的科学论文。徐志摩广采博纳：从狭义相对论到广义相对论，从时空观念、万有引力到哲学、历史人文科学中的有关影响等等。,.,21,1938年梁思成、林徽因全家与西南联大教授周培源（物理学家）、吴有训（物理学家）、金岳霖（哲学、逻辑学家）、陈岱孙（经济学家）在昆明的合影，他们是多年的好友。,数学的定义,“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”（恩格斯反杜林论）。恩格斯在论述数学是现实世界的反映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于非常抽象的形式之中”。一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出来的数量关系和空间形式，而且研究那些运用数学已经形成的概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此，可以把客观世界和主观世界中（逻辑可能）的数量关系和结构关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。,数学的特点,确定性抽象性严格性应用的广泛性理性美(drybeauty),数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境界”。罗素（Russell，18721970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）,.,24,抽象是数学的本质谁见过“1”？人们见到的是具体的“一个人”、“一匹马”、“一朵花”、“一颗星”，但人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的事物，抽象成数“1”，并用一个符号（世界各地几乎都是“或”）来表示。有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的是形象思维，而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象”和“逻辑”怎么是一对对立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽象思维？！现代艺术区别于传统艺术最重要的特点之一正是“抽象”！,写实（具象）康斯坦布,印象派高更,抽象派康定斯基,荷兰乌德勒支住宅1924受蒙特里安抽象绘画的影响,数学的本质是抽象，而数学的语言是符号。数学符号是数学思维与交流的工具，能够清晰而简明地表达数学思想和规律。在科学技术中，利用数学符号，能有效地寻求模式，进行概括。借助于数学符号，能把有关问题规范化。“符号学”广义上是研究符号传意的科学，涉及文字符、讯号符、密码、记号、手语等等。现代符号学的一个源头是20世纪初瑞士语言学家索绪尔的教学讲稿普通语言学教程，索绪尔将符号分成意符（Signifier）和意指（Signified）两个互不从属的部份之后，真正确立了符号学的基本理论，被誉为现代符号学之父。,20世纪50年代，符号学进入建筑学领域，从意大利开始，然后传入法国、西德、英国，70年代在美国流行。80年代中国在“后现代建筑”影响下，建筑符号学也很是时髦：文脉、符号、象征、隐喻等很流行。,可参看：章迎尔，“符号理论与建筑的符号性”，同济大学学报，2000年6月,1977伯克利建筑学教授Alexander出版了一本厚书APatternLanguage。该书对中国建筑学界影响很大，先是影印发行，曾作为清华建筑学院研究生的专业外语阅读教材。后来在李道增、高亦兰、关肇邺的倡导和审阅下翻译成中文建筑模式语言，分上下册出版。Alexander50年代初，在英国剑桥大学获得了建筑学学士学位和数学硕士学位。1959年开始在哈佛大学攻读建筑学博士学位。1963年，到伯克利任教。1967年创立环境研究中心并任其主任。亚历山大理论与实践并重，是一位建筑理论家和开业建筑师。,现代数学的发展趋势,从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。具有不必是整数的分数维（fractaldimension）的几何对象分形（fractals）引起了广泛的兴趣。从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究的一个主要内容。,从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为“突变论”（CatastropheTheory）。