启航2021考研数学经典基础班-线代-张宇

2021 考研数学基础班讲义 线性代数 主讲：张宇 : 张宇考研数学 : 宇哥考研 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 1 引言 引言 基础篇 主题篇 应用篇 行列式 矩阵 向量组 方程组 相似理论 二次型 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 2 第一讲 行列式 第一讲 行列式 综述 综述 一、定义与性质 二、 三、余子式与代数余子式的计算 一、定义与性质 1.几何法（本质） 2.逆序数法 3.展开式法 1）余子式 2）代数余子式 3）展开公式 三个定义 七大性质 具体型行列式： 告知 抽象型行列式： 未知 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 3 二、 1. 具体型行列式：告知 ij a 1） 化为“12+1” 【例 1】取自题源 1000 题数一 P65 题 5，数二 P49 题 5 数三 P51 题 5 具体型行列式： 告知 抽象型行列式： 未知 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 4 【例题 2】取自题源 1000 题数一 P65 题 4，数三 P51 题 4,数二 P49 题 4 【例题 2】取自题源 1000 题数一 P65 题 4，数三 P51 题 4,数二 P49 题 4 【例题 3】 【例题 3】 4 1111 1111 1111 1111 a a D b b 【例题 4】求 23 1 111 13927 ( )0 1248 1 f x xxx 的根. 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 5 2） 加边法 【例】取自线性代数 9 讲P12 例题 1.8 【例】取自线性代数 9 讲P12 例题 1.8 计算 n 阶行列式： 2 1121 2 2 122 2 12 1 1 1 n n n nnn xx xx x x xxx x D x xx xx 3） 递推法 【例 1】 计算 n 阶 1221 1000 0100 0001 n nnn b b D b aaaaba 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 6 【例 2】证明 2 2 2 21000 2100 0200 =(1) 00021 0002 n n a aa aa Dna a aa 4） 归纳法 1.第一归纳法： 2.第二归纳法： 【例1】 证 12 222 12 1 111 12 111 () n nnji ij n nnn n xxx Vxxxxx xxx 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 7 【例2】 证 2 2 2 21000 2100 0200 (1) 00021 0002 n n a aa aa Dna a aa 2. 抽象型行列式： ij a未给出 【例 1】取自题源 1000 题数一 P66 题 12，数三 P52 题 12,数二 P51 题 15取自题源 1000 题数一 P66 题 12，数三 P52 题 12,数二 P51 题 15 设 12312 , 是 4 维向量，且 12311223 ,mn 则 32112 . 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 8 【例 2】 【例 3】取自题源 1000 题数一 P66 题 16，数三 P52 题 16,数二 P51 题 59取自题源 1000 题数一 P66 题 16，数三 P52 题 16,数二 P51 题 59 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 9 三、 ijij AM与的计算 1.用行列式 2.用矩阵 3.用特征值 4. =(-1)i j ijij MA 1.用行列式 【例 1】设 123 1200 1030 100 n n D n 计算 11121n AAA 【例 2】设 5 12345 22211 31245 11122 43150 D ，求 4445 AA. 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 10 第二讲 矩阵 第二讲 矩阵 综述 综述 一、运算 *11 , n ABkAAB ABBA AB A A AA 初等矩阵 矩阵方程 二、矩阵的秩 一、定义与运算 1. 定义 数表 2. 运算 1）加法 2）数乘 3）乘法 3. 求 n A ( )1r A 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 11 【小结】 找规律 2 3 A A () nn ABC 12 mn P AP 【练习】A= 142 284 1 21 2 2）找规律 【例 1】设 A= 142 032 043 ，则 9 A = 【例 2】 （2020） 设 A= 001 010 100 ,则 13 A = 【注】 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 12 3）() nn ABC 【例 1】 4) 12 mn P AP 5)用相似理论求 n A 4.可逆矩阵 1）定义 2）性质 3）求 1 A a) 抽象型 b) 具体型 抽象型求 1 A 【例1】 设 n 阶矩阵 A 满足 32 52340AAAE ,证明 A 可逆并求出 1 A 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 13 【例2】 设 n 阶矩阵 A 满足 2 50AAE，证明 AE可逆并求出 1 ()AE . 