次序统计量及其分布

5.3次序统计量及其分布,定义,定义5-3-1:设,为取自总体X的样本，,将其按大小顺序排序,则称X(k)为第k个次序统计量(No.kOrderStatistic),特别地，称,（5-3-1）,为最小顺序统计量(MinimumorderStatistic),称,（5-3-2）,为最大顺序统计量(MaximumorderStatistic)。,例5-3-1：设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布，其分布列为,现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有,种，现将它们以及由它们所构成的次序统,计量的一切可能值列在表中(P243)，,可见这三个次序统计量的分布是不相同的。,进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如x(1)和x(2)的联合分布列为,易于看出,不等于,即x(1)和x(2)是不独立的。,次序统计量的分布,（一）单个次序统计量的分布,定理5-3-1：设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为,（5-3-3）,证明：对任意的实数x，考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,x+x内这一事件，它等价于“样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间(x,x+x之间，而有k-1个观测值小于等于x，有n-k个观测值大于x+x”，其直观示意图见下图5-8.,图58x(k)的取值示意图,样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,x+x概率为F(x+x)-F(x),落入区间(x+x,b的概率为1-F(x+x)，而将n个分量分成这样的三组，总的分法有,种，于是，若以Fk(x)记x(k)的分布函数，则由多项分布可得,两边同除以x,并令x0,即有,推论1：最大次序统计量x(n)的概率密度函数为,推论2：最小次序统计量x(1)的概率密度函数为,(5-3-4),(5-3-5),例5-3-2:设总体X的密度函数为,现从该总体中抽得一个容量为5的样本，试计算,解：我们首先应求出x(2)的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为,由公式（5-3-3）可以得到x(2)的密度函数为,于是,（二）多个次序统计量的联合分布,仅讨论任意二个次序统计量的情形。,定理5-3-2：设总体有密度函数f(x),axb,（同样可设a=-,b=+)。并且1,2,n是取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量(1)0,则当n+时，样本p分位数mp的渐近分布为,特别地，对样本中位数有,（5-3-13）,例5-3-2:设总体X为柯西分布，其密度函数为,其分布函数为,易知，是该总体的中位数，即x=.,当样本容量n较大时，样本中位数m0.5的渐近分布为,五数概括与箱线图,次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下五个值：最小观测值xmin=x(1);最大观测值xmax=x(n);中位数m0.5;第一4分位数Q1=m0.25第三4分位数Q3=m0.75。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。,例5-3-4：表55是某厂160名销售人员某月的销售量数据的有序样本，由该批数据可计算得到：,五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成。图5-11是该例中样本数据的箱线图，其作法如下,下面就通过一个具体的实例说明之。,表511某厂160名销售员的月销售量的有序样本,（1）画一个箱子，其两侧恰为第一4分位数和第三4分位数，在中位数位置上画一条竖线，它在箱子内，这个箱子包含了样本中50%的数据；,图5-11月销售量数据的箱线图,（2）在箱子左右两侧各引出一条水平线，分别至最小值和最大值为止，每条线段包含了样本中25%的数据。,箱线图可用来对数据分布的形状进行大致的判断。图5-12给出三种常见的箱线图，分别对应对称分布、左偏分布和右偏分布。,左偏对称右偏,图5-12三种常见的箱线图及其对应的分布轮廓,如果我们要