应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题图1在物理学中，研究阻尼振动时计算积分，研究光的衍射时计算菲涅耳积分，在热学中遇到积分如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把变换为某个新的复数平面上的回路；2）另外补上一段曲线，使和合成回路，包围着区域B，则上的延拓为上的，并将它沿积分，有；3）可以应用留数定理，就是所求的定积分。如果较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一 .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为0,2.求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2，可以当作定积分x从0变到2，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设,则而，则原积分化为类型二 .积分区间为（-,+）；复变函数在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上时,一致地0.图2求解方法：如果f(x)是有理分式，上述条件意味着没有实的零点，的次数至少高于两次. 如图2，计算积分根据留数定理，令R，有而所以类型三 ,.积分区间是0,+;偶函数和奇函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面或实轴上时，及一致地0.约当引理 如m为正数，是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上时一致地0，则求解方法：经自变量代换，上式变为同理由类型二可知由约当定理同理所以图3实轴上有单极点的情形 考虑积分，被积函数在实轴上有单极点，除此之外，满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以为圆心，以充分小的正数为半径作半圆弧绕过奇点构成如图3所示积分回路.于是取极限，上式左边积分值等于.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零.对于第四项，计算如下：将在的领域展为洛朗级数，有其中为级数的解析部分，它在上连续且有界，因此所以而于是若实轴上有有限个单极点，则3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分解：由类型三，将原积分改写这个积分的被积函数除了在实轴上有单极点外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有即推论：对于正的m， (m0)对于负的m， (m0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分和解：取图4所示回路.由于没有有限远奇点，所以根据留数定理得图4即令.而 （于） （于）所以即，（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分解：由类型三，将原积分改写图5取如图所示回路，由于矩形区域内函数无奇点，所以根据留数定理得即当时，只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出所以，就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留