【例3】 设 A,B,A+B 均为 n 阶可逆矩阵，证明 11 AB 可逆并求出 111 ()AB 用 * A 求 1 A 1） * A定义 2）公式 【例1】 设 1* 4 4, 2,6AAAA 则 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 14 【例2】 已知 A= ab cd ，adbc，求 1 A 【例3】 A= 321 111 101 ，求 1 A 【例 4】设 1 A= 1210 0121 0012 0001 ，求A的所有代数余子式之和= 【例 5】设 3 3 0A ,若0 ijij aA ，则A= 二、初等变换 二、初等变换 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 15 1） 初等矩阵 定义： 2） 性质与公式 3） 左行右列定理 【例1】 设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 列和第 2 列得到 B,则 * B 可由（ ） (A) * A 的第 1 列与第 2 列互换得到 (B) * A 的第 1 行与第 2 行互换得到 (C) * A 的第 1 列与第 2 列互换得到 (D) * A的第 1 行与第 2 行互换得到 【例2】 已知 A= 54 010100100 100050011 001003001 ,则求 1 A= 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 16 4） 用初等变换求 1 A 【例】A= 321 111 101 ,求 1 A 三、矩阵方程 三、矩阵方程 1. 基本形式 1 1 1 1 1 1 11 A A A B AXBXA B XABXBA AXBCXA CB 2. 化简并求解 【注】 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 17 【例】设 * *1 111 1 111,()812 2 111 AA BAA BE ,q 求B. 四、矩阵的秩四、矩阵的秩 1. 定义 ： m n k A 阶子式不为0 若 （k+1）阶子式全为0 ( )r Ak k 个 线 性 无 关 的 向 量 k+1个向量必有多余的 k有且仅有 个线性无关向量 2. 公式 设 m n A ，则 1) 若P可逆 r PAr A r APr A 2) min,r ABr Ar B 3) r ABr Ar B 4) 若 ABr Ar Bn 5) 若 n n A ， , 1,1 0,1 n r An r Ar An r An 1. 考法 化行阶梯型矩阵，台阶数=秩 用公式（5 个） 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 18 【例1】 设 3 3 A ， 3 3 B 是三阶方阵， 其中 13 121 261 a B ， 且 2r A ，1r AB ， 则a 【例2】 若 n n A 是 n 阶方阵，且 2 AA，则 r Ar EA 【例3】 若 n n A 是 n 阶方阵，且 2 AE，则r EAr EA 【例4】 已知 123 24 369 Qt ， 3 3 P ，且PQ ，则（ ） （A） 6t 时， 1r P （B） 6t 时， 2r P （C） 6t 时， 1r P （D） 6t 时， 2r P 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 19 【例5】 若 5 5 A 是 5 阶方阵，且 2 A ，则r A 【例6】 设 1111 011 234 3519 a A a ，若1r A，则a 第三讲第三讲 向量组与方程组向量组与方程组 一、预备知识 1. 线性相关（线性无关）的定义 2. 线性表示（出）的定义 1.线性相关（线性无关） 2.线性表示（出） 3.解的理论 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 20 3. 解的理论 二、具体型 12 , n 与关系 （1） 建方程组 1 2 12n n x x x （2） 化阶梯型 （3） 讨论 1） 1 . n r Ar A不可由表示 2） 1 =. n r Ar An可由唯一表示 3） 1 =. n r Ar An可用有无穷多表示法 注：常考含参数类型的 1122nn xxx 齐次 非齐次 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 - 1 - （1） 建方程组 1 2 12n n x x x （2） 化阶梯型 （3） 讨论 1） .r Ar AAx无解 2） =r Ar AnAx有唯一解 3） =.r Ar AnAx有无穷多解 【例】 线性代数 9 讲p117 页，例题 6.3 三、抽象型 12n 与 ， ，关系 11nn xx求解 【例题】 题源 1000 题数一 p77，题 121，数二 p61，题 124，数三 p62，题 118 第四讲第四讲 相似理论与二次型相似理论与二次型 综述 一. A 的特征值与特征向量 二. A AB 三. 二次型化标准型. 一.A 的特征值与特征向量 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 - 2 - A,0. n n A AA 给出，若 一个数 ，使 则称 是 的特征值， 是 的 【 属于 的 定义】 特征向量 【例】 222 A=254 ,A. 245 求 的 与 二. A -1 PP AP.A.A若 可逆矩阵 ，【使则 相似于 记定义】 AA.可以与 相似有n个线性无关的 -1 222 A=254PP AP= 245 ，求可逆矩阵 ，使【例】 三. TT X AXY Yf 化为 222 123123121 323 ,255448 . f x x xxxxx xx xx x 用正交变换化二次型 为标准型，并求所作的 【】 正交变换 例 课后作业：取自【1000 题】 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 - 3 - 数一（4,5,6,7,10，11,12,13,15,16， 18,19,20,21,22,24,27,31,34,36,37,38,42,43,44,46,52,53,55,56,59,62,63,69,72,73,75,78,80） 数二（4,5,