从平衡的、守恒的、可逆的到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉（bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科学的热门研究课题。,这些理论以自然界和人类社会广泛的课题为研究对象，具有广阔的研究领域和普遍的应用范围。这些理论不仅提供了新的发现和新的论断，更重要的是表达了新的思维方法、新的认识论和新的世界观。可以预言，这些理论很快会被引入到建筑理论中来，就像相对论、系统论、信息论、控制论一样，会成为新一代建筑思潮的自然哲学基础。如果说现代建筑运动理性主义建筑观念反映了本世纪初建立在经典数学和传统科学基础上的工业社会的自然哲学，那么，当今建筑思潮五彩纷呈的现象则折射着后工业化社会探索复杂性和多样性的自然哲学的辉光。秦佑国，“建筑与数学”，1992,现代数学概念在建筑学中出现TheArchitectureoftheJumpingUniverseApolemic:HowComplexityScienceisChangingArchitectureandCulture1995FractalGeometryinArchitectureandDesign1996,.,32,.,33,TheArchitectureoftheJumpingUniverseHowComplexityScienceisChangingArchitectureandCultureAnewworldview,influencedbycurrentscience,showstheuniversetobemorecreativeanddynamicthanpreviouslythought.Howmightthisviewchangearchitectureandculture?Inthis,thesecondedition,JencksmakesthecasethattherecentlyformulatedComplexityTheoryandtheoryofacreativecosmogenesisofferabasicanswer.Architecturemightreflecttheprocessesoftheuniverse,itsenergy,itsgrowthsandsuddenleaps,itsbeautifultwists,curlsandturns;itscatastrophes.ThebookpresentsthebasicideasoftheSciencesofComplexityandshowsmanybuildingsbasedonthisnewlanguagebyleadingarchitects(suchasPeterEisenman,FrankGehryandDanielLibeskind)alongwithecologicalandorganicdesigns.Jencksownrecentworkisusedtoillustrateconceptsinphysicsandanarchitecturebasedonwaves,twistsandfractals.ThesecondeditionshowsthemovementofNonlinearArchitecturegatheringmomentumindifferentpartsoftheworldwithnotablebuildingscompletedinAustralia,Japan,GermanyandAmerica.,数字建构,徐卫国，“数字建构”，建筑学报2009年第一期：“使用数字技术在电脑中生成建筑形体，以及借助于数控设备进行建筑构件的生产和建筑的建造。”并在清华大学建筑学院开设了“非线性”建筑设计的课程。并办了三期“暑期培训班”。近年来，许多欧美著名大学的建筑院系开设了相关的课程。,英国AA建筑学院的学生作品荷兰代尔夫特工业大学建筑系学生作品,.,35,NewCzechNationalLibrary,BylgiaInstalation/GermanPavilion,数字砌筑,.,36,MaximiliansSchell,BallNoguesStudio,FosterandPartners,.,37,NordparkCableRailway,BakuTheatre,ZahaHadid,广州大剧院,数觉：某些动物有一种本能，能感知事物的“多少”。一个乌鸦在一个庄园的塔楼上筑巢，庄园主想捉住它。但当庄园主一进入塔楼，乌鸦就飞走，他一走出塔楼，乌鸦就飞回来；庄园主和另一个人，2人进入塔楼，然后1个人走出来，1个人留在里面，但乌鸦不飞回来，它感到出来的人数比进去的少了，直到留在里面的人出来，它才飞回；庄园主继续试验，进去3人，出来2人，乌鸦还是不飞回来；继续试验，直到进去5人，出来4人，乌鸦分辨不出来了，飞了回来，被逮住了。