《从力做的功到向量的数量积》（课堂PPT）

5从力做的功到向量的数量积,2,物理中我们学过功的概念，一个物体在力的作用下产生位移（如图）,力所做的功W可用下式计算:其中是与的夹角.,2,当090时，W0,即力F做正功；当90时，W0，即力F不做功；当90180时，W0，即力F做负功.,从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.,2,1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.,3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）,2,两个非零向量和，作，则（）叫作向量与的夹角,思考1如何定义向量的夹角？,计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.,探究点1向量的数量积,2,由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定:零向量可与任一向量垂直.,2,，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则,|cos叫作向量在方向上的射影(也叫投影),当为锐角时，|cos_0,思考2什么是向量的射影？,B1,2,O,B,A,当=0时，|cos=_,|,当为钝角时，|cos_0.,当为直角时，|cos_0,=,2,O,B,A,当=180时，|cos=_,B1,物理实例中，与位移方向一致的分力的长度为cos，即是力在方向上的射影.,-|,2,思考3平面向量的数量积的定义如何？已知两个向量与，它们的夹角为，我们把|cos叫作与的数量积（或内积）.记作=|cos,注意：向量的数量积是一个数量.,特别地:零向量与任一向量的数量积为0.,2,已知=(1,1),=(2,0),与的夹角=45.求.,例1已知|=3，|=4，且与的夹角=150，求.,解：=|cos=34cos150=34（-）=6,解：|=,|=2,=45,所以=|cos=2cos45=2.,2,思考4数量积的几何意义是什么？,2,特别提醒：1.2.若是单位向量,则,2,重要性质：1.若是单位向量，则：2.3.4.5.当且仅当时等号成立.,2,思考5数量积的物理意义是什么？,2,反之成立吗？,解答：不成立.,解答：成立.,思考：,探究点2向量的数量积的运算律,2,练习：判断下列说法的正误,3若，=0，则=,2若，则对任一非零向量,有0,1若=，则对任一向量，有=0,4若=0，则,中至少有一个为,5若，=，则=,6若=,且,当且仅当=时成立,7对任意向量有,2,例2在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a=b+c2bccosA，b=c+a2cacosB，c=a+b2abcosC.,证明：设则,同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.,=b+c2bccosA.,2,向量法证明几何问题的步骤：1.将三角形的边用有向线段表示.2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.,2,例3证明菱形的两条对角线互相垂直.,证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于,可得,=0，所以，,即菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,2,证明线段垂直的方法：1.取两个不共线的向量作基底.2.将要证明的向量用这两个向量表示.3.利用进行证明.,【提升总结】,2,例4已知单位向量,的夹角为60，求向量,的夹角.,解：由单位向量,的夹角为60，得,又,2,设与的夹角为，由可得,又所以.即向量与的夹角为.,2,技巧点拨：1.以，为基底,计算的值.2.利用向量的夹角公式计算.,2,1.判断下列说法的正误:（1）平面向量的数量积可以比较大小.()（2）()（3）已知为非零向量,因为0=，=0,所以=()(4)(),2,2.ABC中，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】由知ABC为锐角；由知,ACB为钝角.,C,2,3.在ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则,_.,-16,-2,4.若|a|=1,|b|=2，且a，