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抛物线与圆综合题(类似49题)1如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为(4,),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式及A、B两点的坐标;(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;(3)以AB为直径的M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式解:(1)由题意,设抛物线的解析式为y=a(x4)2(a0)抛物线经过(0,2)a(04)2=2解得:a=y=(x4)2即:y=x2x+2当y=0时,x2x+2=0解得:x=2或x=6A(2,0),B(6,0);(2)存在,如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4,因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小B(6,0),C(0,2)OB=6,OC=2BC=2,AP+CP=BC=2AP+CP的最小值为2;(3)如图3,连接MECE是M的切线MECE,CEM=90由题意,得OC=ME=2,ODC=MDE在COD与MED中CODMED(AAS),OD=DE,DC=DM设OD=x则CD=DM=OMOD=4x则RtCOD中,OD2+OC2=CD2,x2+22=(4x)2x=D(,0)设直线CE的解析式为y=kx+b(k0),直线CE过C(0,2),D(,0)两点,则解得:直线CE的解析式为y=+2;6如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,4),M是ABC的外接圆,M为圆心(1)求抛物线的解析式;(2)求阴影部分的面积;(3)在x轴的正半轴上有一点P,作PQx轴交BC于Q,设PQ=k,CPQ的面积为S,求S关于k的函数关系式,并求出S的最大值解:(1)由抛物线经过A(1,0),B(4,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x4),将C(0,4)代入上式中,得4a=4,a=1y=(x+1)(x4)=x23x4(2)A(1,0),B(4,0),C(0,4)OB=OC=4,OA=1OBC=45,AMC=90AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17AM2=CM2=,S阴影=(3)OBC=45,PQx轴;BP=PQ=k,S=k(4k)=k2+2k当k=2时,Smax=27已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a0)的函数关系式及点C的坐标;(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标解:(1)抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过A(3,0),B(4,1)两点,解得:,y=x2x+3;点C的坐标为:(0,3);(2)假设存在,分两种情况:当PAB是以A为直角顶点的直角三角形,且PAB=90,如图1,过点B作BMx轴于点M,设D为y轴上的点,A(3,0),B(4,1),AM=BM=1,BAM=45,DAO=45,AO=DO,A点坐标为(3,0),D点的坐标为:(0,3),直线AD解析式为:y=kx+b,将A,D分别代入得:0=3k+b,b=3,k=1,y=x+3,y=x2x+3=x+3,x23x=0,解得:x=0或3,y=3,y=0(不合题意舍去),P点坐标为(0,3),点P、C、D重合,当PAB是以B为直角顶点的直角三角形,且PBA=90,如图2,过点B作BFy轴于点F,由(1)得,FB=4,FBA=45,DBF=45,DF=4,D点坐标为:(0,5),B点坐标为:(4,1),直线BD解析式为:y=kx+b,将B,D分别代入得:1=4k+b,b=5,k=1,y=x+5,y=x2x+3=x+5,x23x4=0,解得:x1=1,x2=4(舍),y=6,P点坐标为(1,6),点P的坐标为:(1,6),(0,3);(3)如图3:作EMAO于M,直线AC的解析式为:y=x3,tanOAC=1,OAC=45,OAC=OAF=45,ACAF,
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