原始人的数觉并不比乌鸦强，南部非洲的Bushmen人，除了一、二和多，没有别的数字，澳大利亚土人没有人能了解七。计数：最初原始人没有数的抽象概念，在一些土著人那里，2个人用2支矛猎获了2只野鹿，是用不同的语音来表示这三种东西（人、矛、鹿）的数量“二”的。但后来通过“一一对应”方法，用伸出2个手指，在木棍上刻划2道刻痕来表示不同物体的相同数量“二”，“计数”就开始了。罗素：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子”。这是人类发展历史中伟大的、重要的进步。正是计数，才使具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数的概念，这正是数学的本质。,数的概念,记数：把所计的数用符号记录，即为数字，在一定的人群（文化圈）中约定俗成，并传承和交流。,古希腊记数法,古埃及的数字,巴比伦的数字,中国甲骨文的数字,.,40,今天一个几岁儿童的计数（数数）和计算（加法）能力都比远古人类和土著的布须曼人强。但他们是在有人教的情况下学习的现成知识。学会“一加一等于二”，幼儿就行。但研究“一加一等于二”的概念如何产生，如何演变，如何表达成公式（符号）“1+1=2”，在全世界通行等，确是人类学家、考古学家、哲学家和数学家研究的课题。而了解人类文明发展中，数和计数的发展是一种文化修养，从中得到思想启迪、视野拓展、思维训练以及美的感受。如果再深入思考，数的本源、自然的本质等等，可以导入哲学的思辨，甚至宗教的情怀。所以，数学教育和教学，只是根据学生的年龄和学阶，教授不同程度的现成的数学知识是不够的。还要（对于高中、大学，甚至更为重要）传授（讲解、引导、感染）观念、思想和思维方法。这就是我对数学教育和教学的看法。,数序：当数对应于数量的多少，必然就会形成数从小到大的排列顺序：1、2、3、4、5，自然数数序。基数与进制：“屈指可数”，人类开始是用手指来计数，人有2只手，一只手5个手指，共计10个手指。所以世界上大都数文明都是“十进制”，以1到10十个数字为基数，都有独立的名称和标识。但也有“二十进制”的（两只手加上两只脚）的，玛雅文明是二十进制。罗马数字是“五进制”（一只手）的，：、，数字8732在在凯撒的衙门里，办事员把这个数字写成:MMMMMMMMDCCXXXII莱布尼茨（16461716年）的二进制：17世纪德国的数学家莱布尼茨发明了“二进制”，“任何数字都可以用1和0写出来”：11、210、311、4100、5101、6110、7111、81000、91001、101010。,莱布尼茨那个时代，因为在中国的欧洲传教士传回的信息，让欧洲人很关注中国文化。莱布尼茨对中国文化非常感兴趣。莱布尼茨既是数学家，也是神学家和哲学家，还是语言学家。他提出要建立全球宗教组织，他想让康熙皇帝皈依基督教，他研究汉语和方块字。他把发明二进制的事告诉他在中国传教的耶稣会士朋友，其中一位叫白晋的神甫给莱布尼茨写信:“您的新计数法跟伏羲的八卦是一样的。”“您的二进制几何级数一旦推到第六级，便可得出2、4、8、16、64等数。简直是奇迹，伏羲推算的也正是64卦。先生，您与易经不谋而合！”尽管莱布尼茨本人声明：“当初我创立二进制算术的原则时，对易经中的八卦是根本不知道的。”但他后来的确认为：“八卦和二进制算术之间的相似性可以成为一个相当可信的论据，从易经看，在中国圣贤帝王的思想中，似乎可以找到基督教创世理论的痕迹。”莱布尼茨想通过在清朝钦天监任职的传教士闽明我去影响“曾研习欧西算法”的康熙皇帝，“认识基督教信仰的优点”。,十二进制：十进制是人有十个手指的“自然结果”，但作为数制并非十分合理，例如对空间的表达，“前后左右”、“四面八方”，用十进制并不十分配合，还有立方体有六个面，用十进制也不配合。倒是十二进制，能很好的配合。12有2、3、4、6四个约数（12是2、3、4、6四个数的整数倍），所以能很好地配合“上下”、“前后”、“左右”（对应2），“上中下”、“左中右”（对应3）、“前后左右”、“东西南北”（对应4），“上下前后左右”、“立方体、建筑物”（对应6）。当用钟面表示时间，时间也就十二进制和六十进制了。建筑尺寸模数体系实质上也是12进制的，以12的整分数为模数：12、6、3、及其3整数倍9、15、30。,这里的M不是指米，是指模数Module。,天干地支在中国古代的历法中，有“十天干”和“十二地支”，二者的组合，产生了六十甲子。