山西省太原市2020届高三数学模拟试题（一）理 答案.pdf

第 1 页 共 6 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学数学试题试题（理）（理）参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（每一、选择题（每小小题题 5 5 分分，共，共 6060 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 b a c a d b d c a d c d 二二、填空、填空题题（每（每小小题题 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 22 1 412 xy 14 1 2 15 3 3 16 835 三、解答三、解答题题（共（共 7070 分）分） （一）必考题（一）必考题 17. （本小题满分 12 分） 解解() 22 2 (sinsin)()sinbaracc ， 22 22 (sinsin)2 ()sinrrbar acc ， 即 222 bacac ， .3 分 222 1 cos 22 acb b ac ， .5 分 0b ， 2 3 b . .6 分 () 7,2bc ，由正弦定理 sinsin bc bc 得 21 sin 7 c ， .8 分 由b c ，故c为锐角， 2 7 cos 7 c ， .9 分 232 712121 sinsin()sin 3272714 abcc . .12 分 18. （本小题满分 12 分） 解()ae 平面bce，be 平面bce，bc 平面bce ， ,aebe aebc ， .2 分 又bc ab ，ae aba ，bc 平面abe，.4 分 第 2 页 共 6 页 又bc 平面abcd，平面abcd 平面abe. .6 分 ()如图所示，建立空间直角坐标系a xyz ， 1,2,aeabaebe , 3be ， 3 1 (0,2,0),(,0) 22 be , .8 分 假设线段ad上存在一点f满足题意，设 (0,0, )fh，(0)h ， 易知平面abf的一个法向量为 (1,0,0)m ，.9 分 设平面bef的一个法向量为 ( , , )nx y z ，而 33 (,0),(0, 2, ) 22 bebfh ， 则 0, 0, n be n bf ，即 33 0 22 20 xy yhz ，所以可取 2 ( 3,1, )n h ，.10 分 由 2 23 cos, 24 4 m n m n mn h ，可得 2h . 存在点f当 2af 时，二面角a bfe 所成角为 0 45 . .12 分 19. （本小题满分 12 分） 解()该混合样本阴性的概率是 2 2 28 () 39 ， .2 分 根据对立事件原理，阳性的概率为 81 1 99 . .4 分 () 方案一：逐个检验，检验次数为 4. .5 分 方案二：由（）知，每组 2 个样本检验时，若阴性则检验次数为 1，概率为 8 9 ； 若阳性则检验次数为 3，概率为 1 9 . 设方案二的检验次数记为，则的可能取值为 2,4,6 其分布列如下， 可求得方案二的期望为 6416119822 ( )246 818181819 e . .9分 2 4 6 p 64 81 16 81 1 81 z y e a d b c f x 第 3 页 共 6 页 c a f1 f2 b y x 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为 1,5. 其分布列如下， 可求得方案三的期望为 6417149 ( )15 818181 e . .11 分 比较可得( )( )4ee，故选择方案三最“优”. .12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，其中 22 1ba ， 由已知当2时，不妨设 2 bfm，则 2 2afm， 1 abbf， 1 3bfm， 由椭圆定义得24am，从而 12 2afafm， .2 分 故此时点a在y轴上，不妨设 a(0,)b，从而由已知条件可得 3 ( ,) 2 2 b b，.4 分 代入椭圆方程，解得 2 3a ，所以 22 1ba =2， 故所求椭圆方程为 22 1 32 xy . .6 分 （）直线bc过定点(2,0)h，证明如下， 设直线ab方程为1xmy，代入椭圆 22 236xy中， 22 2(1)36myy，即 22 (23)440mymy， 设 11 ( ,)a x y， 22 (,)b xy， 则 12 2 4 23 m yy m ， 12 2 4 23 y y m ， 12 12 yy m y y ， 由题设知 1 (3,)cy，直线bc斜率 21 2 3 bc yy k x = 21 2 2 yy my 21 12 1 2 yy yy y 1 y ， bc直线方程为 11( 3)yyy x，化简得： 1( 2)yy x，故直线bc过(2,0). 