结构力学第12章 结构的动力计算（课堂PPT）

第十四章结构动力学,下册P73,1,14-1概述,一、结构动力计算的特点,（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。,1、内容：,（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。,2、静荷载和动荷载,（1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。,（2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力（与影响线不同）。,2,3、特点,（2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。,(1)必须考虑惯性力。,(3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。,(4)学习循序渐进：,3,二、动力荷载的种类,1、简谐周期荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击）。,2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。,4,3、脉动风压,4、地震荷载,5,1、基本未知量：以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。,2、自由度：结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度不同）。,14-2振动体系的自由度,6,（2）与几何组成分析中的自由度不同。,3、有关自由度的几点说明：,（1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。,（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究。,7,8,（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。,（5）结构的自由度与是否超静定无关。,9,体系振动的衰减现象，阻尼力,（6）可用加链杆的方法确定自由度。,1、自由振动的衰减：结构在自由振动时的振幅随时间逐渐减小，直至振幅为零、震动停止的现象。,10,2、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：,（2）周围介质对振动的阻力。,（1）结构材料的内摩擦阻力。,（4）地基土等的摩擦阻力。,（5）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，能量扩散。,（3）支座、结点等构件联结处的摩擦力。,11,4、粘滞阻尼理论（伏伊特理论）：阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与速度方向相反。,3、阻尼：使能量耗散的因素，统称为阻尼。,12,14-3单自由度结构的自由振动,结构在没有动荷载作用时的振动，称为自由振动。,解决：建立振动方程，计算振幅、初相角、频率、周期,产生原因：外界的干扰（初速度，初位移）,13,动力计算与静力计算的区别:,达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡。注意两个特点：（1）力系中包括惯性力；（2）瞬间的平衡，荷载、位移、内力等都是时间的函数。,14,3.单自由度体系运动方程的建立,研究质点的动平衡，共作用3个力：,达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。,列动力平衡方程,动平衡方程：,m,15,1）无阻尼自由振动,运动方程及其解的形式,令,则,通解:,则,特点：(1)无能量耗散,振动一经开始永不休止：,16,几个术语,（1）周期：振动一次所需的时间。,（2）工程频率：单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。,（3）频率（圆频率）：,旋转向量的角速度，即体系在2秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。,17,4、微分方程中各常数由初始条件确定,代入：,得：,18,19,频率定义：,频率：,周期：,自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。,20,二、有阻尼的自由振动,1、振动方程及其解,则,特征方程,特征根,(二阶线性常系数齐次微分方程),特征根,21,特征根,（1）k，小阻尼情况,（一对共轭复根）,22,振幅：,P81式14-12,按e-kt规律衰减，k称为衰减系数。,23,特征根,（2）k，大阻尼情况,（两个不等的负实根）,通解,结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，故不会产生振动。,24,特征根,（3）k=，临界阻尼情况,（两个相同的实根）,结论：由振动过渡到非振动的临界状态。,通解,大阻尼情况下的振动曲线：,25,14-1单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,则：,通解包括两部分：,动平衡方程：,(二阶常系数线性非齐次微分方程),26,1、求齐次解：,特征方程：,特征根：,2、求特解（待定系数法）：,设：,将上式代入原方程后，可确定D1、D2：,27,进一步，可得：,特解的另一形式:,将各量代入后，可求出特解：,通解：,28,利用可确定C1、C2，于是：,P94(14-21),两式含有因子,很快衰减,最后只剩按振包括动的纯强迫振动;,同时存在的阶段称为过渡阶段,仅剩的阶段称为平稳阶段,后者更重要,只讨论平稳阶段,29,1、不计阻尼的纯强迫振动(=0),30,2.考虑阻尼的纯受迫振动,同理可得,动力系数:,31,/1，1，P(t)可视为静荷载;,特点:越大,曲线越平缓,特别是在/=1附近,峰值下降最显著;,/1(0.751时,0，与阻尼无关，荷载变化很快，结构来不及反应,不动或只做微小颤动。,共振区,设计时应避免共振。由于阻尼，振幅不会无限大。,32,受迫振动实验演示,共振视频：塔科玛大桥的震荡和坍塌,33,P89例14-2重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，,，E=210GPa，发电机转动时其,，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求,并知梁的惯性矩,离心力的垂直分量为,当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁,的自重可略去不计）。