等差数列求和公式

2.3.1等差数列的求和公式(第一课时),1.数列前n项和的定义一般地，称_为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn_.,Sn与通项an之间的关系：,a1a2a3an,a1a2a3an,新课讲解,2.等差数列的前n项和公式,求和公式变形：,等差数列前n项和公式的函数特征(2)当A0，B0时，Sn0是关于n的常数函数(此时a10，d0)；当A0，B0时，SnBn是关于n的正比例函数(此时a10，d0)；当A0，B0时，SnAn2Bn是关于n的二次函数(此时d0),题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算,(2)a14，S8172，求a8和d.(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,【例1】在等差数列an中,例题讲解,1.在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.,跟踪练习,题型二利用Sn与an的关系求an,解(1)当n1时，a1S1325.当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.,化简得(an1an)(an1an2)0，因为an0，an1an2，又4S14a1(a11)2得a11，故an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1.,(2)已知一个数列的前n项和为Snn2n1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？解(1)a1S15，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当n1时也适合，an4n1.,1.(1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，求an.,跟踪练习,题型三求数列|an|的前n项和,【例3】,3n104.n1也适合上式，数列通项公式为an3n104(nN*)由an3n1040，得n34.7.即当n34时，an0；当n35时，an0，此时TnSnn210n；当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.,跟踪练习,方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略,关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现【示例】下表给出一个“等差数阵”：,其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式解(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a4549.,(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j43(j1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j75(j1)；第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，因此，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.,2.3.1等差数列的求和公式(第二课时),1.等差数列前n项和的性质(1)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为_.(2),m2d,新课讲解,(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，若，则S偶S奇=若，则,思考：如果数列的前n项和公式SnAn2Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？提示：由Sna1a2a3an1an得Sn1a1a2a3an1(n2)由得anSnSn1(n2)，S1a1，又SnAn2Bn，当n2时，anSnSn12AnAB.当n1时，a1S1AB符合上式，an2AnAB(nN*)数列an是等差数列，首项为AB，公差为2A.,2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中,最大,最小,最小,最大,题型一等差数列前n项和性质的应用,(2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和(3)两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,1）若,求；2）若，求,【例1】(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.,例题讲解,规律：等差数列中，Sm=n,Sn=m，则Sm+n=(m+n),1.等差数列中，(1)am=n，an=m，求证：am+n=0,(2)Sm=Sn，求证：Sm+n=0,(3)Sm=n,Sn=m，求证：Sm+n=(m+n),跟踪练习,3.等差数列中，S30=90，a3+a6+a9+a30=36(1)求d(2)求a1+a4+a7+a28,2.等差数列中，S3=45，Sn=360,Sn-3=225,求n,【例2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，求公差d.解法一设此数列首项为a1，公差为d，S偶S奇6d，d5.,跟踪练习,1.一个等差数列有奇数项，奇数项和为132，偶数项和为120，求项数。,题型二等差数列前n项和的最值问题,1.已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)法一a19，d2，,跟踪练习,n210n(n5)225当n5时，Sn取得最大值法二由(1)知a19，d20，n6时，an0.S5最大,2.等差数列中，(1)求Sn最大值；求Sn最大值；(3)求Tn=|a1|+|a2|+|an|,已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有,题型三裂项相消法求数列的和,【例3】,1.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a36，S312.(1)求数列an的通项公式；,跟踪练习,(1)求数列an的通项公式；,题型四等差数列的综合应用,跟踪练习,误区警示分析问题不严密致误,【示例】,解中仅解不等式an0是不正确的，事实上应解an0，an10.,S10S15，S15S10a11a12a