另解：另解： （）设 11 ( ,)a x y， 22 (,)b xy，代入椭圆方程 1 5 p 64 81 17 81 第 4 页 共 6 页 得 22 11 236xy, 22 22 236xy, 两边同乘以 2 , 得 22222 22 236xy, -, 得 2 12121212 2()() 3()()6(1)xxxxyyyy , 由 22 aff b, 得 12 1xx， 12 0yy, 将 12 1xx， 12 0yy代入化简得： 12 3(1)xx, 从而 1 2x， 2 1 2x，即 2 (2)3 2x，又 12 yy, 于是ch hb， ,c h b三点共线，因此无论如何变化，直线bc过定点(2,0)h. 21.（本小题满分 12 分） 解（） ( )sincossincosfxxxxxxx , .1 分 当 (0,) 2 x 时， cos0,( )0 xfx ， ( )(0)1f xf ， ( )f x无零点; .2 分 当 3 (,) 22 x 时， cos0,( )0 xfx ，而 ()0 22 f ， 33 ()0 22 f ， ( )f x有唯一零点; .3 分 当 35 (,) 22 x 时， cos0 x ， ( )0fx ，而 55 ()0 22 f ，( ) f x有唯一零点 ; . 4分 综上， ( )f x在 5 (0,) 2 有两个零点. .5 分 （）证明 22 sincos( ) ( ) xxxf x g x xx , .6 分 由（）知( )g x在(0, ) 2 无极值点； 在 3 (,) 22 x 有极小值点，即为 1 x，在 35 (,) 22 有极大值点即为 2 x， 而 ()0 22 f ，( )10f ， 33 ()0 22 f ，(2 )10f ， 可知 1 (,) 2 x ， 2 3 (, 2 ) 2 x ， 同理在 5 (,3 ) 2 有极小值点 3 x，在 (21) , 2 n n 有极值点 n x. 第 5 页 共 6 页 由 sincos0 nnn xxx ，得 cos sin n n n x x x ， 1 tan n n x x , 12 xx ， 12 11 xx ， 112 tan()tantanxxx , 而 1 3 (, 2 ) 2 x ， 2 3 (, 2 ) 2 x ，故有 12 xx , 12 1212 12 coscos ( )()sinsin xx g xg xxx xx 12 sin()sinxx sinyx 在 3 (, 2 ) 2 是增函数， 12 sin()sin0 xx , 即 12 ( )()0g xg x ； .8 分 同理， 21 43 ,(21) 2 k k xk ， 2 41 , 2 2 k k xk ， 212 41 2 2 kk k xx ，由 sinyx 在 41 , 2 2 k 递增得 212212 ()()sin()sin0 kkkk g xg xxx ， .10 分 当n为偶数时，不妨设 2nk ，从 1 ( )g x 开始相邻两项配对，每组和均为负值， 即 1234212 ( )()()()()0 kk g xg xg xg xg xg x ） ，结论成立； 当n为奇数时， 设 21nk ， 21 41 , 21 2 k k xk （） ， 2121 ()sin0 kk g xx ， 从 1 ( )f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即 123421221 ( )()()()()()()0 kkk g xg xg xg xg xg xg x ，结论也成立. 综上，对一切 nn ， 123 0 n g xg xg xg x 成立. .12 分 （二）选考题（二）选考题 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分） 解（）设点,m x y，(3cos ,3sin )p，且点6,0q，由2pmmq， 得 4cos , sin , x y .2 分 第 6 页 共 6 页 整理得 2 2 41xy, 即 22 8150 xyx， .3 分 化为极坐标方程为 2 8 cos150. .5 分 （）设直线l：ykx的极坐标方程为. 设 1, a ， 2, b ， 因为 4oaab ，所以5 4oaob ，即 12 54， .6 分 又 2 8cos150 ， 则 12 12 12 8, 15, 54, cos 解得 9 3 cos 16 ， .8 分 所以 22 2 113 tan1 cos243 k ， 9 27 3 k . .10 分 【选修 4-5：不等式选讲】 23.（本小题满分 10 分） 解解： （）函数 ( )2221f xg