平面图形的认识和计算

【知识引导】学生在掌握了各种平面图形的面积公式后，要通过多角度的练习，获得求图形面积的几种方法增强解决实际问题的能力。稍复杂的平面图形的面积都是由两个或两个以上的基本图形组合而成的，因而计算这些图形的面积先要搞清楚这个图形是由哪几个基本图形组合而成的，然后再采用适当的方法计算。解答这种问题要涉及以下几个方面的知识：面积公式、比和比例的应用、三角形的等积变形、方程等。由此可以采用以下的方法解答：(1)公式法：(2)方程；(3)整体减部分：(4)图形分割；(5)添加辅助线；(6)图形的平移、翻转等。【目标范例】例1.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。今将一个底面半径为2厘米、高17厘米的铁圆柱垂直放人容器中，则这时容器的水深是_厘米。【分析】放入一个圆柱体，也就是相当于水的体积在底面积不变的情况下增加了这个圆柱体的体积。解:根据圆柱的体积公式，得水的体积为5515(立方厘米)，铁圆柱的体积为 2217（立方厘米）。水和铁圆柱的体积之和（5515）+(2217)= 443=5544325（立方厘米）。总高为 44325 =17. 72（厘米）。这里注意一定要检验是否总高大于原有水和铁圆柱的高，17. 72显然大于17和15，所以符合要求。这时容器的水深是17. 72（厘米）。例2.泰毕是希腊神话中的巨人，他身高3米。如果我们将他的头顶和脚底分别看作一个点，那么当他围绕地球赤道走一圈时，他的头顶比脚底多走多少米？【思路点拨】要求头顶比脚底多走多少米，我们只要表示出头顶走的距离和脚底走的距离，进而比较，但是地球赤道长度不知道，就是知道也难于计算，就需要代数法了。【详细解答】设地球的半径为R则脚底走一圈的长度为2R = 2R 头顶走一圈的长度为2(R+3)=2R+6， 所以头顶比脚底多走 2R+6 -2R=6=18.84（米）。 答：他的头顶比脚底多走18. 84米。【题后反思】这里有趣的事实是头顶走的圆的半径比脚底走的圆的半径大3米，而周长只比它大18.84米，巨人走在月球或火星也是如此，值得一提的是字母很清楚、很简洁地证明了这一答案的唯一性。【现学现卖】1.（大联盟）将一根竹竿插入河中，插入泥中的占全长的14。水面以下部分占全长的25，如果水面以下部分长136厘米，那么这根竹竿长_分米，插入泥中的长_分米。2.小明的房间里有一个鱼缸，长120厘米，竟60厘米，水深50厘米。一天，小明不小心碰 坏了鱼缸，所有的水都流到地板上，如果这个房间长4米，宽2米，这个房间平均水深_ 厘米。3.如右图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE 于O，OB长9厘米，则AE长 _厘米。 A B O D E C【目标范例】例3.大雪后，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。小明的平均步长为54厘米，爸爸的平均步长为72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印。这个花圃的周长是_米。【分析】首先雪地上留下的60个脚印不是规律平均的，所以无法直接利用得出答案，再看“两人的脚印有重合”说明了什么呢？这是不是公倍数的问题呢？不错，利用公倍数可以知道在多少步时两人的脚印重合。解:54和72的最小公倍数是216，216=544- 723，所以小明走4步，爸爸走3步，此时两人走的距离相等，在雪地上共留下5个脚印。这时两人就好比重回到了起点，所以每5个脚印就是一个循环，而且第5个重合。所以花圃的周长为216(605)=2592（厘米），注意不要忘记单位的换算，这个花圃的周长是25.92米。 【现学现卖】4.火车主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转300周，每小时可行_米。5.用一根绳子围成一个正方形，又用这根绳子围成一个圆，结果圆的半径比正方形的边长少2(-2)米，求这根绳子的长。【目标范例】例4. 射箭运动的箭靶由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做l环。问10环面积是1环面积的分之_。【分析】本题的关键是对环与圆的正确判断。不要认为1环就是最外面一个大圆的面积。解:10环的圆的面积是10环半径10环半径。根据两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径，可得9环外面圆的半径就是2倍的10环半径，同理l环外面圆的半径就是10倍的10环半径，1环里面圆的半径是9倍的10环半径，1环的面积=1环外面圆的面积-1环里面圆的面积=（1010环半径）（1010环半径）-（910环半径）（910环半径）=1910环半径10环半径，可见10环面积是1环面积的119 。【现学现卖】6.鄱阳湖的面积是3960平方千米，洞庭湖的面积比鄱阳湖面积的13 大1 100平方千米，洞庭湖的面积是_平方千米。