2018年奥林匹克数学竞赛第17讲 反比例函数的图象与性质

奥林匹克数学竞赛第17讲反比例函数的图象与性质考点方法破译1反比例函数的定义形如（或，K0）,Y叫做X的反比例函数KYX12反比例函数的图象特征反比例函数的图象是双曲线，关于YX或YX轴对称，关于原点O成中心对称，当K0时，图象的两支分别在第一、三象限，当K0时，图象的两支分别在第二、四象限，3反比例函数的性质当K0时，在每个象限内，Y随X增大而减小；当K0时，在每个象限内，Y随X增大而增大经典考题赏析【例】（西宁）已知函数中，X0时，Y随X增大而增大，则YKXK的大KY致图象为（）XYOXYOXYOXYOABCD【解法指导】因为中，X0时Y随X增大而增大，则K0，K0，而一次KY函数YKXK中，K0，K0，因而直线向右上方倾斜,与Y轴交点在负半轴上，所以选A【变式题组】01已知反比例函数（A0）的图象，在每一象限内，Y的值随着X值增大而减小，X则一次函数YAXA的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限02（龙岩）函数YXM与（M0）在同一象限内的图象可以是（XXYOXYOXYOXYOABCD03（凉山州）若AB0,则正比例函数YAX与反比例函数在同一坐标第中的大致图BYX象可能是（）XYOXYOXYOXYOABCD04函数Y1XX0,X0的图象如图所示，则结论两24函数图象的交点为（2，2）；当X1时，BC3；当0X2时，Y2Y1当X逐渐增大时，Y1随着X的增大而增大，Y2随着X的增大而减小其中正确结论的序号是【例2】如图，A、B分别是反比例函数，图象上的点，过点A、B作X06Y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2S1【解法指导】在反比例函数中，K的几何意义为YXOXYXYOABCBA，或OABCSK长方形2ABOKS题中12212106DEOBEK【变式题组】01（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数过点A，则K的值是（KYX）A2B2C4D402（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是X轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（X0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会（3Y）A逐渐增大B不变C逐渐减小D先增大后减小XYOBY1XACX124OXADCBEY第1题图YXXXXYYYYAOBCOBAABOAOBCXABEDOCS1S2第2题图第3题图第4题图第5题图03（牡丹江）如图，点A、B是双曲线上的点，分经过A、B两点向X轴、Y轴作垂YX线，若1，则S1S2阴影04（河池）如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BCX轴，YACY轴，ABC的面积记为S，则（）AS2BS4C2S4DS405（泰安）如图，双曲线（K0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点YXD，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）ABCD1YX3YX6YX【例3】（成都）如图，一次函数YKXB的图象与反比例函数的图象交于点A（2，1），B（1，N）两点M试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；求AOB的面积【解法指导】利用割补法求图形面积解点A（2，1）在反比例函数的图象上，MYXM212，反比例函数的表达式为2点B（1，N）也在反比例函数图象上，N2，即B（1，2）YX把点A（2，1）点B（1，2）代入一次函数YKXB中，得解得一次函数的表达式为YX1KBK在YX1中，当Y0时，得X1，直线YX1与X轴的交点为C（1，0），线段OC将AOB分成AOC和BOC，322AOBCBOSSCAOBYXY【变式题组】01（徐州）如图，已知AN,2,B1,4是一次函数YKXB的图象和反比例函数的MYX图象的两个交点，直线AB与Y轴交于点C求反比例函数和一次函数的关系式；求AOC的面积；求不等式KXB0的解集（直接写出答案）MX02已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，A1，N，12KYX2YKXBB，212求两函数的解析式；在X轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由求；AOBS若Y1Y2，求X的取值范围03如图，A是反比例函数（X0）上一点，ABX轴，C是OB的中点，一次函1KY数Y2AXB的图象经过点A、C两点，并交Y轴为D（0，2），4AODS求两函数的解析式；在Y轴右侧，若Y1Y2时，求X的取值范围BCAOXYYABOXYYABOXYYDC04如图，RTABO的顶点A是双曲线与直线YXK1在第二象限的交点，KYABX轴于B，32OS求这两个函数的解析式；求A、C两点的坐标；若P是Y轴上一动点，求点P的坐标5PAC【例4】（咸宁）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点PKYX1在的图象上，PCX轴于点C，交的图象于点A，PDY轴于点D，交KY的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论ODB与OCA的1KYX面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是（把你认为正确的序号都填上）【解法指导】A、B两点在的图象上，根1YX据反比例函数中K的几何意义可知YX，因而正确；12ODBACS，当K1ODBACPPS矩形四边形不变时，若P变动，而四边形PAOB的面积不变因而是正确；若设P（T,），则A（T,），KB（），PA，PB若PAPB，则有K1,TK1TTTK1KT,T0,当P时，有PAPB，并不是PA与PB始终相等，因而2T,K不正确；当A为PC的中点时，DBPB，因而正确；故OCPOBDSSPCODSBOPS填，CAOBYXYOXYYDBPACKX1【变式题组】01（武汉）如图，已知双曲线（K0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BCYX于点E，且四边形OEBF的面积为2，则K02如图，矩形ABCD对角线BD中点E与A都在反比例函数的图象上，且KYX，则K3ABCDS矩形03如图，P为X轴正半轴上一点，过点P作X轴的垂线，交函数（X0）的图象1Y于点A，交函数（X0）的图象于点B，过点B作X轴的平行线，交4Y（X0）于点C，连接AC，当点P的坐标为1Y（T，0）时，ABC的面积是否随T的变化而变化04函数（X0）与（X0）的图象如图所示，直线XT（T0）分别与两2Y8Y个函数图象交于A、C两点，经过A、C分别作X轴的平行线，交两个函数图象于B、D两点，探索线段AB与CD的比值是否与T有关，请说明理由OXYYEBFAC第1题图OXYEBDACY第2题图OXYYBPAC第3题图OXYYBDAC第4题图XT05如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