天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥六十甲子：甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥60是10和12的最小公倍数，六十甲子是六十进制，是十进制和十二进制混合的产物。现在国际上在计时上也采用六十进制：1小时等于60分钟，1分钟等于60秒钟。,考古发现，在商朝帝王帝乙时的一块甲骨上，刻有完整的六十甲子，可能是当时的日历，说明在商朝时已经开始使用干支纪日了。在中国采用公历之前，长期用干支记年，如甲子年、丙寅年等。清华是利用“庚子赔款”退款建立的，庚子年是1900年，义和团“扶清灭洋”，八国联军打进北京。1911年是辛亥年，武昌起义推翻满清王朝，就叫“辛亥革命”。公元后的年份数减3，除以10的余数是天干，除以12的余数是地支。今年2012年：（20123）10=2009对应于天干是“壬”（20123）12=1675对应于地支是“辰”所以，2012年是“壬辰”年。是“龙年”。,十二地支对应于十二生肖：子鼠，丑牛，寅虎，卯兔，辰龙，巳蛇，午马，未羊，申猴，酉鸡，戌狗，亥猪。,质数和合数：一个整数只能被1和它自身整除，称为质数（又称素数）；一个整数可以被非1的其他整数整除，称为合数。哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。（“1”+“1”=“2”）1978年，陈景润在“攻克”哥德巴赫猜想中取得“1”+“2”的成果（一个偶数可以表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和）被徐迟的报告文学哥德巴赫猜想向公众介绍，称为“摘取数学王冠上明珠”的人，引起了一股向“科学进军”的热潮。,无理数：古希腊毕达哥拉斯：“万物皆数也”。毕达哥拉斯学派的数是指整数和分子与分母都是整数的分数。他们还提出了毕达哥拉斯定律（勾股弦定律）：直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方和。典型的是勾三股四弦五，32+42=52。毕达哥拉斯的一个学生发现，2个直角边都是1的直角三角形的斜边（边长为1的正方形的对角线），不能用分子与分母都是整数的分数来表示。他泄露了这个发现，被毕达哥拉斯学派扔进河里。这种不能用整分数表达的数后来被称为“无理数”。,完数：一个合数的除数之和等于它自身，称为完数，个位数中的完数是6（1+2+3），十位数中的完数只有28（1+2+4+7+14），古印度和希伯来人早就知道6和28是完数，而圣经注释家认为这两个数是上帝创造世界的基本数。古希腊的欧几里德发现头四个完数：6、28、496、8128。随后是33550336，8589869056(10数)、137438691328(12位数)、2305843008139952128(19位数)、（38位数）、（55位数）、除6以外的完数，把它的各位数字相加，直到变成一位数，那么这个一位数一定是1：28：2+8=10，1+0=1496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=18128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=133550336：3+3+5+5+0+3+3+6=28，2+8=10，1+0=1每一个完数都可以写成连续自然数之和：6=1+2+328=1+2+3+4+5+6+7；496=1+2+3+30+31还可以表示成连续奇数的立方和：28=13+33496=13+33+53+738128=13+33+53+.13+33+53+.+1253+1273所有约数(包括本身)的倒数之和，都等于2：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2.完数的个数极少，其出现看起来也没有什么规律，但有很多内在的特点和规律，很有点神秘，这也是“无序中的有序”的哲学和美学思想的例证吧。,数的组合和排列,河图（周易系辞上：“河出图，洛出书，圣人则之。”）,洛书,河图、洛书，还有八卦，是中国数字神秘主义及其“术数学”的基础。,杨辉（宋）：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。,幻方,这是一个33的幻方，各行、各列和两条对角线数字之和均为15。,七阶幻方（175）,设幻方的阶数为n，各行、各列和两对角线的数字之和Pn是：Pn=n（n21）/2n=3，Pn=3（9+1）/2=15;n=7,Pn=7（49+1）/2=175,四阶幻方（34）,美国1977年向外太空发射飞船，以寻求外星文明，搭载了一些能表示地球人类文明的图片，以期得到外星文明的理解。其中就有左图所示的四阶幻方。