等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、 定义法.证明数列是等差数列的充要条件的方法： .证明数列是等差数列的充分条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：（n2，为常数且0）注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；时，有（常数）例1. 设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。证明：先证必要性设为等差数列，公差为d，则当=0时，显然命题成立当0时，再证充分性： 得：两边同以得： 同理： 得：即： 为等差数列例2. 设数列的前n项和为，试证为等差数列的充要条件是。证：）若为等差数列，则，故（）当n2时，由题设，所以同理有从而整理得：an+1an=anan1，对任意n2成立.从而an是等差数列.例3.已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，仍成等比数列。证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q1时， =成等比数列.证明二：=同理，= 成等比数列。练习：二、中项法(1).(充要条件)若(注：三个数为等差数列的充要条件是:)(充分条件)2()是等差数列，（2）.(充要条件)若 是等比数列 (充分条件)（n1）是等比数列，注: 是a、b、c等比数列的充分不必要条件是a、b、c等比数列的必要不充分条件.是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前项和法1. 通项公式法（1）.若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列。(充要条件)(2).若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列(充要条件)2. 前项和法(1).若数列的前项和Sn能表示成 (a，b为常数)的形式，则数列是等差数列；(充要条件)(2).若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列 (充要条件)四、归纳猜想-数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列是公比为的等比数列（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；（2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（3）数列是公比为的等比数列；（4）是公比为的等比数列；（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（6）若成等差数列时，成等比数列；（7）均不为零时，则成等比数列；（8）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列若数列是公差为等差数列，则（1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；（3）若都是等