广西壮族自治区桂平市第五中学2020届高三数学下学期联考试题 文（PDF）

【 届高三数学（ 文） 试题第 页（ 共 页） 】 数学（ 文） （ ） （ 试卷总分 分 考试时间 分钟） 题号第卷第卷总分合分人复分人 得分 第卷（ 选择题 共 分） 得分评卷人 一、 选择题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的 已知复数 的共轭复数为 ， 且（ ） （ 为虚数单位） ， 则 （ ） 槡槡 已知集合 槡 ， ， 则 （ ） ， ， ， ， ， 已知 （ ） ， ， ， （ （ ） ） ， ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ） 把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“ 幸运数” ， 则在 这 个数中， 能称为“ 幸运数” 的个数是（ ） 函数 （ ） （ ） 的部分图象可以为（ ） ? ? ? ? ? ? ? ? 某市为庆祝建国 周年， 营造一个安全的交通出行环境， 方便市 民出行， 对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查， 现从中随 ? ? ? ? ? ?运行年限 频率 组距 机抽出 辆出租车， 已知抽到 的出租车的行驶年限都在（ ， 年之间， 根据调查结果， 得到出租 车行驶年限情况的残缺频率分布 直方图， 如图所示， 利用这个残缺 的频率分布直方图估计出租车行 驶年限的中位数大约是（ ） 的值为（ ） 槡 槡 槡 已知单位向量 ， ， 且 （ ， ） ， 若 ， ， 则下列式子一定成立的是（ ） 如图所示的程序框图， 输入 ， 若输出的值为 ， 则判断框内 应填入的条件为（ ） 开始 输入? ? ? 结束 输出? 否 是 已知椭圆 ： （ ） 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点， 且 ， 若坐标原点 到直线 距 离是 槡 ， 且椭圆的焦距为 槡 ， 则 （ ） 在 中， 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ， （ ） ， 则 （ ） 已知双曲线 （ ， ） 的渐近线与圆 在 第一象限的交点为 ， ， 分别是双曲线的左， 右焦点， 若 ， 则双曲线的离心率 （ 槡 ） 的值为（ ） 槡 或槡 槡 题号 答案 第卷（ 非选择题 共 分） 本卷包括必考题和选考题两部分， 第 题为必考题， 每个 试题考生都必须作答， 第 题为选考题， 考生根据要求作答 得分评卷人二、 填空题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 把答案填在题中横线上 曲线 （ ） 在点（ ， （ ） ） 处的切线与抛物线 相切， 则 已知 是数列 的前 项和， ， 数列 是公差为 的等差数列， 则 函数 （ ） 的最小正周期为 在三棱锥 中， 底面 是以 为斜边的等腰直角三角 形， ， 当其外接球的表面积为 ， 且 点到底面 的距离为 时， 则侧面 的面积为 【 届高三数学（ 文） 试题第 页（ 共 页） 】 得分评卷人三、 解答题： 解答应写出文字说明， 证明过程或演 算步骤 （ 分） 某市实验中学数学教研组， 在高三理科一班进行了一次 “ 采用两种不同方式进行答卷” 的考试实验， 第一种做卷方式： 按 从前往后的顺序依次做； 第二种做卷方式： 先做简单题， 再做难 题 为了比较这两种做卷方式的效率， 选取了 名学生， 将他们 随机分成两组， 每组 人 第一组学生用第一种方式， 第二组学 生用第二种方式， 根据学生的考试分数（ 单位： 分） 绘制了茎叶图 如图所示 （ ） 若 分（ 含 分） 以上为优秀， 根据茎叶图估计两种做卷 方式的优秀率； （ ） 设 名学生考试分数的中位数为 ， 根据茎叶图填写下面的 列联表： 超过 中 位 数 的人数 不超 过 中 位 数 的人数 合计 第一种做卷方式 第二种做卷方式 合计 根据列联表， 能否有 的把握认为两种做卷方式的效率有差 异？ 附： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） 第一种答题方式第二种答题方式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 分 ） 正项数列 的前 项和为 ， 且 （ ） （ ） 证明： 数列 为等差数列； （ ） 求使 槡 成立的 的最小值 【 届高三数学（ 文） 试题第 页（ 共 页） 】 （ 分） 如图， 在直三棱柱 中， ， 槡 ， ， ， 分别为 ， 的中点 （ ） 求证： 平面 ； （ ） 设 为 上一点， 且 ， 求点 到平面 的距离 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 分 ） 已知函数 （ ） ， （ ） （ ） ， （ ） 为 （ ） 的导数 （ ） 求证： （ ） 在区间 ， 上存在唯一零点； （ 其中， （ ） 为 （ ） 的导数） （ ） 若不等式 （ ） （ ） 在 ，） 上恒成立， 求 实数 的取值范围 【 届高三数学（ 文） 试题第 页（ 共 页） 】 （ 分） 已知抛物线 ： （ ） 的焦点为 ， 准线 与 轴交 于点 ， 过点 的直线交抛物线于 ， 两点， 点 在第一象限 （ ） 若 ， 槡 ， 求直线 的方程； （ ） 若 ， 点 为准线 上任意一点， 求证： 直线 ， ， 的 斜率成等差数列 请考生在第 、 题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第 一题计分 （ 分） 【 选修 坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 （ 为 参数） ， 以坐标原点 为极点， 以 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系， 直线 的极坐标方程为 槡 （ ） 求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （ ） 已知点 是曲线 上的任意一点， 求点 到直线 的距离的 最小值 （ 分） 【 选修 不等式选讲】 已知 ， ， （ ） 若 ， 求证： ； （ ） 若 ， 求证： 你选做的题目是 题（ 填 、 ） 答案： 数学（ 文） 数学（ 文） 参考答案 （ 解析： （ ） ， ， 则 槡 槡 槡 ， 故选 ） （ 解析： 槡 （， ， ， ， ， ， 故选 ） （ 解析： 由题设知， （ （ ） ） （ ） ， ， ， 又 ， ， 则 ， 故选 ） （ 解析： 设两个连续奇数为 ， （ ） ， 则它们的平方差为（ ）（ ） （ ）， 故“ 幸运数” 即为能被 整除的正整 数， 在 这 个数中， 幸运数组成一个首 项为 ， 公差为 的等差数列， 末项为 ， 设共有 个幸运数， 则 （ ） ， 解得， ， 故选 ） （ 解析： （ ） ， 函数 （ ） 是奇函 数， 则图象关于原点对称， 则排除 、 ， 又 （ ） ， （ ） ， 则排除 ， 故选 ） （ 解析： 由频率分布直方图知， 数据位于 ， ） 的频率为 （ ） ， 前三个矩形的面积之和为 ， 则中位数位于区间 ， ） ， 设中位数 ， 则 （ ） ， 解得， ， 故 选 ） （ 解析： （ ） （ ） 槡 槡 ， 故选 ） （ 解析： ， ， ， 是单位向量且 ， ， ， 故选 ） （ 解析： 由程序框图知， ， ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 是， 输出结果 ， 结束程序， 故选 ） （ 解析： 过 ， 作直线 的垂线， 垂足为 ， ， 则 ， 由题设知， 槡 ， 是 的中点， 槡 ， 在 中， ， ， 由椭圆的定义知， ， 在 中， 由余弦定理得， （ ） （ ） （ ） ， 化简得， ， 又椭圆的焦距为 槡 ， 槡 ， 则 ， 故选 ） （ 解析： 由正弦定理及 得， ， ， ， ， 则 ， 由余弦定理得， ， 又 （ ） ， ， 即 ， ， 故选 ） （ 解 析： 由 得， （ ， ） ，又 （ ， ） ， 则 ， 化简得， ， 即 ， 解得 或 ， 槡 ， 槡 ， 故选 ） 或 （ 解析： （ ） ， （ ） ， 则曲线 （ ） 在点（ ， （ ） ） 处的切线的 斜率为 （ ） ， 又切点为（ ， ， ） ， 切线方 程为 ， 联立 得， （ ） ， （ ） ， 