这表明，探索外星文明的美国研究人员认为，外星“人”也会计数，也是以符号，如“”的多少，一一对应进行计数。而幻方“奇妙”的数字排列，表达了一种智力。而且表达得“恰到好处”，太复杂的高级智力表达，怕外星人处于比地球文明低级一些的阶段，理解不了；太简单了，不足以表示我地球人的水平。,.,55,把这个幻方边上的列（或行）移到对边去，左边移到右边，右边移到左边，上边移到下边，下边移到上边，幻方都成立。实际上还有其他的解。,这个四阶幻方刻在11世纪一座印度神庙的石碑上。,杨辉三角形,115=161051,116=1771561,杨辉三角形,斜线求和得到数列：1,1,2,3,5，8，13前两项之和等于第三项。,.,58,中国古代的数字文化,术数学：象数（占卜）天数（占星）命数（宿命）礼数（礼制）律数（律吕）,说文：“数，计也。”，计数和计算。计数和计算，结果是确定的，带有一种必然的性质。于是“数”在古文中有规律的含义。吕氏春秋：“性者，万物之本也，不可长，不可短，因其固然而然之，此天地之数也。”在此，“数”有“道”的含义。因此，在中国古代，数（数学）有两个倾向：一是数学的实用主义，以问题为中心，寻求算法；一是数字的神秘主义，发展成“术数学”。,.,59,中西古代数学思想的比较,毕达哥拉斯:“万物皆数”。柏拉图认为圆的概念高于客观世界中圆的东西。现实世界中没有一样东西是严格符合圆的定义的。古希腊（奴隶社会的民主制城帮国家），在数学上建立了完备的公理体系，形成了定型的公理演绎系统，几何原理是人类智慧发展史的丰碑；同时不承认无理数，对“无限”心存疑虑等，偏废了算术和代数。古代中国（封建社会的集权制中央帝国），相对于希腊数学的逻辑化、几何化、理念化，数学的算法化和实用性的倾向十分明显，是以问题为中心的算法体系，在代数学的各种算法上有高度发展，但也限制了形式逻辑和演绎思想的产生和发展。希腊建筑-形，比例，立面，单体造型；中国建筑-数，构造，剖面，群体组合。,.,61,礼记中的部分礼数,孔子谓季子：“八佾（yi）舞于庭，是可忍，孰不可忍？！”,表中，为什么“舞蹈”一栏是双数，其他为单数？,.,62,“至今为止，世界上真正实现过建筑设计标准化和模数化的只有中国传统建筑。”李允鉌华夏意匠,宋营造法式:“凡构屋之制，皆以材为祖”，“材分八等”。（清朝以斗拱的“斗口”为基本等位）,.,63,木结构的梁由圆木开出，截面为矩形，对角线是园（木）的直径d，高宽比既决定了矩形的面积（出材率），也决定了做梁的承载力（截面惯性矩）。要想得到最大出材率，截面应是正方形h=w=0.707d，截面积s=0.5d2，Jh2w=0.354d3；如果截面是长方形，h:w=1.5，h=0.832d，w=0.555d，s=0.462d2，Jh2w=0.384d3。出材率略小，但截面惯性矩却大了；如果截面再窄高一些，h:w=2，h=0.894d，w=0.447d，s=0.4d2，Jh2w=0.358d3，截面惯性矩反而变小了，出材率更小。营造法式的材是h:w=3:2=1.5,.,64,宋式和清式木构架的比较,.,65,王贵祥先生研究中国唐宋木结构，发现檐高与柱高之比大致为正方形的对角线与边长之比。,.,66,.,67,音调和音程人听声音，除了声音大小，还有音调高低。音调的高低取决于发声体振动的频率f（Hz）。人耳难以判定一个音的具体频率是多少，但可以判定两个音的“音程”差，在听了（唱出）1(do)以后，识别出（唱出）i（高音do），这两个音差“八度音程”，后者的频率是前者的一倍。一个八度音程，对应频率是一倍，称为一个倍频程（Oct）。f2=2f1,钢琴键盘上中音A，f相当于440Hz，高八度到高音A，就是880Hz，频率增加一倍。低音A，就是220Hz。为了统一音律，必须确定音高的绝对标准，但在古代，没有仪器测量频率。在古希腊，毕达哥拉斯发现：琴弦长度减半，音调升高八度。长度作为度量衡之一，可以确定统一标准。但琴弦张紧程度不同，音调就改变，所以弦还是不能用来定标。,.,68,黄钟律吕中国古人也在寻找音调定标的器件。也发现了弦长减半，音调升高八度的现象，但也是因为弦的音高随张紧程度而变，无法用于定标。还有一种乐器被考虑过，就是钟。钟体大，音调低，钟体小，音调高。制定一套标准的大小不一的钟，就可对音调确定标准。钟体最大，音调最低的称为“黄钟”，以它为标准。但钟的复制很困难，尤其是钟壁厚薄很难控制。后来倾向于用管，管长减半，音调升高八度。每个国家都制定有长度标准（尺、寸），制定一套标准的长短不一的管，就可对音调统一标准。钟是金属铸造，不易损坏变形，有耐久性。以一套标准钟的音调为准，以和其音调相谐的管的长度定标。管可以方便的复制，控制长度即可。反过来，只要这个钟还在（钟耐久），就可以用它的音调确定管的长度，则国家的长度标准也就确定和传承了。