7一辆拖拉机2小时可耕地8000平方米，照这样计算，一块长80米，宽50米的地，拖拉机 _小时才能耕完。8某农场有一块平行四边形稻田，底是200米，高是150米。现在已经收割了075公顷， 余下的要在5天内收割完。平均每天收割_公顷。9一间教室长8米，宽6米，高4米，要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，除去门窗和黑板面积 25.4平方米，粉刷的面积是_平方米。10一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1. 2米，镶瓷砖的面积是_ 平方米。【资优挑战】 一. 填空题：1一个正方形的周长和一个圆的周长相等，如果圆的半径是15厘米，那么正方形的边长是_ 厘米。2.把一块棱长为1米的正方体钢块，铸造成底面积为0.12平方米的一个圆柱，再按1:3分成两段，求每段圆柱的长各是_米。3若一个长方形的宽减少20%，而面积不变，则长应当增加百分之_.4.给一间房铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需_块。5.校园内修建2个直径5米的花坛，求花坛占地_平方米。6.李老师安排35人到面积分别是60平方米.80平方米的甲、乙两个校园参加除草劳动。若按面积大小分配人员，两个校园各应派_人去除草。7.一个长方形和一个圆的周长相等，已知长方形的长是10厘米，宽是5.7厘米。圆的面积 是_ 。8.公园要修建一个圆柱形温泉水池，水池直径6米，深0.5米。公园决定在温泉水池的内壁和底部贴上瓷砖，如果园长请你购买规格为长0.2米，宽0.1米的长方形瓷砖，那么你准备购进这种规格的瓷砖_块。【实战演练】一.填空题：1.一个圆柱形水桶的容积是50.24升从里面量底面半径是2分米，装了34桶的水，水面高 是_分米。2.圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，高20厘米，水深10厘米，现将一根底 面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深 _厘米。3.大龙和小龙制作了两个铁环推滚玩耍，大龙的铁环的周长比小龙的长44厘米，他们用推滚铁环来测量村头一座桥的长度，大龙的铁环从桥头到桥尾转了80圈，小龙的铁环则转了100圈。这样他们很快测出了这座桥的长度。你会吗？试列式计算并加以说明。 4.某建筑物有6根大圆柱体要油漆，每根圆柱的底面周长2.8米，高5.5米，按1千克油漆可漆5平方米计算，漆1根大圆柱的侧面，需要用_千克的油漆。5.长62.8厘米的铁丝在一根圆木棒上刚好绕10周，这根木棒横截面的面积是_平方厘米。6.学校走廊有5根相同的圆柱形木柱，底面周长是9.42分米，高4米。要油漆这些木柱，如果每平方米用油漆25克，共需要_千克油漆。7.用3个长3厘米、宽2厘米、高l厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是_平方厘米。8.给直径0. 75米的水缸做一个木盖，木盖的直径比缸口直径大15厘米。木盖的面积是_ 平方米。1. 平面图形的认识【目标范例】 例题1.太原市尖草坪区小学毕业卷）下图中共有( )条直线、( )条射线和( )条线段。 A B C D方法点拨： 此题主要考查直线、射线和线段的特征。直线无端点，可以向两端无限延伸。射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，所以图中的每一个点都可以看作是射线的端点，从一个点向左或向右延伸，分别得到两条射线。线段有两个端点，任意两个端点间的一段都可以看作一条线段，以A为左端点有AB、AC、AD三条线段，以B为左端点有BC、BD两条线段，以C为左端点有CD一-条线段。【答案】 l 8 6例题2. （太原市育英中学招生卷）如图，从A、B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应该怎样挖？请你在图中画出来。如果这幅图的比例尺是13000，那么从A村挖的水渠实际长约多少米？ B A方法点拨： 根据“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”，分别过A.B两点画与其相对应的河道的垂线段即可。要求从A村挖的水渠长度，先在图中量出过A点画的垂线段长，再根据所给的比例尺，即可求出实际长度。【解析】分别过点A、B画河道的垂线交河道于点C、D，AC、BD即为所求的最短水渠。量得从A到河道的垂线段的长度约为1.3厘米，所以实际长是：1.313000=3900（厘米）=39（米） 例题3. （抚顺市新抚区小学毕业卷）下图中， AOB=DOC=900，BOD=360，则AOC=( )。 A C B O D方法点拨：求角的度数时要仔细观察角与角之间的相互关系。图中3个角由4条射线相交于一点组成，且由已知条件得，COB和BOD为同一个直角的两部分，所以BOD=900-BOC,同理AOC=900- BOC，所以A0C=B0D=360。 