解得， 或 ） （ 解析： 数列 是公差为的等差数 列， ， 即 （ ） ， 又 ， 数列 是公比为 的等比数列， 则 ， ） （ 解 析： （ ） ， ， ， 由函数 （ ） 的图象知， 周期为 ） 数学（ 文） ? ? ? ? ? （ 解析： 设 点在底面 上的射影为 ， ， ， 则 点为 的外心， 又底面 是以 为斜边的等腰直 角三角形， 点为斜边 的中点， 设 ， 则 槡 ， 设外接球的半径为 ， 由题设知， ， 槡 ， 设球心为 ， 则 在 上， （ ） （ ）， 即（ 槡 ） （槡 ） （ 槡 槡 ） ， 解得， ， 侧面 的面积是 槡槡 ） 解： （ ） 根据茎叶图中的数据知， 用第一种做卷方式答卷的分数在 分（ 含 分） 以上的有 人， 第一种做卷方式的优秀率为 用第二种做卷方式答卷的分数在 分（ 含 分） 以上的有 人， 第二种做卷方式的优秀率为 ； （ 分） ? ? （ ） 这 名学生的考试分数按从小到大的顺序排 列后， 排在中间的两个数据是 和 ， 则它们的 中位数为 ；（ 分）? 由此填写列联表如下： 超过中位 数 的人 数 不超过中 位数 的 人数 合计 第一种做卷方式 第二种做卷方式 合计 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 故有 的把握认为两种做卷方式的效率有差 异（ 分）? （ ） 证明： 当 时， ， ， （ 分）? 当 时， 由 得， （ ） （ ） ， 化简得， ， 数列 是以 为首项， 以 为公差的等差数 列；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， ， （ ） ， ， 槡 ， 则 槡 槡 （ ） ， 当 时， 上式也成立， 槡 ，（ 分）? 则不等式 槡 为 槡 槡 ， ， 故使 槡 成立的 的最 小值为 （ 分）? （ ） 证明： ， 槡 ， ， 即 ， 又 是直三棱柱， 平面 ， 则 ，（ 分）? ， 分别为 ， 的中点， 且 ， ， 四边形 为正方形， 则 ， 又 ， 平面 ；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， 即 ， 又 是直三棱柱， 平面 ， ， 则点 到平面 的距离即为 ， ， （ 分） ? ? 由（ ） 知， ， 且 槡 ， 槡槡 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则 槡 ， 槡 ， 则 槡 ， 即点 到平面 的距离为 槡 （ 分）? （ ） 证明： （ ） ， （ ） （ ） ， 则 （ ） ， 显然， 函数 （ ） 在区间 ， 上单调递增， （ 分） ? ? 又 （ ） ， 数学（ 文） （ ） ， （ ） 在区间 ， 上存在唯一零点；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， （ ） ， 不等式 （ ） （ ） 即为 （ ） ， 即 在 ， ） 上恒成立， （ 分） ? ? 令 （ ） ， 则 （ ） （ ） （ ） ， 当 时， ， 当 时， （ ） （ ） （ ） （ ） ，（ 分）? 则 （ ） 在 ， ） 单调递增， 故 （ ） （ ） ， 故 ， 实数 的取值范围是（ ， （ 分） ? ? （ ） 解： 设点 在准线 上的射影为 ， 由抛物 线的定义知， ， 设 （ ， ） ， （ ） ， 由题设知， ， （槡 ） ， 解得， ， 则 槡 ， ， 即 ， （ 分）? 又由抛物线的定义知， ， 即 ， 联立， 解得， 或 ， ， ， 则 ， 焦点为 （ ， ） ， （ ，槡 ） ， 则直线 的斜率为 槡 ， 故直线 的方程为 槡 （ ） ；（ 分）? （ ） 证明： 若 ， 则抛物线 ： ， （ ， ） ， 准线 ： ， 设直线 的方程为 ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， 由 消去 得， ， 则 ， ， （ ） ， （ ） ， （ 分）? 则 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 又 ， ， 故直线 ， ， 的斜率成等差数列 （ 分） ? ? 解： （ ） 由 （ 为参数） 得， ， 曲线 的普通方程为