这就是，以音律定国家长度标准（度），以长度标准定容积标准（量），以权重（一定体积的铁）和秤杆刻度（长度）或天平定重量（衡），于是度量衡三者都可定矣。这就是“黄钟律吕”。,.,69,.,70,大晟钟宋徽宗崇宁三年（公元1104年），在今河南商邱出土了六件春秋时期宋公成钟，因该钟出土于宋地，宋徽宗认为是祥瑞之兆，遂设立“大晟府”，以宋公成钟为式样铸成“大晟钟”，计12编，每编28只，共336件，每套钟基准音高都是黄钟宫，发送州府，作为标准音律定音，统一音高。1127年，金兵攻占东京后，虏徽、钦二帝北上，北宋灭亡。目前发现有25件大晟钟实物散存于海内外。大晟钟是宋代朝廷重要的测音和定音的工具。基准音高全都是C大调的1音。,.,71,27/12，28/12，29/12，210/12，211/12，212/121.49831.58741.68181.78181.88772,对应于钢琴键盘上，从中音C（1）到高音C（）共有12个键（白键和黑键），相邻两键音调相差一个半音，两个半音等于一个全音。但是，1234567（CDEFGABC）各基本音级之间相隔的距离并不平均，十二个半音构成了有八个基本音级的音列，各音之间音级的关系是“全全半全全全半”。3-4（E-F）之间，7-（B-C）之间是半音，其他之间是全音。具体分法是：,那么在一个八度音程（倍频程）中如何细分呢？中外历史上有所不同，但现代采用的是把一个八度音程分成12等分（十二平均律）,20/12，21/12，22/12，23/12，24/12，25/12，26/12，,11.0594631.12251.18921.25991.33481.4142,或写成：（21/12）n=（1.059463）nn=012,.,72,毕达哥拉斯与“五度相生法”那么古代是怎样认识这个问题的呢？古希腊就知道弦可发声，不同长度的弦发出的音，音调不同。毕达哥拉斯及其学派提出“万物皆数也”，认为世界万物都可以用整数和整数的比来表示。毕达哥拉斯企图用弦长的1/2，2/3，3/4来划分音阶，发现弦长减半，即原长的1/2，也就是现代声学的频率增加一倍，为2，音调提高八度；弦长是原长的2/3，也就是现代声学的频率增加为3/2=1.5，定为五度。如果原来弦长发音为do（1），2/3弦长发音就是sol（5）。它和现代十二平均律的值27/12=1.4983非常接近，人耳难以分辨两者的差异。然后在此基础上再做八度音程的细分，这叫“毕达哥拉斯率”，因为是以五度音程为基础生成全部音阶，所以又叫“五度相生律”。但因为现代的十二平均律是以2开12次方的各次幂来划分的，都是无理数，不可能用整数比来表示，所以“五度相生律”不可能用整数比的连乘,即1/1，2/3，3/4反复连乘，得到半弦长度的1/2。而弦长减半为1/2，频率加倍,是八度音程，这是不能改变的“定律”。所以“五度相生律”相生八度音阶，不能“还原”，有差值存在，称为“毕达哥拉斯差”。,.,73,三分损益法八度音程的细分在中国古代也是分成十二份（周礼春官典同：“凡为乐器，以十有二律为之数度。”），用的是“三分损益法”（汉书律历志：“三分其一而损益之，上生下生而十二律备矣。”）：把一个基本音的频率f0，对应于管长l0三等分。所谓“损”，就是去掉一份，保留2/3；所谓“益”，就是加上一份，成为4/3。如果基本音是低音，管长最长。假定“黄钟”为基本音，管长为1。管长截成2/3（“损”），频率提高为3/2=1.527/12=1.4983，低端频率是1f0，音调从1（do）到5（so），五度音。（和毕达哥拉斯的“五度相生法”相同）。如果以1.5f0为基本音，再做“益”，3/23/4=9/8=1.12522/12=1.1225，对应于2（re）；再作“损”，9/83/2=27/16=1.687529/12=1.6818，对应的是6（la）；再做“益”，27/163/4=81/64=1.26562524/12=1.2599，对应的是3（mi）；再做“损”，81/643/2=243/128=1.8984375211/12=1.8877，对应的是7（si），但辗转多次，误差已经较大。三分损益辗转相生第12次所得的第13律，音高略高于首律黄钟，即管长度略短，两者的长度比是524288:531441（219:312）=0.98654，而不是1。这就是中国古代律学中有名的“仲吕上生不及黄钟”的问题，亦即“黄钟不能还原”。,.,74,千年困扰，千年争议，直到明朝中叶朱载堉（15361611）提出“十二平均律”解决了这个问题。他把2开2次方，再开2次方，再开3次方，得到2开12次方，并计算到1.059463094359295264561825（25位数字），再求其值的n次方（n=012）。这确实是一个了不起的成就，后由传教士带到欧洲，巴赫写成了平均律钢琴曲集。