数列的通项与求和

数列的通项与求和一求数列的通项的一般方法、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。、二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知数列满足，求。类型2 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知数列满足，求。变式：已知， ，求。类型3 递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异类型 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。类型 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）解法：该类型较类型要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型的方法解决。例5数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。变式：数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。例6. 已知数列中，,，求。变式：已知数列满足， ，求点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例7、已知数列，= ， ，求变式、已知数列满足，且（）求数列的通项公式。二、数列求和的方法（1）公式法：等差数列：；等比数列：； （2）错位相减法:这是推导等比数列前项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列。（3）倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。（4）分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。（5）裂项法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项法有：数列是等差数列，（6）其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，并项求和法等1分组与公式法求和：例1已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式2错位相减法求和例2.(2013唐山统考)在等比数列an中，a2a332，a532.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求S12S2nSn.3.裂项相消法求和例3。已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.本例条