【答案】 360例题4. （上海市徐汇区小学毕业卷）若一个三角形三个内角的度数比是6：2：1，那么这个三角形是( )三角形。 按角对三角形进行分类时，根据一个三角形中最大的角的度数来判定这个三角形的形状。如果最大的角度数大于900，是一个钝角三角形；如果等于900，是一个直角三角形；如果小于900，是一个锐角三角形。 三角形的三个内角和是180。，而这三个角的度数比是 6：2:1，则三角形中最大的角是：180066+2+1=1200 ，因为120。的角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。【答案】 钝角例题5.（上海市西南模范中学分班卷）数一数，图中有( )个长方形。 方法点拨： 此题主要考查长方形的计数方法，可以利用数线段昀方法，分别计算出行、列中所包含的长方形的个数，再求一共有多少个长方形。在一行中的长方形个数为：5+4+3+2+1=15（个），在一列中的长方形个数为：4+3+2+1=10（个），所以一共有长方形：1510=150（个）。【答案】150【现学现卖】 1（南京市东山外国语学校招生卷）如下图，一共有( )条线段。2（广州市培正中学招生卷）如下图，AB长2厘米， BC长5厘米，CD长6厘米，DE长3厘米，EF 长1厘米。那么，图中所有线段的总长是( ) 厘米。A B C D E F3（长沙市长郡双语实验中学招生卷）直线a、b、c在 同一平面内，a与b互相垂直，b与c互相垂直，那么a与c互相( )。 A.垂直 B.平行 C. 垂直或平行4（厦门市集美中学招生卷）如下图，刘叔叔从点A出发去河边挑水，再到点B处浇地。请你设计一条最短的路线，画在图中。如果这幅图的比例尺是1：500，根据你设计的路线，刘叔叔大约要走多少米？（测量时保留整厘米数） B A 河5.（上海市上宝中学招生卷）在下图中，如果1=2 =450，则共有( )个锐角、( )个直角和( )个钝角。 1 26（广州市江南中学招生卷）求下图中l、2、3的度数。 1 420 2 37（苏州市迎春中学招生卷）如下图，l=( )。 700 1 6008（上海市文来中学分班卷）1、2、3是三角形的 三个内角。2的度数是1的2倍，3的度数是1的3倍。这个三角形是( )三角形。9.（苏州市相城实验中学分班卷）如下图，AOC=COD=DOB如果图中所有角的度数和等于1500，那么AOB=( ) A C D O BlO（天津市海河中学招生卷）如图，直角三角形ABC中，A是直角，PB、PC分别平分两个锐角，则 BPC=( )度。 A P B C11（北京市育英中学招生卷）数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN(如图)，让同学们 在直线l和射线AN上各找一点B和C，使以A、 B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画多少个？ lA N13（无锡市东林中学招生卷）数一数，图中长方形共有( )个。14（南昌市豫章中学招生卷）在下面关于直径的说法中，错误的有( )个。 通过圆心的线段是直径。 两端都在圆上的线段是直径。 圆内最长的直线是直径。 一个圆内任意两条半径相连就是直径。 A1 B2 C3 D42.平面图形的测量【目标范例】 例题1. （长沙市周南中学招生卷）如图，在ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍。如果ADE的面积等于2平方厘米，那么ABC的面积是多少？ A D E B C方法点拨： 连接BE，AB=6AD，ADE与ABE的高相等，所以 SABE=6SADE，同理，AC=3AE，ABC与ABE的高相等，所以SABC=3SADE。【解析】连接BE，SABE=6SADE=26=12（平方厘米），SABC=3SADE=123=36（平方厘米）。例题2. （北京市实验中学分班卷）如下图，求阴影部分的面积。（单位:cm） F E D 8 M 6 A 8 B 6 C方法点拨： 此题主要考查利用包含、排除及转化的思想求图形面积的能力。从四边形ACDE中排除掉空白三角形ACD的面积后即得阴影部分的面积，四边形ACDE的面积可看成是左边大三角形与右边梯形的面积和，也可以看成是左边三角形、右边正方形加上右上角阴影三角形的面积。【解析】 SAED=SAEB+S梯形BCDE-SACD =882+(8+6)62-6(8+6)2 =74-42 =32(cm2)例题3. （太原市太钢一中分班卷）如图，长方形ADEF的面积是16 cm2，三角形ADB的面积是3 cm2，三角形ACF的面积是4 cm2求三角形ABC的面积。 A F C D B E 方法点拨： 仔细观察，添加辅助线AE，由图知，三角形ADE的面积等于长方形面积的一半：162=8(cm2)，则三角形ABE的面积为(8-3) cm2。同理，三角形AEC面积为(8-4) cm2。因为SAFC=SACE，因此三角形AEC与三角形ACF等底等高，所以C为EF的中点。