十二平均律逐渐在欧洲和全世界范围内得到普及。德国物理学家亥姆霍茨这样评价朱载堉：“在中国人中，据说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”“这一发现彻底解决了困扰人们千年的难题，是音乐史上的重大事件。现代乐器的制造都是用十二平均律来定音的。”（中国科学技术史稿）,.,75,律吕与节气中国古代律吕学不仅是音乐范畴的问题，还与气候和节令密切关联。中国古代是农耕社会，种庄稼要知道节气，但中国古代使用的历法“阴历”是月亮历，不能以其月份和日期确定节气。节气是与地球围绕太阳运行的周期状态相关的，所以中国的24节气与阳历月份和日期的对应关系是固定的，只有一两天的变动。然而中国古代没有“阳历”，确定节气是通过“立杆测影”，观察垂直的立杆在当地正午时刻太阳照射下影长的变化来确定节气的。一年中杆影最长的那一天是冬至日，杆影最短的那一天是夏至日。河南登封的元郭守敬建的观象台是大尺度的“立杆测影”，而东汉的铜圭表，是小尺度的。,显然影长还和测点的地理纬度有关，西周时期的中原地区，纬度在北纬35左右。张杰教授在其刚刚出版的中国古代空间文化溯源对周髀算经和晋书天文志中两至晷影长度之差的“十二分法”进行了研究。就是把冬至杆影长度减去夏至杆影长度，分成12分，期间有11个分点，因为从冬至，影长缩短到夏至，再增长到冬至，每个分点经过2次，11个分点对应除冬至和夏至以外的22个节气，加上冬至和夏至，就是24个节气。在这里，我们又看到了“十二”划分，但“十二分”是等分的。可是张杰教授,根据晋书天文志绘制的两至晷影图（张杰）,计算了各分点的斜长（弦长），发现12根弦长相互之比竟然和“三分损益法”求得的12根律管长度之比很是接近。本来是乐律学的“十二律”和“三分损益法”，竟然和气候学的节气发生了关联。这不能说是巧合，而是反映了中国传统宇宙哲学内在的融贯性。,张杰教授还讨论了“律管候气”，详细论述可阅读中国古代空间文化溯源第一章第二节。,月令十二律管候气图（宋六经图卷，卷八）,数列,把数字按一定的规则加以排列：a1a2a3a4an项数N有限的数列为有穷数列；项数N无限的数列，N，为无穷数列；等差数列（算术级数），递推公式是：an+1-an=an-an-1=d1,2,3,4,5,6,7（d=1)4,7，10，13,16,19,22(d=3)等比数列（几何级数），递推公式是：an+1/an=an/an-1=p1,2,4,8,16,32(p=2)2,6,18,54,162(p=3)马尔萨斯人口原理：生活资料按算术级数增加，而人口是按几何级数增长的，因此生活资料的增加赶不上人口的增长是自然的、永恒的规律。三点结论：“、人口必然地为生活资料所限制。、只要生活资料增长，人口一定会坚定不移地增长，除非受到某种非常有力而又显著的抑制的阻止。、这些抑制和那些遏止人口优势力量并使其结果与生活资料保持同一水平的抑制，全部可以归纳为道德的节制，罪恶和贫困。”,斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，55,89意大利数学家斐波那契(Fibonacci)研究兔子繁殖问题得到的数列（1202年）：一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；两个月后，生下一对小兔，兔数共有2对；三个月以后，老兔子又生下一对，小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对；后一项等于前两项之和。an+1=an-1+an，通项是,杨辉三角形斜式求和，可以得到斐波那契数列。,当项数足够多时，前后两项之比接近于黄金分割之比：0.61803。21/34=0.617634/55=0.618255/89=0.6180,.,80,勒柯布西埃著名的人体模距图包含着斐波那契数列与黄金分割,5列数，从右到左，从下到上分别是：126，204，330，534，86311，19，30，49，78，126，204，330，534，863，1397，22606，9，15，24，39，63，102，165，267，432，698，1130，182963，102，165，268，432，698432，698，1130都是斐波那契数列：前两项之和等于第三项。最后两项之比：863:534=1.61610；2260:1396=1.61891；1829:1130=1.61858698:432=1.61574；1130:698=1.61891都与黄金分割比1.618034相近,.,81,公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索