,解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为,自振频率:,34,干扰力的频率:,动力系数:,梁中点的最大弯矩:,梁中点的最大挠度:,35,14-5多自由度结构的自由振动,很多结构的振动问题必须简化为多自由度结构的计算,如:,1).多层建筑的水平振动,质量集中到楼层上;,2).不等高排架的水平振动,质量集中到屋盖处;,多个自由度体系的自振频率和振动形式如何?先研究两个自由度体系的自由振动,然后推广到多个自由度的情况.,建立振动方程(柔度法或刚度法).,36,1.振动微分方程的建立,（1）列位移方程（柔度法）,任一瞬时动位移y1、y2应等于体系在惯性力共同作用下产生的静力位移，按叠加原理：,整理，得：,2.运动方程的求解和频率方程,由单自由度结构的振动规律,设两质点按同一频率、同相位振动,37,代入上式，消去公因子,化简后得：,关于振幅A1，A2的齐次线性方程组,振型方程,振幅A1，A2有非零解，则系数行列式：,频率方程,令,展开，得：,解得，两个自振频率：,38,3、特定初始条件下的简谐振动主振型,当=2时：,第一频率、基频,第二频率,因1，2均使振型方程的系数行列式：,因此，振型方程中两式线性相关，即两式相互不独立，只能用其中一式求得振幅A1，A2的比值：,当=1时：,39,4、任意初始条件下，体系的自由振动振动,在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，不再是简谐振动。,40,例题：求图示体系的自振频率和主振型。,解：,（1）求频率,代入,（2）求振型,41,5.多自由度体系的自由振动,运动方程的建立,移项后，写成矩阵的形式：,42,运动方程的求解和频率方程,设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：,将方程的特解及其二阶导数代入式（1），化简后得：,令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：,43,44,振型矩阵的概念,45,例题1：三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。,解：,（1）求频率,46,（2）求振型,47,48,例题2：对称刚架。梁抗弯刚度EI=，柱的抗弯刚度EIC=6.0MN.m2,横梁的总质量1600kg,两柱中点处的集中质量为300kg。求刚架的自振频率和主振型。,解：,（一）正对称形式的自由振动,49,例题2：对称刚架。梁抗弯刚度EI=，柱的抗弯刚度EIC=6.0MN.m2,横梁的总质量1600kg,两柱中点处的集中质量为300kg。求刚架的自振频率和主振型。,（二）反对称形式的自由振动,50,（三）原刚架的频率和变形,51,第七节多自由度体系主振型的正交性,一、定义所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。,二、证明：,52,53,振型正交性应用：（1）简化多自由度体系的动力计算；（2）检验所得主振型是否正确。,例题（13-11）,54,1、列位移方程（柔度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,第八节多自由度体系的强迫振动简谐荷载作用下的直接解法,一、运动方程的建立,55,2、列动力平衡方程方程（刚度法）：,移项后，写成矩阵的形式：,56,二、简谐荷载作用下的强迫振动,设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：,柔度系数易求时，将式（3）代入式（1），并化简：,1、运动方程,2、动位移幅值的计算,刚度系数易求时，将式（3）代入式（2），并化简：,57,将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。（为什么？）,3、动内力幅值计算（无阻尼）,三、两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（无阻尼）,（1）柔度系数易求,1、动位移幅值的计算,58,（2）刚度系数易求,2、动内力幅值计算（无阻尼）,将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。,59,3、注意点,（1）由于强迫振动的动荷载为已知（幅值和频率），故可直接求出动位移幅值A1、A2。（2）在简谐荷载作用下，体系达到稳态后，两质点也都作简谐振动，其频率与干扰力频率相同。（3）干扰力频率与振幅的关系：a)当0时；动力作用很小，动位移幅值相当于将干扰力幅值当作静荷载所产生的位移。b)当时；A10，A20。,c)当1或2时；产生共振，A1，A2。,(4)当不计阻尼时，位移与惯性力随干扰力作同样变化，并同时达到幅值。与位移相应的惯性力幅值为：,60,例题12-13：三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sintkN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。,解：（一）求各楼层的振幅：,61,（二）求动内力值：,62,1、正则坐标应满足的条件,第九节多自由度体系的强迫振动振型叠加法法,一、正则坐标,(1)以质点位移作为坐标（几何坐标）建立的运动方程，必须联立求解。,(2)以正则坐标代替几何坐标，可将联立方程变为若干个独立方程求解。,(3)正则坐标的建立,63,2、正则坐标的几何意义,a)体系的实际位移可以看作是由固有振型乘以对应的组合系数v1、v2之后叠加而成。,b)组合系数v1、v2称为“正则坐标”。上述作法相当于将实际位移按振型分解，固称“振型分解法”；反之，“振型叠加法”。,c)对n个自自由度体系，有：,64,c)对n个自自由度体系，有：,65,1、正则坐标方程的推导,二、按振型叠加法计算强迫振动,66,2、正则坐标微分方程的解,67,3、振型叠加法解题步骤,（1）计算或k,而后代入频率方程求频率；,（2）求规准化振型矩阵；,（3）计算广义质量、广义荷载,（4）代入正则坐标微分方程，求正则坐标,（5）由正则坐标求几何坐标,（6）计算其它动力反应,68,根据能量守恒和转化定律，当体系作自由振动时，在不考虑阻尼的情况下，体系既无能量输入，也无能量耗散，因而在任一时刻，体系的动能与势能之和为一常量，即,第十二节能量法计算自振频率,一、能量准则标,设某体系以频率作自由振动，分别考察其达到振幅位置和静平衡位置时刻的总