2.3几个著名的几何定理ppt课件.ppt

第二章几何证明,2.3几个著名的几何定理,在几何学的发展历史中，许多经久不衰的平面几何名题推动着几何学的发展，乃至整个数学的发展，它们在解决相关问题时有着很大的作用，尤其在思想方法上作用.,1,1.梅涅劳斯(Menelaus)定理,直线l分别交ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)于X、Y、Z,如图.求证：,证法1注意到3个比例式对应的线段.为此过点B作l的平行线交AC的延长线于D.,D,于是，利用平行线产生的比例线段进行替换即可得证.,注意：也可过点C作直线l的平行线.,2,证法2(利用面积法证，留作课后研究),说明：(1)结论中的线段若换成有向线段则等式右边为1；(2)该定理的逆定理也成立，称为梅涅劳斯逆定理.其证明留作课后研究；,(3)该定理及其逆定理合称为“梅氏准则”：在ABC中，设X,Y,Z分别位于BC,CA,AB或其延长线上，则X,Y,Z共线的充要条件是,3,(4)利用梅氏准则解决有些问题时思路可变得相当简捷，其逆定理常用于证明三点共线；(5)梅涅劳斯定理还可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧式空间中；(6)梅氏准则还有对应的角元形式.,4,例1设四边形ABCD两双对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点X、Y、Z共线.（牛顿线）,L,N,M,证明利用梅氏准则.没有直接符合梅氏准则的相关条件,故需构造相关图形.注意到题目中的中点较多,因此如图取中点.,5,例2设两个三角形ABC和彼此对应,使得对应点的连线共点,那么对应边的交点共线.(代沙格Desargues定理),证明应用梅氏准则.,6,例3如图,和ABC的三边所在的3条直线都相切,E,F,G,H为切点,直线EG与FH交于点P.求证：PABC.,证明过A作ADBC于D,延长DA交HF于,D,对ABD及截线FP应用梅氏定理,有,由BF=BH,有,又,A,三点共线,连则由,有AGAH,即,7,故,又CE=CG,则,对CAD应用梅氏逆定理,知,G,E三点共线,即为直线EG与FH的交点.即点与点P重合.亦即PABC.,8,例4在直角梯形ABCD中,以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E,自E作EFAB于F,连结AC交EF于M.求证AC平分EF.,证明利用梅氏准则.,S,延长两腰,设它们相交于S,则在SEF,因A,C,M共线,同时注意到DE=AD,EC=BD,可得,则有,及ADBC,9,2.两条著名的线,(1)欧拉(Euler)线,在任一三角形中，外心、垂心和重心共线.,证法1连接O,H容易证明OH与AD的交点就是重心G.(后略),1,2,证法2运用梅氏准则，连接OC分别交AD、AH于.,由可得,再分别计算所需的各项比.(略),10,(2)西摩松(Simson)线,三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线.(其逆亦真),证法1利用邻补角(如图).,证法2利用梅氏准则,11,例5设ABC的高线AD,BE,CF,其中D,E,F为垂足,从点D作AB,BE,CF,AC的垂线,垂足分别为P,Q,R,S.则P,Q,R,S共线.,证明注意到题目中有较多共圆关系,考察是否可以利用西摩松定理.,12,例6如图,延长凸四边形ABCD的对边AB与DC,AD与BC分别相交于E,F.求证：BCE,CDF,ADE,ABF的四个外接圆共点.,M,证明设BCE与CDF的两个外接圆交于C,M点.,设点M在直线BE,EC,BC上的射影分别为P,Q,R,则由西摩松定理,知P,Q,R三点共线.,P,Q,R,S,同理,M点在直线DC,CF,DF的射影Q,R,S三点也共线,故P,Q,R,S四点共线.,在ADE中,P在直线AE上,Q在直线DE上,S在直线AD上,且P,Q,S共线,则由西摩松定理的逆定理知M在ADE的外接圆上.同理M也在ABF的外接圆上.,13,3.塞瓦(Cera)定理(准则),在ABC中,设X,Y,Z依次在三边BC,CA,AB或其延长线上，则AX,BY,CZ共点或平行的充要条件是,14,证法1必要性：(1)平行情况易证；(2)共点情况可以用梅涅劳斯定理证明.充分性：类似梅涅劳斯定理充分性的证明.,证法2可利用面积法证.,15,例7三角形的三条角平分线共点.,证明可利用塞瓦(Cera)定理.,16,例8在四边形ABCD中,两组对边延长后的交点为E,F,且EFBD,延长AC交EF于G.求证：EGGF.,H,证法1可如图引辅助线证.,证法2若可利用塞瓦定理来证,则不用作辅助线且简捷.,17,4.托勒密(Ptolemy)定理(准则),圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线乘积.,E,分析作12,则ABECAD,从而可证ABCAED.,x,y,1,2,注：(1)其逆亦真,称为托勒密逆定理；(2)对于任意凸四边形ABCD均有：ABCD+BCADACBD,当且仅当ABCD时圆内接四边形时取等号.,18,例10在ABC中,ABAC,点O是外心,两条高BE,CF交于H点，点M,N分别在线段BH,HF上,且满足BM=CN.,求证：的充分必要条件是A=60.,证明,连OB、OC，则,BOC=2A，,BHC=180HBCHCB=B+C=180A,又OB=OC=R(R为外接圆半径).,MH+NH=(BH-BM)+(CN-CH)=BH-CH.,19,20,例11过圆外一点P作圆O的两条切线和割线，切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点C在P,D之间在弦CD上取一点Q，使得DAQ=PBC求证：DBQ=PAC,易知ADQABC,BCAD=ABDQ,分析：,由切割线关系知：PCAPAD，PCBPBD，从而有,由于PA=PB,即ACBD=BCAD由有ACBD=ABDQ,21,由圆内接四边形的托勒玫定理，有：ACBD+BCAD=ABCD,再根据、得：2ABDQ=ABCD即CQ=DQ,由、得：,又BCQ=BAD,CBQABD,ABD=CBQ,DBQ=ABC=PAC证毕,22,例12证明：西摩松定理与托勒枚定理等价.,证明,（1）由西摩松定理证明托勒枚定理,如图，由西摩松定理得：,ZY+YX=ZX,由A、Z、Y、P共园、且,AP是该园的直径及正弦定理：,ZY=APsinZPY=APsinZAY,sinZAY=sinBAC=,23,将以上三式代入式得：,APBC+ABPC=ACBP.,(2)由托勒枚定理证西摩松定理(略).,24,例13O是ABC的外接圆，P是内心，射线AP交O于D.求证AB、BC、CA成等差数列的充要条件是,25,5.斯特瓦尔特(Stewart)定理,设B,P,C依次分别为从A点引出的三条射线AB,AP,AC上的点,B,P,C共线的充要条件是,证明分别对ABP和APC应用余弦定理,易证.,26,6.张角定理定理,设B,P,C依次分别是从点A引出的三条射线AB,AP,AC上的三点,线段BP,PC对点A的张角分别是且,则B,P,C共线的充分必要条件是,27,7.密克(AugusteMiquel)定理,在三角形的三边(所在直线)上各取一点,过过一个顶点及两邻边所取点作圆,则所作三圆交于一点.,28,例14四条直线相交成四个三角形,证明这四个三角形的外接圆共点.,29,8.九点圆定理,任意三角形三条高的垂足,三边的中点及垂心与顶点的连线的中点,这九点共圆.,