又三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，所以三角形BEC的面积为：52=2.5cm2)，进一步可以求出三角形ABC的面积。【解析】 SADE=162=8(cm2) SABE=SADE-SADB=5(cm2)SACE=SAFE-SACB=4(cm2)因为SACF=SACE ，且两个三角形等高，所以，FC=EC。 SBCE=12SABE=2.5(cm2) SABC=S长方形ADEF-SADB-SACF-SBCE=16-3-4-2.5=6.5(cm2) 例题4. （长沙市岳麓区小学毕业卷）下图中圆的周长是32.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。请你计算阴影部分的周长。 O方法点拨： 阴影部分的周长也就是长方形的周长减去两条半径的长再加上圆周的长度。而长方形的宽就是圜的半径，所以阴影部分的周长就是长方形的两条长加上14 圆周的长度。依题意，圆的面积和长方形的面积相等，设长方形的长为b厘米，宽是圆的半径r厘米，那么根据面积相等，可知：br= r2，又根据圆的周长，可知：2 r=32.8，于是结合起来可求出阴影部分的周长。【解析】设长方形的长为6厘米，圆的半径为r厘米。圆周的长：142 r =32.814=8.2（厘米）据此可得：， r=16.4长方形的面积：br= r2b= r=16.4阴影部分的周长：2b+142 r=216.4+8.2=41（厘米）例题5 . （太原市三十七中分班卷）如下图，四边形ABCD是长方形。其中弧AE以点B为圆心、AB为半径，弧AF以点D为圆心、AD为半径。计算阴影部分的面积。（单位：cm） A 6 D 4 乙 甲 B E C F方法点拨： 在计算这类组合图形的阴影面积时，需要把阴影部分转化为常见的图形的面积的差或和。图中阴影部分的面积是半径为6 cm的 14 大圆面积减去图中空白部分甲的面积，而图中空白部分甲的面积等于长方形面积减去半径为4cm的 14 小圆面积。【解析】 S阴影部分=14 S大圆-S长方形-14S小圆 = 1462-64-1442 = 16. 82(cm2) 例题6. （北京市月坛中学分班卷）如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，ABC=300，求阴影部分的面积。（得数保留两位小数） D C A O B方法点拨： 阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。三角形BOC的底边BO是平行四边形底边AB的一半，且两者的高相等，所以三角形BOC的面积是平行四边形面积的（1212）。【解析】半径：42=2（厘米）扇形的圆心角： 1800-（ 1800- 3002）= 600 E D扇形的面积：3.142260360 2.09（平方厘米） 6 C三角形BOC的面积：71212 = 1.75（平方厘米）阴影部分的面积：7-(2.09+1.75)=3.16（平方厘米） A 3 O B 例7图例题7. （天津市二十五中招生卷）如下图，四边形AODE是长方形，以点0为圆心、AO为半径画一个半圆，构成如图所示的阴影部分。求阴影部分的面积。（单位：厘米）方法点拨： 此题考查了组合图形的面积和割补的思想。题目中所要求的阴影部分的面积有两块，但为了便于求解，可以运用“割补法”将两块阴影合成一块。将右边的小弓形阴影切割后移动到左边补上，从图中可以观察到割补后整个阴影部分是一个梯形，可以用长方形AODE的面积减去三角形AOC的面积求出阴影部分面积。【解析】由图知，经过割补后，阴影部分的面积=长方形AODE的面积-三角形AOC的面积=36-332 =8-4.5=13.5（平方厘米）【现学现卖】1（北京市二中分班卷）用三个大小相筹的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是24厘米，每个正方形的边长是( )厘米，这个长方形的面积是( ) 平方厘米。2（南京市南师附中仙林学校初中部招生卷）一根长60cm的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积最大是（ ）cm23（上海市文绮中学招生卷）如下图所示，将四张长为 16 cm、宽为2 cm的长方形纸条垂 直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是( )。 A 72 cm2 B. 128 cm2 C. 124cm2 D. 112cm2 4（杭州市东南中学分班卷）正方形的一组对边增加6 cm，另一组对边减少4 cm，结果得到的长方形面积与原正方形面积相等。那么原正方形的面积是( )cm2。5（天津市南开中学分班卷）两个长方形和一个正方形拼成一个大正方形，两个长方形的面积如图所示，则大正方形的面积是多少？ 6.75m2 9m26（上海市立迭中学招生卷）如图所示，长方形ABCD中，AD长6 cm，AB长5 cm，ADE、四边形DEBF 及CDF的面积分别相等，则DEF的面积为 ( ) cm2. A D E B F C7（广州市广雅中学招生卷）下图中，AB=3厘米