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1,概率论与数理统计,总复习,2,1.随机现象,第一章概率论的基本概念,2.随机试验,3.样本空间,4.随机事件,5.事件间的关系与事件的运算,3,6.概率的公理化定义,2规范性对于必然事件S，有P(S)=1(2),3可列可加性设A1,A2,是两两互不相容的事件，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.,1非负性对每个事件A，有P(A)0(1),设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:,4,6.概率的性质,性质6对任意两个事件A、B，有,7.古典概型,5,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,8.条件概率的定义,9.乘法定理,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B),若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A),6,10.全概率公式,11.贝叶斯公式,7,定义若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.,12.独立性,8,1.定义：设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间上的单值实值函数，称为随机变量.,第二章随机变量及其分布,2.离散型随机变量概率分布的定义,9,用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作,Xb(n,p),3.二项分布,10,4.泊松分布,定义：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,其中0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X.,5.随机变量的分布函数,11,如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对任意实数x,有,则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度.,连续型r.v及其密度函数的定义,6.连续型随机变量及其概率密度,12,1o,2o,3o,13,则称X服从参数为的指数分布.,若r.vX具有概率密度,常简记为XE().,7.指数分布,14,若r.vX的概率密度为,记作,其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布.,8.正态分布,15,正态分布的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,正态分布表,16,其中，,x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理设r.vX具有概率密度f(x),又设g(x)处处可导，且恒有(或)则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为,9.连续型随机变量函数的分布,17,1,x1xi,1.联合分布、边缘分布、条件分布（离散型）,第三章多维随机变量及其分布,18,设（X，Y）的联合概率密度为,则(X,Y)关于X的边缘概率密度为,(X,Y)关于Y的边缘概率密度为,2.联合分布、边缘分布（连续型）,19,设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，,的x,密度函数为,则对一切使,定义已知X=x下，Y的条件,3.条件密度函数,20,设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有,则称X,Y相互独立.,设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有,则称X,Y相互独立.,离散型r.v,连续型r.v,4.两个r.v相互独立的判别,5.多维随机变量的函数的分布,21,1.数学期望的定义,第四章随机变量的数字特征,22,2.数学期望的性质,1）.设C是常数，则E(C)=C;,4）.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);,2）.若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3）.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,23,3.常见r.v.的数学期望（P436）,24,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),25,该公式可推广：,4.随机变量函数的数学期望,26,5.方差的定义,计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,27,6.方差的性质,1.设C是常数,则D(C)=0;,2.若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2D(X);,3.设X与Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y).,特别，若X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y),28,方差表,7.常见r.v.的方差（P436）,29,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),30,7.协方差,2）.计算协方差的一个简单公式,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.,31,第六、七章参数估计,1.总体,个体,样本,2.正态总体样本均值与方差的分布,32,3.矩估计法,4.最大似然估计法,5.估计量的优良性