OABC，上底OA在直线YX上，下底BC交X轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积演练巩固反馈提高01（恩施自治州）如图，一次函数Y1X1与反比例函数的图象点A（2，1）、2YXB（1，2），则使Y1Y2的X的取值范围是（）AX2BX2或1X0C1X2DX2或X102（常州）若反比例函数的图象在其每个象限内，Y随X的增大而减小，则K的KX值可以是（）A1B3C0D303（荆州）如图，直线L是经过点（1，0）且与Y轴平行的直线，RTABC中直角边AC4，BC3，将BC边在直线L上滑动，使A、B在函数的图象上，那么KKYX的值是（）A3B6C12D5404（丽水）点P在反比例函数（X0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右1Y平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P/，则在第一象限内，经过点P/的反比例函数图象的解析式是（）A（X0）B（X0）C（X0）D5Y5Y6Y（X0）6OXYYB11AC第5题图EABOXYY05（铁岭）如图所示，反比例函数Y1与正比例函数Y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若Y2Y10，则X的取值范围在数轴上表示为（）012012012012ABCD06（泰安）函数图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（1YX）A该函数的图象是中心对称图形B当X0时，该函数在X1时取得上值2C在每个象限内，Y随X的增大而减小DY的值不可能为107（芜湖）在平面直角坐标系XOY中，直线YX向上平移一个单位长度得到直线L,直线L与反比例函数的图象的一个交点为A（A,2）则K的值等于K08（广安）如图，在反比例函数（X0）的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横4坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作X轴、Y轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3，则S1S2S309（十堰）已知函数YX1的图象与X轴、Y轴分别交于点C、B，与双曲线交KYX于点A、D，若ABCDBC，则K的值为10（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数（X0，常数K0）的图象经过点KA（1，2），B（M,N）,M1,过点B作Y轴的垂线，垂足为C，若ABC的面积为2，则点B的坐标为11如图，点P的坐标为（2，），过点P作X轴的平行线交Y轴于点A，交双曲线32YXA2,10121Y1Y2第5题图BLC1OYXA第3题图YX0121第6题图2YX0123第8题图P1P2P3（X0）于点N，作PMAN，交双曲线于（X0）于点M连接AM，KYKY已知PN4，求K的值；求APM的面积12如图，反比例函数的图象与直线YXM在第一象限KYX交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于Y轴，直接写出K、M的值；求梯形ABCD的面积13如图，已知双曲线（X0）经过RTOAB斜边的中点D，与直角边AB相交于KY点C，若OBC的面积为3，求K的值14如图，RTABC的直角边BC在X轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交Y轴负半轴于E，双曲线（X0）的图象经过点A，若8，求K的值KYBECS15如图，RTABC中，BAC90，BC所在直线的解析式为，AC3，420YX若AB的D在双曲线（X0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，AY求三角形平移的距离16（荆州）如图，D为反比例函数（K0）图象上一点，过D作DCY轴于YXC，DEX轴于E，一次函数与的图象都经过点C，与X轴M32X分别交于A、B两点，若梯形DCAE有面积为4，求K的值17（四川广安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点YKXBMYXA（1，2）、点B（4，N）求一次函数和反比例函数的解析式；求AOB的面积18（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N，求直线DE的解析式和点M的坐标；若反比例函数（X0）的图象经过点M，求该反比例例函数的解析式，并通MY过计算判断点N是否在该函数的图象上若反比例函数（X0）的图象与MNB有公共点，请直接写出M的取值范围培优升级奥赛检测01如图，直线L与反比例函数与（MN0）的图象分别交于点A、B，且YX直线LX轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对PAB面积的讨论，有以下两种意见小芳点P在X轴上移动时，PAB的面积总保持不变；小丽当直线L上下平移时，PAB的面积总保持不变；那么，你认为她们的说法中（）A只有小芳正确B只有小丽正确C两人都正确D两人都不正确02（南昌市八年级竞赛题）在函数（A为常数）的图象上有三点21YX（1，Y1）,则函数值Y1、Y2、Y3的大小关系是（）2,4Y31,AY1Y2Y3BY3Y2Y1CY3Y1Y2DY2Y1Y303（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，ABAC2，直角顶点A在直线YX上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于X轴、Y轴，若双曲线（K0）与ABC有交点，则K的取值范围是（）A1K2B1K3C1K4D1K404（第十八届“希望杯”初二）直线L交反比例函数的图象于点A，交X轴于点B，3YX点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线L的函数解析式为05（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数（K0，X0）的Y图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作X轴、Y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当SM（M为常数，且0M4）时，点R的坐标是（用含M的代数式表示）06如图，已知直线与双曲线（K0）交于A点，且点A的横坐标为4，若12YXYX双曲线（K0）上一点B的纵坐标为8，求AOB的面积07（北京）如图，A、B两点在函数（X0）的图象上，MY求M的值及直线AB的解析式；如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数08（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，N）过点C作CEYMYX轴于E，过点D作DFX轴于点F，求M、N的值；求直线AB的函数解析式；求证AECDFB09如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，